matematiikan salat

Itse innostuin matematiikan historiaa vähän sattumalta iässäsi lukemalla. Jos jostain vielä löydät esim. ikivanhat teokset Hogben: Matematiikkaa kaikille ja Bell: Matematiikan miehiä, saattaa mielenkiinto herätä. Ovat aika ajattomia. Kirjastoissa on myös kaukolainapalvelu. Uudempiakin vastaavia takuulla löytyy; minulle vaan riiti inspiraatioksi silloin nuo.

Tämä on aika mielenkiintoinen tulos: https://en.wikipedia.org/wiki/Banach_Tarski

Tarkastellaan seuraavaa harmittoman oloista kysymystä: kumpia on enemmän luonnnollisia lukuja 0,1,2,3,4, ... vaiko parillisia luonnollisia lukuja 0,2,4,6, ... Koska jälkimmäinen lista on saatu ensimmäisestä poistamalla lukuja voisi kuvitella, että luonnollisia lukuja on enemmän. Toisaalta parilliset luvut voidaan kaavan n 2n avulla "naittaa" kaikkien luonnollisten lukujen kanssa vieläpä niin, että jokaisella luonnolisella luvulla on tasan yksi parillinen lukua kaverina ja kääntäen (parien lista alkaa (0,0), (1,2), (2,4), (3,6),... ja yleinen termi on muotoa (n,2n)). Täten parillisia lukuja pitäisi itse asiassa olla yhtä paljon kuin kaikkia luonnollisia lukuja! Tämä tunnetaan Galilein paradoksina.

Paradoksi syntyy tässä siitä, että vertasimme lukumäärää kahdella tavalla. Äärellisten joukkojen tapauksessa nämä tavat antaisivat saman vastauksen, mutta äärettömien joukkojen tapauksessa näin ei ole. Äärellisten joukkojen yhteydessä osaamme ratkaista lukumäärään liittyvät kysymykset arki-intuition pohjalta, mutta äärettömien joukkojen yhteydessä äärelliseen maailmaan sopeutunut intuitiomme johtaa harhaan.

Nyt voi herätä ajatus, että äärettömien joukkojen suuruuksien vertailu johtaa väistämättä ristiriitaan, mutta saksalainen matemaatikko Georg Cantor (1845-1918) kehitti paljon kiintoisamman tavan lähestyä asiaa, joka vaikuttaa ristiriidattomalta. Koska edellä käytetty ensimmäinen tapa verrata joukkojen suuruuksia soveltuu vain tilanteeseen, joissa toinen joukko sisältyy kokonaisuudessaan toiseen, kannattaa joukkojen suuruuden vertailun pohjaksi ilmeisesti ottaa pareittainen vastaavuus. Sanommekin, että joukot A ja B ovat yhtä mahtavia, jos niiden alkiot voidaan parittaa keskenään niin, että jokainen joukon A jäsen on pari tasan yhden joukon B jäsenen kanssa ja kääntäen (tekninen termi, joka saattaa olla tuttu lukion 2. vuoden opiskelijalla, on että joukkojen A ja B välillä on olemassa bijektiivinen funktio).

Nyt joukko B on yhtä mahtava luonnollisten lukujen joukon {0,1,2,3, ...} kanssa jos ja vain jos joukon B alkiot voidaan asettaa jonoon b_0, b_1, b_2, b_3 (tällöin vaadittu paritus koostuu pareista (n,b_n)). Sanomme, että joukko B on numeroituva. Edellä os siis nähty, että parillisten lukujen joukko on numeroituva. Myös kaikkien kokonaislukujen joukko on numeroituva, sillä ne voidaan asettaa jonoon
0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, ...
Kaikki positiiviset rationaaliluvut voidaan asettaa jonoon esimerkiksi ottamalla ensin ne luvut joissa osoittajan ja nimittäjän summa on 2 sitten 3 jne. Näin saatu jono alkaa
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, ...
Jokainen rationaaliluku esiintyy tässä listassa itse asiassa äärettömän monta kertaa, sillä esim 1/1= 2/2= 3/3= ... Voimme kuitenkin ottaa mukaan vain ensimmäisen esiintymän. Näin saatu jono alkaa
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 3/4,...
Kaikki rationaaliluvut (mukaan lukien negatiiviset) voidaan siis asettaa jonoon 0/1, -1/1, 1/1, -1/2, 1/2, -2/1, ...

Nyt saattaa herätä ajatus, että kaikki äärettömät joukot ovat numeroituvia, jolloin joukkojen mahtavuus olisi tietysti turha käsite. Cantor kuitenkin osoitti, ettei näin ole. Ajatellaanpa esimerkiksi kaikkia pelkästään kirjaimista a ja b muodostettuja äärettömän pitkiä merkkijonoja. Olkoon S kaikkien tällaisten merkkijonojen joukko. Tällöin S ei ole numeroituva. Jos nimittäin meillä on peräkkäinen lista (=jono) joukon S merkkijonoja, niin konstruoidaan uusi jono ottamalla ensimmäiseksi merkiksi eri merkki kuin listan 1. jonon 1. merkki, toiseksi merkiksi eri merkki kuin listan 2. jonon 2. merkki jne. Näin saatu merkkijono eroaa listan jokaisesta merkkijonosta ainakin yhden merkin osalta eikä lista siis voi sisältää kaikkia joukon S merkkijonoja.

Muita tunnettuja äärettömyyttä koskevia paradokseja ovat Zenonin paradoksit, jotka liittyvät matemaattisen analyysin perusteisiin ja sitä kautta lukion 2. ja 3. vuoden oppimäärään.

0,999... = 1

> Eli kertokaa mulle joitakin matematiikan ihmeitä ja sillälailla että lukion toiselle menevä niitä ymmärtää.

Ihmeitä ei matematiikassa ole, ne kuuluvat uskontoihin.
Mutta mielenkiintoisia juttuja saattaapi löytyä, siis sellaisia joita voit ymmärtää ja kokea mielenkiintoisina.

Ehkäpä tämä sopisi lukion toiselle menevälle:
http://en.wikipedia.org/wiki/Braess's_paradox
Ei sisällä mitään ns korkeampaa matematiikkaa, mutta lopputulos saattaa yllättää, vaikka laskemalla voit sen itsekin todentaa.

On mahdollista heittää kolme eriväristä palloa ilmaan ja koska vain leikata yhdellä ohuen miekan iskulla kaikki pallot kahtia.

http://en.wikipedia.org/wiki/Ham_sandwich_theorem

Tsekkaa http://math.stackexchange.com/questions/250/a-challenge-by-r-p-feynman-give-counter-intuitive-theorems-that-can-be-transl

Tämä liittyy todennäköisyyslaskentaan.

Lotossa on 39 mahdollista numeroa. Kysymys kuuluu: mikä on päävoiton todennäköisyys eli se liittyy siihen, kuinka monta erilaista mahdollista riviä on olemassa?

Lähdetään siitä, että kysytään, millä todennäköisyydellä tulee järjestyksessä sarja 1,2,3,4,5,6,7.

Todennäköisyys P, että tulee 1, on P(1)=1/39.
Sen jälkeen todennäköisyys, että tulee 2, on P(2)=1/38, koska jäljellä on enää 38 erilaista numeroa.
P(3)=1/37, P(4)=1/36, P(5)=1/35, P(6)=1/34, P(7)=1/33.

Selvästi tämän käänteisluku on

39! / 32!

missä "!" tarkoittaa kertomaa eli esim.

5!=2*3*4*5=120

Toisaalta sallitaan mikä tahansa järjestys, siis esim.

5,3,7,1,5,2,6
2,5,1,6,7,4,3
...

Näitä erilaisia sarjoja on 7!. Voit kokeilla tätä vaikkapa tarkastelemalla yksinkertaisempaa numeromäärää esim. (1,2,3) erilaisilla järjestyksillä

1,2,3
1,3,2
2,1,3
2,3,1
3,1,2
3,2,1

eli saadaan 2*3=3!=6 erilaista sarjaa.

Saadaan siis erilaisten rivien määräksi

39!/(32!*7!)=15,380,937

ja todennäköisyys on P(päävoitto)=1/15,380,937.

Annan sinulle vähän hankalamman kotitehtävän: ratkaise Euro Jackpotin erilaisten rivien määrä. Jos on älliä ja motivaatiota, selviät kiivaasti ajattelemalla tätä.

Varoitus: Tästä näyttää tulevan pitkähkö viesti, ja suurin osa on esipuhetta:

Heitetäänpäs "hauska" lause, joka saattaa mennä vähän yli hilseen (mutta ehkä joku toinen tykkää?), mutta jonka muistan itse kokeneeni hyvin vaikuttavana, ja jonka olisin mieluusti nähnyt aiemminkin kuin siihen törmäsin (vasta yliopiston fuksivuonna. En btw lue matematiikkaa pääaineena, se yhdistettynä siihen, etten halua käyttää liian vaikeita termejä/määritelmiä saattaa johtaa huonoon kielenkäyttöön, pahoittelen matemaatikoille):

Jos luet pitkää matematiikkaa (ainakin jos luet fysiikkaa), olet jo saattanut törmätä summanotaatioon, suureen sigmaan Σ, jonka avulla voidaan kompaktisti esittää pidempiä summalausekkeita. Viimeistään se tulee vastaan heti syksyn ensimmäisellä kurssilla todennäköisyyksien yhteydessä. Esimerkiksi kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima on fysiikassa Σ_(i=1)^N F_i = F_1 F_2 ... F_N (alaindeksi _ on ns. summausindeksi, yläindeksi ^ kertoo summattavien määrän). Toisaalta voidaan kirjoittaa vaikkapa S = Σ_(n=1)^5 n, eli summattavana on aina "n"; S = 1 2 3 4 5. Mukana? Hyvä.

Viimeistään pitkän matematiikan 13. kurssilla (itse näihin törmäsin jo 9. ja 10. kurssilla) summista tehdään sellaisia, että niissä summataan *ääretön* määrä termejä, ja ruvetaan puhumaan sarjoista. Yleensä sarjoja merkitään suunnilleen näin: Σ_(n=1)^∞ a_n tai lyhyesti Σa_n, kuten nyt teen, koska indeksit ovat ASCII:lla kirjoitettuna rumia. a_n:n muotoon otetaan kantaa tarvittaessa.

Erityisesti puhutaan sarjojen suppenemisesta ja hajaantumisesta. Ensimmäisissä heuristisesti ajatellen peräjälkeiset termit pienenevät niin nopeasti (tai ovat erimerkkisiä ja "kumoavat toisiaan tarpeeksi", hyvin löysää kielenkäyttöä mutten mene yksityiskohtiin), että vaikka summattavana on äärettömän monta termiä, ovat ne niin pieniä, että koko sarjan summa lähestyy jotain äärellistä arvoa. Hajaantuvat sarjat puolestaan eivät lähene mitään arvoa (ne voivat esim. kasvaa mielivaltaisen suuriksi).

Suppenevat sarjat voidaan edelleen jakaa itseisesti suppeneviin sarjoihin ja ehdollisesti suppeneviin summiin. Ensiksi mainitut ovat sellaisia, jotka suppenevat myös niin, että summatermien itseisarvoista koottu sarja suppenee, Σ|a_n| on olemassa (eli jos sarja suppenee ja kaikki sen termit ovat positiivisia, sarja suppenee myös itseisesti). Toiseksi mainitut ovat (vähemmän yllättäen) sellaisia, joissa Σa_n kyllä suppenee, mutta Σ|a_n| ei.

Esimerkiksi kun a_n = 1/n^2, eli Σa_n = 1/1 1/4 1/9 ..., voidaan näyttää että sarja suppenee (arvo on pi^2/6), ja koska kaikki termit ovat positiivisia, niin sarja suppenee itseisesti.

Kanoninen esimerkki ehdollisesti suppenevasta sarjasta saadaan, kun a_n = (-1)^(n 1)/n, Σa_n = 1-1/2 1/3-1/4 ..., jolloin sarjan summaksi tulee ln(2) (logaritmi, jos et ole nähnyt jossain yhteydessä). Kuitenkin jos otetaan termien itseisarvot: Σ|a_n| = Σ 1/n = 1/1 1/2 1/3 ..., voidaan osoittaa että sarjan summa lähestyy ääretöntä, eli sarja hajaantuu. Siis tämä sarja (a_n = (-1)^(n 1)/n) suppenee ehdollisesti

*Nyt itse "ihmeellisyyteen":*

Tiedät varmaan, että 1 (-1) = (-1) 1 = 0. Oikeastaan a b = b a mille tahansa luvulle, eikö (sitä sanotaan kommutoimiseksi)? Summauksen järjesyksellähän ei varmaankaan sitten ole väliä?

Ei nyt ihan niinkään: Saksalainen (kuuluisa) matemaatiikko Riemann todisti lauseen, jonka mukaan (edelleen vähän yksinkertaistaen) pelkästään vaihtamalla summattavien termien järjestystä saadaan ehdollisesti suppeneva sarja suppenevaan *mihin tahansa* lukuun tai hajaantumaan. Siis vaikka S=1-1/2 1/3-1/4...=ln(2), vaihtamalla järjestystä saadaan, edelleen niin että jokainen 1/n-termi on mukana tasan kerran, esimerkiksi S=1-1/2-1/4 1/3-1/6-1/8 1/5-1/10 ... = 1/2-1/4 1/6-1/8 ... = (1/2)(1-1/2 1/3-...) = S/2 = ln(2)/2.

Mitään muuta kuin summausjärjestystä ei muutettu, mutta sarjan arvo puolittui. Tämä on (mielestäni hyvä) esimerkki siitä, että äärettömän kanssa kannattaa olla varuillaan. Äärellisiä määriä termejä sisältävillä summillahan näin ei tietenkään voi tehdä.

(Tarkempi järkeily siitä, mitä tuossa summausjärjestyksen vaihtamisessa tapahtuu löytyy esim. enkkuwikipediasta)

Suosittelen katsomaan tämän 3-osaisen matematiikkasarjan yle-areenasta:

http://areena.yle.fi/tv/1832113

Sarjalla on hyvin soveltava lähtökohta matematiikalle ja se pitää matematiikkaa suorastaan objektiivisena. Mielenkiintoinen sarja.