Tarvitsen apua vaikeassa tehtävässä

EndorfiiniJumala

Heips, matemaatikot! Joillekin tämä voi olla helppo tehtävä, mutta minä en nyt saa kiinni. Olen miettinyt lähes koko päivän pääsemättä puusta pitkään. Avusta olisin kiitollinen.

Tehtävä kuuluu: osoita integroimalla funktiota f(z) = e^(-z^2) pitkin suorakaiteen |x| < R, 0

3

121

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • EndorfiiniJumala

      Niin, siis pitkin tuon suorakaiteen reunaa.

    • Integrali

      Käytetään funktion f(x) integraalille välillä [a,b] merkintää

      Int{f(x)dx: [a,b]}.

      Tehtävässä ilmeisesti R pitää kasvaa rajatta. Funktio exp(-z^2) on
      suorakaiteessa säännöllinen analyyttinen funktio, joten sen integraali
      pitkin kuvion reunaa on = 0.

      Kun z = x iy, niin z^2 = x^2 - y^2 2ixy.

      Olkoon F(x) = Int{exp(-u^2)du: (-inf, x]}.
      Silloin integraali pitkin suorakaiteen alareunaa on F(R) - F(-R),
      joka lähenee F(inf), kun R kasvaa. Tunnetusti

      F(inf) = sqrt(PI).


      Integroidaan sitten pitkin suorakaiteen oikeaa sivua:

      Int{exp(-(x^2 - y^2 2ixy))dy: [0,b]}| x = R

      = exp(-R^2)*Int{exp(y^2) * (cos(2Ry) - i sin(2Ry))dy: [0,b]}.

      Tämä lähenee 0, kun R kasvaa rajatta. Samalla tavalla integraali
      pitkin alueen vasenta reunaa lähenee 0.


      Integroidaan pitkin alueen yläreunaa oikealta vasemmalle:

      Int{exp(-(x^2 - y^2 2ixy))dx: [R,-R]}| y = b

      = Int{exp(-(x^2 - b^2 2ibx))dx: [R,-R]}

      = exp(b^2) * Int{exp(-x^2) * (cos(2bx) - i sin(2bx))dx: [R, -R]}.

      Tässä imaginaariosa on muuttujan x pariton funktio, joten
      integraali on 0. Reaaliosa taas on parillinen, joten se voidaan
      kirjoittaa muotoon

      -2 * exp(b^2) * Int{exp(-x^2) * (cos(2bx)dx: [0, R]}.

      Tämä integraali pitkin alareunaa -> 0. Kun R kasvaa rajatta,
      saadaan lopuksi

      sqrtPI) -2 * exp(b^2) * Int{exp(-x^2) * (cos(2bx)dx: [0, inf]} = 0,

      josta edelleen

      Int{exp(-x^2) * (cos(2bx)dx: [0, inf]} = exp(-b^2)*sqrt(PI)/2.

      • Integrali

        cos-tekijän edessä näyttää olevan ylimääräinen sulkumerkki. Sen siitä saa, kun jäljentelee kaavojen osia leikepöydän avulla.


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Haluaisitko nähdä

      Hänet alastomana?
      Ikävä
      68
      3209
    2. Hilirimpsistä

      Hyvää huomenta ja kivaa päivää. Ilmat viilenee. Niin myös tunteet. 🧊☕✨🍁❤️
      Ikävä
      201
      2822
    3. Nainen lopeta pakoon luikkiminen?

      Elämä ei oo peli 😔😟
      Ikävä
      22
      2638
    4. Älä elättele

      Toiveita enää. Ihan turhaa. Sotku mikä sotku.
      Ikävä
      49
      2598
    5. Olet täällä. Mutta ei minulle.

      Nyt olen tästä 100% varma. Satuttaa. T: V
      Ikävä
      20
      2476
    6. Kuule rakas...

      Kerrohan minulle lempivärisi niin osaan jatkaa yhtä projektia? Arvaan jo melkein kyllä toki. Olethan sinä aina niin tyyl
      Ikävä
      41
      2315
    7. Miten hitsissä ulosoton asiakas?

      On tää maailma kumma, tässä haisee suuri kusetus ja ennennäkemättömän törkeä *huijaus*! Miten to.monen kieroilu on edez
      Kotimaiset julkkisjuorut
      210
      1763
    8. Törmättiin tänään

      enkä taaskaan osannut reagoida fiksusti. Menen aina lukkoon. Yksi asia on varma: tunteeni sinua kohtaan ovat edelleen v
      Ikävä
      24
      1717
    9. Vieläkö sä

      Rakastat mua?❤️😔
      Ikävä
      37
      1580
    10. Dear mies,

      Hymyiletkö ujosti, koska näet minut? 😌
      Ikävä
      18
      1436
    Aihe