Muistelen, että joskus lukioaikoinani matikanopettaja mainitsi sellaisesta, että joku loogikko/matemaatikko olisi todistanut, että vastoin olettamuksia on kaikissa avaruuksissa alkioiden yksikäsitteisyys mahdoton todistaa. (Vai oliko jopa niin, että väkisin missään avaruudessa ei ole yksikäsitteisiä alkioita.)
Luin sittemmin Kurt Gödelin todistuksesta, jonka mukaan mitään matemaattista järjestelmää ei voida todistaa sisäisesti ristiriidattomaksi.
Onkohan kyseessä sama asia, vai onko ensimmäinen väite jokin muu todistus? Luultavasti lukiossa läpikäyty väite ei mennyt noin, kun sanoin. Se kuulostaa aivan hullulta -muisti pettää. Mutta kiinnostaisi asian tausta? Tunnistaako joku?
Luin sittemmin Kurt Gödelin todistuksesta, jonka mukaan mitään matemaattista järjestelmää ei voida todistaa sisäisesti ristiriidattomaksi.
Onkohan kyseessä sama asia, vai onko ensimmäinen väite jokin muu todistus? Luultavasti lukiossa läpikäyty väite ei mennyt noin, kun sanoin. Se kuulostaa aivan hullulta -muisti pettää. Mutta kiinnostaisi asian tausta? Tunnistaako joku?
Vastaukset 5
Vanhimmat
Cantor niminen matemaatikko ainakin tutki eri joukkojen 'mahtavuuksia'. Hän mm. todisti, että neulanpää 'sisältää' yhtä monta pistetttä, kuin koko maailma(oletettaessa maailman olevan 3-ulotteinen reaaliavaruus?). Siis joukkojen numeroituvuudesta on kyse. Myös hänen mukaansa nimetty Cantorin joukko liittyy Bellin informaatioteoriaan(häiriöiden esiintyminen tiedonsiirrossa). Cantor tuli vanhempana hulluksi ja taisi jäädä sille tielle.
En tiedä miten tämä on yhteydessä etsimääsi tietoon, mutta tulipahan mieleen. Antamissani tiedoissa voi olla virheitä.
Laitoin tähän jo ajat sitten korjauksen, mutta palomuuri taisi niellä lähetyksen. Liian tiukka tietoturva :)
Virheellisesti mainitsin "Bellin informaatioteoriaan", tarkoitin tietenkin Shannonin informaatioteoriaa.
Eivätkö lukusuoran (1-ulotteinen avaruus) pisteet muka ole yksikäsitteisiä reaalilukujen kanssa? Älä nyt hulluja puhu! Puhtaan geometrisesti voi aina ajatella, että reaalilukua a vastaa lukusuoran (jolle tietysti on sovittu positiivinen suunta ja origo on kiinnitetty) vektori OA, joka saadaan yksikkövektorista e kertomalla tämä luvulla a. Tälle
kääntäen yksiyhteiselle (olikohan se näin? Nimityksestä viis...) vastaavuudelle voidaan raapustella ihan pätevä todistus, irrationaalilukujen kohdalla joudutaan vain turvautumaan Dedekindin leikkausten tyylisiin kommervenkkeihin. Kun yksiulotteiset alkiot ovat yksikäsitteisiä, niin helpostihan saa 2,3,4...-ulotteiset alkiot yleistettyä yksikäsitteisiksi, kunhan vain ottaa ortonormitetun (tai muuten suoraviivaisen) kannan käyttöön.
Sisäinen ristiriitaisuus kuulostaa mahdottoman tutulta, olisiko tullut filosofian puolella vastaan? Mutta filosofithan eivät tunnetusti usko mitään, mitä luonnontieteilijät väittävät, eivät ainakaan ilman todisteita. Ja kuitenkin ne perkeleet keksivät kaikenlaisia oliota ja teorioita, jotka pohjautuvat oletuksiin. Siinä kanssa yhden sortin sekopäitä ;)
Toi alku on ilmeinen, mitä sanoit. :) Enkä mä väittänytkään, että asia oli niin kun sanoin. Mietin vaan just tuota hataraa muistikuvaani.
Sisäiseen ristiriitaisuuteen liittyi ainakin loogikko Kurt Gödel. Monet filosofit ovat keskustelussa vedonneet häneen jonkinlaisena matematiikan kumoajana. Usein vain väitetään virheellisesti, että hän olisi todistanut, ettei sisäisesti ristiriitaisia matemaattisia järjestelmiä ole. Se mitä hän OIKEASTI todisti oli muistaakseni:
1. Jokaisessa matemaattisessa järjestelmässä on lauseita, joiden totuusarvoon ei voida ottaa kantaa ( eli ei voida TODISTAA, että se olisi tosi tai epätosi - se VOI olla jompaa kumpaa)
2. Yksi näistä lauseista on matemaattisen järjestelmän sisäinen ristiriidattomuus.
Eli 2. tarkoittaa sitä, ettei minkään matemaattisen järjestelmän sisäistä ristiriidattomuutta voida koskaan todistaa. Eli siitä ei voida olla koskaan varmoja. Mutta se EI tarkoita, etteikö matemaattinen järjestelmä voisi joka tapauksessa olla ristiriidaton. Useissa järjestelmissä ristiriidattomuus on jopa todennäköistä.
Luin aiheesta kirjasta nimeltä Lukujen taivas. Gödelin todistus kulki jotenkin näin:
-jotta jokainen matemaattinen järjestelmän voisi todeta olevan ristiriidaton, se olisi todistettava tätä matemaattista järjestelmää laajemmalla metajärjestelmällä
-jotta metajärjestelmä olisi ristiriidaton eikä johtaisi vääriin johtopäätöksiin, on se myös todistettava
-jne jne jne
=> koskaan todistusta ei saada päteväksi
=> kohta 2. on tosi
=> koska on olemassa lause, jonka totuusarvoon ei voida ottaa kantaa missään matemaattisessa järjestelmässä (järjestelmän sisäinen ristiriidattomuus eli lause 2.)
=> kohta 1. on tosi
Tämä ei ole mikään todistus - en ole todistanut, että tarvittaisiin väkisin jonkinlainen metamatematiikka todistamaan ristiriidattomuuden. Mutta näin Gödelin todistus suurin piirtein meni.
Menee siis vahvasti filosofian puolelle. Mutta siinä
mielessähän tuo juuri on totta: matematiikan perustavimmat aksioomat ovat oletuksia (kaikki geometriset "samankohtaiset kulmat" jne. Onko näille
todistusta, vai onko näitä kulmia tms. vain mittailtu tarkasti ja tultu tulokseen, että...?) Ja sinällään kaikki arkitodellisuuten liittyvä on hieman epämääräistä: pituus, pinta-ala, tilavuus... Niille voidaan antaa juuri määritelmät integraaleina
ja yksikkönä ainoastaan pituusyksikkö, mutta mitä se
oikeastaan kertoo? Olen lukenut Gleickin kaaosta ja siinä kumotaan koko pituuden ja pinta-alan jne.
täsmällisyydet. (Nämä tavanomaiset "Britannian rannikko" -fraktaalit ja fraktaalit yleensä.) Mitä
sitten jää jäljelle, kun arjen vankka "musta tuntuu"- kokemus viedään alta pois? Peltoja ei voi
enää mitata hehtaareissa, niiden mitaksi on keksittävä jotain muuta,tai ainakin kauppatilanteessa on otettava huomioon reunan "rosoisuus". Tai jotain sinne päin. En minä tiedä.
Sitä ei varmaan vaan pitäisi ensinnäkään ajatella, vie turhaa muistikapasiteetti ja muutenkin: tulee vähän orpo olo, kun ei tiedä, mihin uskoa.
Minä olen kyllä harvinaisen lahjakas tässä yli ja ympäri aiheen surffailussa. Ehkä minusta sittenkin
tulee poliitikko ;)