Heips, matemaatikot! Joillekin tämä voi olla helppo tehtävä, mutta minä en nyt saa kiinni. Olen miettinyt lähes koko päivän pääsemättä puusta pitkään. Avusta olisin kiitollinen.
Tehtävä kuuluu: osoita integroimalla funktiota f(z) = e^(-z^2) pitkin suorakaiteen |x| < R, 0
Tarvitsen apua vaikeassa tehtävässä
3
121
Vastaukset
- EndorfiiniJumala
Niin, siis pitkin tuon suorakaiteen reunaa.
- Integrali
Käytetään funktion f(x) integraalille välillä [a,b] merkintää
Int{f(x)dx: [a,b]}.
Tehtävässä ilmeisesti R pitää kasvaa rajatta. Funktio exp(-z^2) on
suorakaiteessa säännöllinen analyyttinen funktio, joten sen integraali
pitkin kuvion reunaa on = 0.
Kun z = x iy, niin z^2 = x^2 - y^2 2ixy.
Olkoon F(x) = Int{exp(-u^2)du: (-inf, x]}.
Silloin integraali pitkin suorakaiteen alareunaa on F(R) - F(-R),
joka lähenee F(inf), kun R kasvaa. Tunnetusti
F(inf) = sqrt(PI).
Integroidaan sitten pitkin suorakaiteen oikeaa sivua:
Int{exp(-(x^2 - y^2 2ixy))dy: [0,b]}| x = R
= exp(-R^2)*Int{exp(y^2) * (cos(2Ry) - i sin(2Ry))dy: [0,b]}.
Tämä lähenee 0, kun R kasvaa rajatta. Samalla tavalla integraali
pitkin alueen vasenta reunaa lähenee 0.
Integroidaan pitkin alueen yläreunaa oikealta vasemmalle:
Int{exp(-(x^2 - y^2 2ixy))dx: [R,-R]}| y = b
= Int{exp(-(x^2 - b^2 2ibx))dx: [R,-R]}
= exp(b^2) * Int{exp(-x^2) * (cos(2bx) - i sin(2bx))dx: [R, -R]}.
Tässä imaginaariosa on muuttujan x pariton funktio, joten
integraali on 0. Reaaliosa taas on parillinen, joten se voidaan
kirjoittaa muotoon
-2 * exp(b^2) * Int{exp(-x^2) * (cos(2bx)dx: [0, R]}.
Tämä integraali pitkin alareunaa -> 0. Kun R kasvaa rajatta,
saadaan lopuksi
sqrtPI) -2 * exp(b^2) * Int{exp(-x^2) * (cos(2bx)dx: [0, inf]} = 0,
josta edelleen
Int{exp(-x^2) * (cos(2bx)dx: [0, inf]} = exp(-b^2)*sqrt(PI)/2.- Integrali
cos-tekijän edessä näyttää olevan ylimääräinen sulkumerkki. Sen siitä saa, kun jäljentelee kaavojen osia leikepöydän avulla.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 683209
- 2012822
- 222638
- 492598
- 202476
Kuule rakas...
Kerrohan minulle lempivärisi niin osaan jatkaa yhtä projektia? Arvaan jo melkein kyllä toki. Olethan sinä aina niin tyyl412315Miten hitsissä ulosoton asiakas?
On tää maailma kumma, tässä haisee suuri kusetus ja ennennäkemättömän törkeä *huijaus*! Miten to.monen kieroilu on edez2101763Törmättiin tänään
enkä taaskaan osannut reagoida fiksusti. Menen aina lukkoon. Yksi asia on varma: tunteeni sinua kohtaan ovat edelleen v241717- 371580
- 181436