Derivaatta ja differentiaali – mitä eroa?

ıhmettelıjä

Hei, rupesin tässä miettimään, että mitähän eroa derivaatalla ja differentiaalilla on. Onko derivaatta dy/dx vain kahden differentiaalin dy ja dx osamäärä?

15

4239

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • 5+2

      Wikipediassa on määritelmä:

      "Differentiaaliyhtälöllä tarkoitetaan matematiikassa yhtälöä, jossa esiintyy tuntematon yhden tai useamman muuttujan funktio sekä sen derivaattoja."

      http://fi.wikipedia.org/wiki/Differentiaaliyhtälö

    • 17+1

      Aloitetaan vaikka tällä: Miten sinä määrittelet differentiaalin?

      Varmuuden vuoksi: Kyseistä käsitettä ei yleensä määritellä hyvin kovin "aikaisessa" vaiheessa, vaan vasta esimerkiksi hyperreaalilukujen avulla epästandardissa analyysissä. Samaa notaatiota käytetään lisäksi muun muassa differentiaaligeometriassa differentiaalimuodon ulkoderivaatasta, jolloin 0-muodon ulkoderivaatan voi käsittää "differentiaaliksi" klassisessa mielessä.

      Ns. käsiä heiluttelemalla sanomasi kyllä pitää tietyssä mielessä paikkaansa, eli jos jotain mielikuvallista apuvälinettä kaipaat ja olet esimerkiksi lukiossa, mielestäni voit kyllä ajatella noin jos se auttaa.

    • Aukino

      Diffrentiaali on siis esim. dx tai dy tai fysiikassa esim. dt, ja ne lähestyvät aina nollaa, itse asiassa aina pluspuolelta. Fluxioni on vielä sama kuin Derivaatta, sen ilmaisi Newton pistämällä funktion päälle pisteen, ja se tarkoitti samaa kuin ajalla derivointi. Derivointi on siis sama kuin differentiaalien jako, koska derivoidessa täytyy aina ilmaista, minkä suhteen derivoidaan funktio, Se on tavallisesti oletusarvoisesti dx, jos ei toisin mainita.

      Derivaatta on niinkuin sanoit, dy/dx tai df(x)/dx ja se on vielä sama kuin "tangentti", eli kun käytetäänkin kulmaa, vastaisen suhde viereiseen kateettiin, ja siinä ilmenisi silloin noiden kateettien dy ja dx sijaan kulma, mutta se on silti sama asia. Eli:
      tan alfa = df(x)/dx, missä alfa on kulma missä tangentti sivuaa funktiota f tai y pisteessä x.

      • Aukino

        Eli derivaatan määritelmähän on esim.
        F'(x) = f(x) = dF(x)/dx = lim h->0 (F(x h)-F(x))/h, mutta sen varmaan kaikki lukionsa jo käyneet tietävät....
        h: voisi merkita x1-x0 eli (x h) - x = h

        Ääretön derivaatan arvo tai ääretön tangetin arvo? Silloin noustaan suoraan ylös, ja se pongaa aina käytetyssä x-pisteessä kuvion maksimiarvon, eli periaattessa on silti aina teoriassa ääretön....

      • Aukino
        Aukino kirjoitti:

        Eli derivaatan määritelmähän on esim.
        F'(x) = f(x) = dF(x)/dx = lim h->0 (F(x h)-F(x))/h, mutta sen varmaan kaikki lukionsa jo käyneet tietävät....
        h: voisi merkita x1-x0 eli (x h) - x = h

        Ääretön derivaatan arvo tai ääretön tangetin arvo? Silloin noustaan suoraan ylös, ja se pongaa aina käytetyssä x-pisteessä kuvion maksimiarvon, eli periaattessa on silti aina teoriassa ääretön....

        ÖÖ, sori ilmaisin itseni väärin. Ääretön tangnettina ei välttämättä nosta kuviota, kuin esim. yhden yksikön y:tä ylöspäin, eli ei kuvion maksimiarvoksi välttämättä yyssä, mutta kuvion on hiukan vaikeaa määritellä x:n avulla, kuinka kauan kyseissä pisteessä noustaan ylös, se pitäisi erikseen ilmaista esim. 2

      • Aukino
        Aukino kirjoitti:

        ÖÖ, sori ilmaisin itseni väärin. Ääretön tangnettina ei välttämättä nosta kuviota, kuin esim. yhden yksikön y:tä ylöspäin, eli ei kuvion maksimiarvoksi välttämättä yyssä, mutta kuvion on hiukan vaikeaa määritellä x:n avulla, kuinka kauan kyseissä pisteessä noustaan ylös, se pitäisi erikseen ilmaista esim. 2

        Öö, tosta jäi sen äärettömän tangentin ääretön-selitys jostain syystä pois:
        esim. 2

      • 20+13
      • Yucca
        20+13 kirjoitti:

        Kannatus tälle.

        derivaatta on esim. dy/dx
        http://matta.hut.fi/matta2/isom/html/derivaat1.html

        differentiaali on esim. dy ( df = f'(x)h )
        http://matta.hut.fi/matta2/isom/html/derivaat3.html

        Valitettavasti tuossa aineistossa on käytetty derivaatan merkinnässä Ascii-heittomerkkiä ('), joka on lähes kiinni edeltävässä kursivoidussa f:ssä. Niinp' keskeistä yhtälöä df = f'(x)h pitää tihrustaa tarkkaan, ennen kuin huomaa, ettei se ole df = f(x)h. Oikeampi merkintä on df = fʹ(x)h, mutta eipä sekään johda kovin hyvin luettavaan tulokseen. Ellei kaavoja tuoteta ohjelmilla, jotka pystyvät esittämään matemaattiset kaavat laadukkaasti, on parempi merkitä f:n derivaattaa Df:llä, siis esimerkiksi df = Df(x)h.

        Joka tapauksessa differentiaali on siis yksinkertaisesti argumentin muutoksen (h) ja derivaatan tulo. Differentiaali antaa funktion arvon muutoksen likiarvon, joka perustuu funktion approksimoimiseen lineaarisella funktiolla (siis graafisesti sanottuna suoralla, jonka kulmakerroin on funktion derivaatta).

      • 3+10
        Yucca kirjoitti:

        Valitettavasti tuossa aineistossa on käytetty derivaatan merkinnässä Ascii-heittomerkkiä ('), joka on lähes kiinni edeltävässä kursivoidussa f:ssä. Niinp' keskeistä yhtälöä df = f'(x)h pitää tihrustaa tarkkaan, ennen kuin huomaa, ettei se ole df = f(x)h. Oikeampi merkintä on df = fʹ(x)h, mutta eipä sekään johda kovin hyvin luettavaan tulokseen. Ellei kaavoja tuoteta ohjelmilla, jotka pystyvät esittämään matemaattiset kaavat laadukkaasti, on parempi merkitä f:n derivaattaa Df:llä, siis esimerkiksi df = Df(x)h.

        Joka tapauksessa differentiaali on siis yksinkertaisesti argumentin muutoksen (h) ja derivaatan tulo. Differentiaali antaa funktion arvon muutoksen likiarvon, joka perustuu funktion approksimoimiseen lineaarisella funktiolla (siis graafisesti sanottuna suoralla, jonka kulmakerroin on funktion derivaatta).

        Olen huomannut saman ja käyttänyt blankoa yläpilkun edessä: f '(x); ei kovin kaunista mutta selkeää.

      • Aukino
        Aukino kirjoitti:

        Eli derivaatan määritelmähän on esim.
        F'(x) = f(x) = dF(x)/dx = lim h->0 (F(x h)-F(x))/h, mutta sen varmaan kaikki lukionsa jo käyneet tietävät....
        h: voisi merkita x1-x0 eli (x h) - x = h

        Ääretön derivaatan arvo tai ääretön tangetin arvo? Silloin noustaan suoraan ylös, ja se pongaa aina käytetyssä x-pisteessä kuvion maksimiarvon, eli periaattessa on silti aina teoriassa ääretön....

        Derivaatta siis pongaa yhtä alemman ulottuvuuden ja toinen derivaatta kahta.
        d^2y/dx^2 on toinen derivaatta yylle, ja ilmaisee käyrän kuperuuden, siinä missä ensimmäinen derivaatta dy/dx kulmakertoimen. Jos käyrä on suora, sen kuperuus, toinen derivaatta on aina nolla.

    • 18+12

      Yhden muuttujan funktiloilla se on noin mutta monen muuttujan funktioilla differentiaali on summa, jossa tekijöinä on kunkin muuttujan osittaisderivaatan ja muuttujan differentiaalin tulo.

    • popedo

      Ei, derivaatta ei määritellä osamääränä! Derivaatta on erotusosamäärän raja-arvo. Funktion differentiaali pisteessä a voidaan määritellä seuraavasti:

      ∆f(a) = f(a h) - f(a), missä h on yleensä pieni.

      Koska h voi saada mitä tahansa arvoja, niin differentiaalien sovellukset ovat epäilyttävästi vähäiset.

      Derivaatta sen sijaan on raja-arvon sovellus. Ilman raja-arvoa emme ikinä voisi määrittää derivaattaa symbolisesti, vaan tyytyisimme laskemaan likiarvoja funktion jokaiselle pisteelle erikseen. En tiedä miten maailma toimisi ilman symbolista derivaattaa mutta tuskin kuussakaan olisi silloin käyty.

      • Ei noin...

        Differentiaalin määritelmä noin tehtynä on kyllä ristiriidassa niiden määritelmien kanssa, joihin minä olen aiemmin törmännyt. Mielestäni koko differentiaalin määritteleminen on alkeiden tasolla täysin turhaa, mutta jos se on pakko tehdä, niin tavallisempi määritelmä olisi kait tuo 20 13:n mainitsema.

        Sitä paitsi yleensä kait differentiaalia merkitään df(a) kun taas tuo Delta viittaa muutokseen yleisemmin.

    • 399

      En tiedä vastausta

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Israel aloitti 3. maailmansodan

      https://www.is.fi/ulkomaat/art-2000011297979.html Israel se sitten aloitti näköjään kolmannen maailmansodan.
      Maailman menoa
      402
      2132

    2. Kaksi vuotta

      Sitten mä ihastuin suhun päätä pahkaa, kun meillä klikkasi heti ekasta päivästä lähtien. Et varmasti tunne samoin ja tek
      Ikävä
      12
      1959

    3. Nainen, meidän talossa on säännöt

      1. Mies on aina oikeassa. 2. Ei vastaväitteitä. 3. Mäkättäminen kielletty. 4. Suhde on tärkein. 5. Ei salaisuuksia. 6. E
      Ikävä
      250
      1405

    4. Miksi me ei mies voida edes viestitellä irl?

      En odota enkä vaadi mitään, voitaisiin vain olla yhteyksissä jollain tapaa ihan oikeasti.
      Ikävä
      82
      1059

    5. Oliko Farmi-finaalitehtävät mielestäsi tasaveroisia Lloydin ja Johannan välillä?

      Onnea Farmi-voitosta, Lloyd. Et tainnut olla ihan kaikkien suosikki, mutta puskit voittoon! Oliko finaalitehtävät miel
      Tv-sarjat
      56
      965

    6. Raamatun kiroukset ja uhkaukset osoittavat sen ihmisperäisyyden

      "Se sanotaan galatalaiskirjeessä, että jos joku levittää väärää evankeliumia: "...jos joku julistaa teille evankeliumia
      Hindulaisuus
      402
      948

    7. Rakennetaanko yhdessä?

      Haluaisin rakentaa sun kanssa yhteistä tulevaisuutta❤️ Onko meistä siihen? Huomaan että sulta puuttuu se joku tärkeä elä
      Ikävä
      39
      818

    8. Onko hän elämäsi rakkaus?

      Itse olen sitä mieltä että kyllä se näin taitaa nyt olla
      Ikävä
      56
      789

    9. Mies haluaisin sinun kanssa

      Rakkauslapsen. Hänestä tulisi tosi söpö ja fiksu.
      Ikävä
      75
      760

    10. Hyvää yötä mies

      Nuku hyvin. Viikonloppuna on tulossa hellettä, se on mukavaa. Juhannuskin kohta. Mun tekis mieli huolehtia susta. Semmo
      Tunteet
      70
      734
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt