Tiedetään, että suoran ympyräkartion tilavuus on V= 1/3(pii)h(r^2 rR R^2), jos r ja R ovat pohjien säteet.
Mistä tuo sulkujen sisällä oleva lauseke saadaan ? Tiedän kyllä, että pohjaympyrän pinta-ala on (pii)r^2, mutta en siltikään ymmärrä. Ja tuo "rR" kanssa kummastuttaa. Osaisiko joku selittää ?
Mistä tuo sulkujen sisällä oleva lauseke saadaan ? Tiedän kyllä, että pohjaympyrän pinta-ala on (pii)r^2, mutta en siltikään ymmärrä. Ja tuo "rR" kanssa kummastuttaa. Osaisiko joku selittää ?
Vastaukset 15
Vanhimmat
minä taisin tätä vähän aika sitten pähkäillä
http://aijaa.com/lPfOr1
Voiko tuon tehtävässä lasketun kaavan yleistää ? Oletetaan nyt siis yleisellä tasolla.
toi liittyi tähän http://keskustelu.suomi24.fi/node/12109004
ja siinä todellakin on yleistetty tukkipuiden tasolle asti
Käytetään integrointia.
Muodostetaan suora, joka kulkee pisteiden (0,R) ja (h,r) kautta. Kun tämä suora pyörähtää x-akselin ympäri, niin kyseessä olevat katkaisty kartio saadaan ottamalla tasojen x = 0 ja x = h välinen osa tästä pyörähdyskappaleesta.
Suoran yhtälö on y = R - ((R-r) / h) * x . Silloin kartion tilavuus on
Int {PI*y^2 dx: (0
Tuo kaava on katkaistun ympyräkartion tilavuus.
Voisi kuvitella, että kaavan saa johdettua kahden ympyräkartion tilavuuden erotuksesta, eli tilavuus isompi miinus tilavuus pienempi.
Katkaistun ympyräkartion tilavuuskaavan saa johdettua tuolla tukkipuu-linkin loppupuolella olevalla pähkäilyllä, siis ilman integrointia, mutta en ala sitä tähän enää kopioimaan
tossa se nyt on: http://aijaa.com/zOM0Co
pakko toi yksi termi korjata: http://aijaa.com/U8H1fG
Jos katkaistun kartion korkeus on h ja "puuttuvan kärkikartion" korkeus on k, saadaan yhdenmuotoisista kolmioista:
(h k)/k = R/r => k = r*h/(R-r)
Ja tilavuus on kartioiden erotus:
V = 1/3*pii*((k h)*R^2-k*r^2)
Noista pienellä pyörityksellä.
Katkaistun ympyräkartion tilavuus voidaan saada myös tynnyrikaavasta.
Tynnyrin tilavuus ~ h * (A1 4A2 A3) / 6,
missä h on korkeus, A1 on pohjan ala, A2 on keskipoikkileikkauksen ala ja A3 on yläpohjan ala. Tämän perustana on tunnettu Simpsonin integrointikaava, joka on saatu approksimoimalla integraalifunktiota parabeleilla. Se on siis tarkka, jos integroitava funktio on toisen asteen polynomi.
Katkaistulle ympyräkartiolle saadaan tynnyrikaavasta
V = PI * h * (R^2 4 * ((R r) / 2)^2 r^2) / 6, mistä vähän sieventämällä saadaan tunnettu lauseke.
Mites muuten tuo lauseke sitten sievenee, kun K:n arvo sijoitetaan ?
Itse olisin sen hahmotellut jotenkin näin:
V=PI (( R-r/h)^2)/3 ( R-r/h)r r^2
Saako nuo h:n arvot sievennettyä pois ? Kun sinne pitäisi jäädä se yksi h (PI h/3)
http://aijaa.com/pMdL2o
Nimerkille "Aeija" itsekin sain saman, mutta mietityttää nyt kuitenkin, kuinka tuolle Rr:lle saa positiivinen arvo ? Kun -2Rr Rr= -Rr, ja pitäisi jotenkin saada positiivinen termi. Osaisitko sinä, tai joku muu kertoa, kuinka se siitä tulee ?
Ainakin tuolla yllä olevia kaavoja soveltamalla tulee:
(h k)/k = R/r => k = r*h/(R-r)
V = 1/3*pii*((k h)*R^2-k*r^2); k sijoittamalla saadaan:
V = 1/3*pii*((R^3-r^3)/(R-r)); suorittamalla jakolasku:
V = 1/3*pii*(R^2 R*r r^2);
siinähän on -2/3Rr Rr, ja tuo on 1/3Rr, ja sitten viety 1/3 sulkeitten eteen