Kysymys suoran ympyräkartion tilavuuteen liittyen

Utelias kysyjä

Tiedetään, että suoran ympyräkartion tilavuus on V= 1/3(pii)h(r^2 rR R^2), jos r ja R ovat pohjien säteet.

Mistä tuo sulkujen sisällä oleva lauseke saadaan ? Tiedän kyllä, että pohjaympyrän pinta-ala on (pii)r^2, mutta en siltikään ymmärrä. Ja tuo "rR" kanssa kummastuttaa. Osaisiko joku selittää ?

15

278

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • aeija
    • Utelias kysyjä

      Voiko tuon tehtävässä lasketun kaavan yleistää ? Oletetaan nyt siis yleisellä tasolla.

    • Ämpäri

      Käytetään integrointia.
      Muodostetaan suora, joka kulkee pisteiden (0,R) ja (h,r) kautta. Kun tämä suora pyörähtää x-akselin ympäri, niin kyseessä olevat katkaisty kartio saadaan ottamalla tasojen x = 0 ja x = h välinen osa tästä pyörähdyskappaleesta.

      Suoran yhtälö on y = R - ((R-r) / h) * x . Silloin kartion tilavuus on

      Int {PI*y^2 dx: (0

    • ärÄR

      Tuo kaava on katkaistun ympyräkartion tilavuus.

      Voisi kuvitella, että kaavan saa johdettua kahden ympyräkartion tilavuuden erotuksesta, eli tilavuus isompi miinus tilavuus pienempi.

      • aeija

        Katkaistun ympyräkartion tilavuuskaavan saa johdettua tuolla tukkipuu-linkin loppupuolella olevalla pähkäilyllä, siis ilman integrointia, mutta en ala sitä tähän enää kopioimaan

      • aeija
        aeija kirjoitti:

        Katkaistun ympyräkartion tilavuuskaavan saa johdettua tuolla tukkipuu-linkin loppupuolella olevalla pähkäilyllä, siis ilman integrointia, mutta en ala sitä tähän enää kopioimaan

        tossa se nyt on: http://aijaa.com/zOM0Co

      • aeija
    • 1+17

      Jos katkaistun kartion korkeus on h ja "puuttuvan kärkikartion" korkeus on k, saadaan yhdenmuotoisista kolmioista:
      (h k)/k = R/r => k = r*h/(R-r)
      Ja tilavuus on kartioiden erotus:
      V = 1/3*pii*((k h)*R^2-k*r^2)
      Noista pienellä pyörityksellä.

    • Ämpäri

      Katkaistun ympyräkartion tilavuus voidaan saada myös tynnyrikaavasta.

      Tynnyrin tilavuus ~ h * (A1 4A2 A3) / 6,

      missä h on korkeus, A1 on pohjan ala, A2 on keskipoikkileikkauksen ala ja A3 on yläpohjan ala. Tämän perustana on tunnettu Simpsonin integrointikaava, joka on saatu approksimoimalla integraalifunktiota parabeleilla. Se on siis tarkka, jos integroitava funktio on toisen asteen polynomi.

      Katkaistulle ympyräkartiolle saadaan tynnyrikaavasta

      V = PI * h * (R^2 4 * ((R r) / 2)^2 r^2) / 6, mistä vähän sieventämällä saadaan tunnettu lauseke.

    • Snickers119

      Mites muuten tuo lauseke sitten sievenee, kun K:n arvo sijoitetaan ?

      Itse olisin sen hahmotellut jotenkin näin:

      V=PI (( R-r/h)^2)/3 ( R-r/h)r r^2

      Saako nuo h:n arvot sievennettyä pois ? Kun sinne pitäisi jäädä se yksi h (PI h/3)

      • aeija
    • Snickers119

      Nimerkille "Aeija" itsekin sain saman, mutta mietityttää nyt kuitenkin, kuinka tuolle Rr:lle saa positiivinen arvo ? Kun -2Rr Rr= -Rr, ja pitäisi jotenkin saada positiivinen termi. Osaisitko sinä, tai joku muu kertoa, kuinka se siitä tulee ?

      • 1+17

        Ainakin tuolla yllä olevia kaavoja soveltamalla tulee:
        (h k)/k = R/r => k = r*h/(R-r)
        V = 1/3*pii*((k h)*R^2-k*r^2); k sijoittamalla saadaan:
        V = 1/3*pii*((R^3-r^3)/(R-r)); suorittamalla jakolasku:
        V = 1/3*pii*(R^2 R*r r^2);

      • aeija

        siinähän on -2/3Rr Rr, ja tuo on 1/3Rr, ja sitten viety 1/3 sulkeitten eteen

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Useita puukotettu Tampereella

      Mikäs homma tämä nyt taas on? "Useaa henkilöä on puukotettu Tampereen keskustassa kauppakeskus Ratinan lähistöllä." ht
      Tampere
      247
      4639

    2. Kuka rääkkää eläimiä Puolangalla?

      Poliisi ampui toistakymmentä nälkiintynyttä eläintä Puolangalla Tilalta oli ollut karkuteillä lähes viisikymmentä nälkii
      Puolanka
      77
      3086

    3. Leipivaaran päällä on kuoleman hiljaista.

      Suru vai suuri helpotus...
      Puolanka
      47
      2473

    4. Laitetaas nyt kirjaimet tänne

      kuka kaipaa ja ketä ?
      Ikävä
      28
      1813

    5. Meneeköhän sulla

      oikeasti pinnan alla yhtä huonosti kuin mulla? Tai yhtä huonosti mutta jollain eri tyylillä? Ei olisi pitänyt jättää sua
      Ikävä
      45
      1777

    6. Koska näit kaivattusi viimeksi

      Milloin tapasit rakkaasi? Ja etenikö suhde yhtään?
      Ikävä
      81
      1470

    7. Lähetä terveisesi kaipaamallesi henkilölle

      Vauva-palstalta tuttua kaipaamista uudessa ympäristössä. Kaipuu jatkukoon 💘
      Ikävä
      85
      1295

    8. PS uusimman gallupin rakettimainen nousija

      https://yle.fi/a/74-20170641 Aivan ylivoimaisesti suurin kannatuksen nousu PS:lle. Nousu on alkanut ja jatkuu 2 vuoden
      Maailman menoa
      143
      965

    9. Tekiskö nainen mieli tavata...

      Viikonloppuna ja...?
      Ikävä
      69
      958

    10. Sellainen tunne sydämessä

      Että nainen olet kaivannut minua. Tai sanonko että oikeastaan koet sitä samaa nostalgiaa, kaipuuta ja mukavia muistoja,
      Ikävä
      86
      894
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt