Sanotaan aina, että funktio on derivoituva avoimella välillä blaablaa ja jatkuva suljetulla välillä blaablaa. Mistä tämän tietää? Etenkin jos ei ole annettu mitään rajoituksia vaan jokin tietty väli. Oletetaanko aina, että kyseinen funktio on jatkuva ja derivoituva näin ja näin?
Jatkuvuus ja derivoituvuus
6
1079
Vastaukset
- matikisti
Ei näin sanota aina. Jos sanotaan, niin se on oletus. Monet lauseet eivät päde yleisesti, mutta pätevät jatkuville tai derivoituville funktioille.
- Xenia Onatop
Jatkuvuus on funktioon liittyvä topologinen peruskäsite. Intuitiivisesti funktio on jatkuva, jos sen arvot eivät muutu äkillisesti minkään pisteen ympäristössä. Tällaisen funktion kuvaaja on silloin sileä ja kaareva eikä se katkea missään kohdassa.
Yhden reaalimuuttujan tapauksessa funktio f: R -> R on jatkuva pisteessä a , jos ja vain jos sen raja-arvo tässä pisteessä on olemassa ja on yhtä suuri funktion arvon kanssa tässä kohdassa. Jotta raja-arvo olisi olemassa pisteessä a , on vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen oltava yhtä suuret tässä pisteessä.
Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä, eli siinä ei ole epäjatkuvuuskohtia. Funktion jatkuvuus on välttämätön, mutta ei riittävä ehto funktion derivoituvuudelle. Toisin sanoen derivoituva funktio on aina jatkuva, mutta jatkuva funktio ei ole aina derivoituva.
Mikäli funktiolla f on derivaatta, eli erotusosamäärän raja-arvo pisteessä x0, sanotaan että f on derivoituva pisteessä x0. Jos derivaatta on olemassa kaikissa f:n määrittelyjoukon pisteissä, niin sanotaan, että f on derivoituva.
Oletan, että nämä asiat on selvitetty/selvitetään lukion pitkässä matematiikassa, ainakin kysyttäessä. - Laskee
Matematiikassa kun on oltava täsmällinen, niin pieni korjaus ylläolevaan
>Tällaisen (jatkuvan) funktion kuvaaja on silloin sileä ja kaareva eikä se katkea missään kohdassa.
Jatkuvan funktion kuvaaja ei katkea missään kohdassa. Kuvaaja ei tarvitse olla kaareva, se voi olla suora, ja siinä voi olla teräviä kulmia. Harjoitus: tarkastele itseisarvo funktion y = | x | kuvaaja
En tiedä onko funktion kuvaaja sileys jossain määtitelty. Tätä ei kuitenkaan pidä sekoittaa sileään funktioon. Edes kertaalleen derivoituva funktio ei välttämättä ole sileä.
Tavallaan yllättävä tulos on että on olemassa funktioita, jotaka ovat määtrittelyalueellaan kaikkialla jatkuvia, mutta evät ole derivoituvia missään pisteessä.- Kalmari-Unionisti
Kaarevuus tarkoittaa ylimalkaisesti ilmaistuna poikkeamaa suoruudesta. Yksinkertainen esimerkki kaarevuudesta on ympyrä, jonka kaarevuus on kääntäen verrannollinen säteeseen. Mitä pienempi säde on sitä tiukemmin kehä kaartaa ja päinvastoin. Tällöin y=|x| on erittäin kaareva kohdassa x=0.
Matematiikassa kaarevuus voidaan määritellä juuri ympyrään käyttäen tai sitten Riemannin monistojen (manifold) avulla, ja jos jotain lahjakasta lukiolaista tämä kiinnostaa, voi tutustua englanninkieliseen artikkeliin Wikipediassa hakusanalla "Curvature".
- Laskee,
Anteeksi kirjoitusvirheet yllä-
Matemaattisessa analyysissä ja luonnontieteissä yleisesti ollaan kiinnostuneita vain jatkuvista funktioista, sillä luonto yleisesti on jatkuva (luonnon prosesseissa tehdään yleensä jatkuvuusoletus, esim. energian ja aineen virtaus. Lisäksi fyysinen etäisyys on jatkuva suure ainakin Planckin mittakaavaan saakka).
Funktion jatkuvuudelle on olemassa yksinkertainen määritelmä, ja monet funktiot sekä niiden summat, erotukset ja yhdisteet tiedetään jatkuviksi, esim. polynomit, eksponettifunktiot, sinifunktio jne.
Kun reaaliarvoinen funktio määritellään jollakin välillä, niin tuo väli on mielekästä valita suljetuksi, sillä näin funktio myös saavuttaa arvonsa välin päätepisteissä, ja nuo arvot voivat hyvinkin olla ääriarvoja. Esim. aidosti monotoninen funktio ei saavuta minimiä tai maksimia avoimella välillä, mutta suljetulla se saavuttaa molemmat. Topologinen tulos on myös se, että jokainen jatkuva funktio saavuttaa ääriarvonsa suljetulla ja rajoitetulla välillä.
Derivoituvuus taas on jatkuvan funktion lisäominaisuus, joka ilmaisee, että funktion kuvaaja (x, f(x)) on sileä käyrä, eikä siinä ole mitään "teräviä" kohtia. Derivaattaa voidaan soveltaa funktion ääriarvojen tarkasteluussa, mutta tämä tarkastelu voidaan tehdä VAIN avoimella välillä, sillä suljetun välin päätepisteessä toispuolista raja-arvoa ei ole määritelty. Derivoituvuus jossain pisteessä vaatii aina toispuolisten derivaattojen olemassaolon.
Tärkein syy miksi aina hoetaan mantraa "tarkastellaan suljetulla välillä jatkuvaa ja avoimella välillä derivoituvaa funktiota..." on se, että silloin saadaan käyttöön Fermantin lause, jonka mukaan suljetulla välillä jatkuva funktio saavuttaa ääriarvonsa 1.) välin päätepisteissä, tai 2.) derivaatan nollakohdissa tai 3.) pisteissä, joissa funktio ei ole derivoituva.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Kela valvoo lasten tilejä.
Tämä isoveli Kela kyttää jopa lasten yli 200,- euron rahat jotka on melko varmasti lahjaksi saatu. Se vaikuttaa perheen2582746Nainen, tervetuloa
Tule luokseni eka vaikka viikoks tai pariksi. Saisin helliä, kannustaa ja tukea sua ja kokata lempi herkkujasi. Pääsisit111703- 1201609
TTK-tähti Saana Akiola paljasti tv-ohjelmassa tapahtuneen ahdistelun
Olisko pitänyt suunnitella ulostulo paremmin? Nyt lehdet soittelevat kaikki 8 läpi ja kuusi sanoo ettei koskenut häntä.161492Elisa laskuttaa jo sähköpostilaskusta erikseen euron
Paperilaskuista on otettu lisämaksua jo ajat sitten, mutta nyt Elisa ottaa euron siitä että lähettävät sähköisen laskun961355Oho! Susanna Laine kohtasi epäonnea lomareissulla Italiassa - Avaa tilannetta: "Vähän sahaavaa..."
Ou nou! Tsemppiä kuitenkin loppulomaan Italiassa, Susanna Laine ja mahdollinen seuralainen! Lue lisää ja katso kuvat:71200Väliämme on noin 6 km
Niin lähellä ja niin kaukana. Sinä olet kotona, minä olen kotona. Olet jo unessa. Mutta kun herään, olet jo töissä ja vä9963- 61928
- 56908
Ensitreffit alttarilla Jyrki paljastaa hääyön intiimiasioista kameroiden sammuttua: "Fyysinen..."
Ooo-la-laa… Ensitreffit alttarilla -sarjassa alkaa hääparien välillä ns. tunteet kuumenemaan. Lue lisää: https://www.s1895