Tarvitsen apua vaikeassa tehtävässä

EndorfiiniJumala

Heips, matemaatikot! Joillekin tämä voi olla helppo tehtävä, mutta minä en nyt saa kiinni. Olen miettinyt lähes koko päivän pääsemättä puusta pitkään. Avusta olisin kiitollinen.

Tehtävä kuuluu: osoita integroimalla funktiota f(z) = e^(-z^2) pitkin suorakaiteen |x| < R, 0

3

122

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • EndorfiiniJumala

      Niin, siis pitkin tuon suorakaiteen reunaa.

    • Integrali

      Käytetään funktion f(x) integraalille välillä [a,b] merkintää

      Int{f(x)dx: [a,b]}.

      Tehtävässä ilmeisesti R pitää kasvaa rajatta. Funktio exp(-z^2) on
      suorakaiteessa säännöllinen analyyttinen funktio, joten sen integraali
      pitkin kuvion reunaa on = 0.

      Kun z = x iy, niin z^2 = x^2 - y^2 2ixy.

      Olkoon F(x) = Int{exp(-u^2)du: (-inf, x]}.
      Silloin integraali pitkin suorakaiteen alareunaa on F(R) - F(-R),
      joka lähenee F(inf), kun R kasvaa. Tunnetusti

      F(inf) = sqrt(PI).


      Integroidaan sitten pitkin suorakaiteen oikeaa sivua:

      Int{exp(-(x^2 - y^2 2ixy))dy: [0,b]}| x = R

      = exp(-R^2)*Int{exp(y^2) * (cos(2Ry) - i sin(2Ry))dy: [0,b]}.

      Tämä lähenee 0, kun R kasvaa rajatta. Samalla tavalla integraali
      pitkin alueen vasenta reunaa lähenee 0.


      Integroidaan pitkin alueen yläreunaa oikealta vasemmalle:

      Int{exp(-(x^2 - y^2 2ixy))dx: [R,-R]}| y = b

      = Int{exp(-(x^2 - b^2 2ibx))dx: [R,-R]}

      = exp(b^2) * Int{exp(-x^2) * (cos(2bx) - i sin(2bx))dx: [R, -R]}.

      Tässä imaginaariosa on muuttujan x pariton funktio, joten
      integraali on 0. Reaaliosa taas on parillinen, joten se voidaan
      kirjoittaa muotoon

      -2 * exp(b^2) * Int{exp(-x^2) * (cos(2bx)dx: [0, R]}.

      Tämä integraali pitkin alareunaa -> 0. Kun R kasvaa rajatta,
      saadaan lopuksi

      sqrtPI) -2 * exp(b^2) * Int{exp(-x^2) * (cos(2bx)dx: [0, inf]} = 0,

      josta edelleen

      Int{exp(-x^2) * (cos(2bx)dx: [0, inf]} = exp(-b^2)*sqrt(PI)/2.

      • Integrali

        cos-tekijän edessä näyttää olevan ylimääräinen sulkumerkki. Sen siitä saa, kun jäljentelee kaavojen osia leikepöydän avulla.


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Nainen, tervetuloa

      Tule luokseni eka vaikka viikoks tai pariksi. Saisin helliä, kannustaa ja tukea sua ja kokata lempi herkkujasi. Pääsisit
      Ikävä
      32
      6881
    2. Kela valvoo lasten tilejä.

      Tämä isoveli Kela kyttää jopa lasten yli 200,- euron rahat jotka on melko varmasti lahjaksi saatu. Se vaikuttaa perheen
      Yhteiskunta
      311
      4011
    3. Olisit ollut varovaisempi

      Nyt jos minut hylkäät ja et meidän asiasta minulle mitään ilmoita niin ettet edes anteeksi pyydä, niin tiedä että minä e
      Ikävä
      59
      3821
    4. TTK-tähti Saana Akiola paljasti tv-ohjelmassa tapahtuneen ahdistelun

      Olisko pitänyt suunnitella ulostulo paremmin? Nyt lehdet soittelevat kaikki 8 läpi ja kuusi sanoo ettei koskenut häntä.
      Maailman menoa
      43
      3339
    5. Mitä haluaisit sanoa hänelle

      Nyt tällä hetkellä?
      Ikävä
      174
      2591
    6. Mies sinä olet kaunis katsella

      Olet myös rauhallinen, tavallinen, varovainen, lämmin, poikamainen, komea, ryhdikäs, rentotyylinen, kiva, mukava... jne
      Ikävä
      55
      2282
    7. Vastenmielisyys

      Kuvaa sinua parhaiten
      Ikävä
      55
      2116
    8. Elisa laskuttaa jo sähköpostilaskusta erikseen euron

      Paperilaskuista on otettu lisämaksua jo ajat sitten, mutta nyt Elisa ottaa euron siitä että lähettävät sähköisen laskun
      Maailman menoa
      126
      2010
    9. Oho! Susanna Laine kohtasi epäonnea lomareissulla Italiassa - Avaa tilannetta: "Vähän sahaavaa..."

      Ou nou! Tsemppiä kuitenkin loppulomaan Italiassa, Susanna Laine ja mahdollinen seuralainen! Lue lisää ja katso kuvat:
      Suomalaiset julkkikset
      11
      1680
    10. Sinulle, tahtoisin kertoa mitä

      ajattelen siitä. Ehkä olen väärässä, mutta minusta kuulostaa jonkin alulta, mutta ei kerro minkä. Se selvinnee myöhemmi
      Ikävä
      28
      1649
    Aihe