Heips, matemaatikot! Joillekin tämä voi olla helppo tehtävä, mutta minä en nyt saa kiinni. Olen miettinyt lähes koko päivän pääsemättä puusta pitkään. Avusta olisin kiitollinen.
Tehtävä kuuluu: osoita integroimalla funktiota f(z) = e^(-z^2) pitkin suorakaiteen |x| < R, 0
Tarvitsen apua vaikeassa tehtävässä
3
122
Vastaukset
- EndorfiiniJumala
Niin, siis pitkin tuon suorakaiteen reunaa.
- Integrali
Käytetään funktion f(x) integraalille välillä [a,b] merkintää
Int{f(x)dx: [a,b]}.
Tehtävässä ilmeisesti R pitää kasvaa rajatta. Funktio exp(-z^2) on
suorakaiteessa säännöllinen analyyttinen funktio, joten sen integraali
pitkin kuvion reunaa on = 0.
Kun z = x iy, niin z^2 = x^2 - y^2 2ixy.
Olkoon F(x) = Int{exp(-u^2)du: (-inf, x]}.
Silloin integraali pitkin suorakaiteen alareunaa on F(R) - F(-R),
joka lähenee F(inf), kun R kasvaa. Tunnetusti
F(inf) = sqrt(PI).
Integroidaan sitten pitkin suorakaiteen oikeaa sivua:
Int{exp(-(x^2 - y^2 2ixy))dy: [0,b]}| x = R
= exp(-R^2)*Int{exp(y^2) * (cos(2Ry) - i sin(2Ry))dy: [0,b]}.
Tämä lähenee 0, kun R kasvaa rajatta. Samalla tavalla integraali
pitkin alueen vasenta reunaa lähenee 0.
Integroidaan pitkin alueen yläreunaa oikealta vasemmalle:
Int{exp(-(x^2 - y^2 2ixy))dx: [R,-R]}| y = b
= Int{exp(-(x^2 - b^2 2ibx))dx: [R,-R]}
= exp(b^2) * Int{exp(-x^2) * (cos(2bx) - i sin(2bx))dx: [R, -R]}.
Tässä imaginaariosa on muuttujan x pariton funktio, joten
integraali on 0. Reaaliosa taas on parillinen, joten se voidaan
kirjoittaa muotoon
-2 * exp(b^2) * Int{exp(-x^2) * (cos(2bx)dx: [0, R]}.
Tämä integraali pitkin alareunaa -> 0. Kun R kasvaa rajatta,
saadaan lopuksi
sqrtPI) -2 * exp(b^2) * Int{exp(-x^2) * (cos(2bx)dx: [0, inf]} = 0,
josta edelleen
Int{exp(-x^2) * (cos(2bx)dx: [0, inf]} = exp(-b^2)*sqrt(PI)/2.- Integrali
cos-tekijän edessä näyttää olevan ylimääräinen sulkumerkki. Sen siitä saa, kun jäljentelee kaavojen osia leikepöydän avulla.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Nainen, tervetuloa
Tule luokseni eka vaikka viikoks tai pariksi. Saisin helliä, kannustaa ja tukea sua ja kokata lempi herkkujasi. Pääsisit326881Kela valvoo lasten tilejä.
Tämä isoveli Kela kyttää jopa lasten yli 200,- euron rahat jotka on melko varmasti lahjaksi saatu. Se vaikuttaa perheen3114011Olisit ollut varovaisempi
Nyt jos minut hylkäät ja et meidän asiasta minulle mitään ilmoita niin ettet edes anteeksi pyydä, niin tiedä että minä e593821TTK-tähti Saana Akiola paljasti tv-ohjelmassa tapahtuneen ahdistelun
Olisko pitänyt suunnitella ulostulo paremmin? Nyt lehdet soittelevat kaikki 8 läpi ja kuusi sanoo ettei koskenut häntä.433339- 1742591
Mies sinä olet kaunis katsella
Olet myös rauhallinen, tavallinen, varovainen, lämmin, poikamainen, komea, ryhdikäs, rentotyylinen, kiva, mukava... jne552282- 552116
Elisa laskuttaa jo sähköpostilaskusta erikseen euron
Paperilaskuista on otettu lisämaksua jo ajat sitten, mutta nyt Elisa ottaa euron siitä että lähettävät sähköisen laskun1262010Oho! Susanna Laine kohtasi epäonnea lomareissulla Italiassa - Avaa tilannetta: "Vähän sahaavaa..."
Ou nou! Tsemppiä kuitenkin loppulomaan Italiassa, Susanna Laine ja mahdollinen seuralainen! Lue lisää ja katso kuvat:111680Sinulle, tahtoisin kertoa mitä
ajattelen siitä. Ehkä olen väärässä, mutta minusta kuulostaa jonkin alulta, mutta ei kerro minkä. Se selvinnee myöhemmi281649