Onko universaalijoukko joukko-opillisesti olemassa? Eli joukko, joka sisältää aivan kaiken.
Olen kuullut, että se johtaa loogisiin ristiriitoihin, mutta proffa ei perehtynyt asiaan yhtään sen syvemmin.
Kaipaisin perusteluja.
Olen kuullut, että se johtaa loogisiin ristiriitoihin, mutta proffa ei perehtynyt asiaan yhtään sen syvemmin.
Kaipaisin perusteluja.
Vastaukset 8
Vanhimmat
En haitko tätä takaa, mutta Russel'n paradoksissa kysytään, että onko mikä tahansa kokoelma alkioita joukko?
Tarkastellaan kaikkien sellaisten joukkojen kokoelmaa, jotka eivät sisällä itseään alkioina. Ts. tarkastellaan kokoelmaa
E = {A: A ei kuulu A:han}
Kuuluuko E kokoelmaan E alkiona? Tätä ei voida päättää. Jos nimittäin E ei kuulu E:hen => E kuuluu E:hen. Jos taas E kuuluu E:hen, niin E ei kuulu E:hen...
Mielenkiintoista :P...
Käsittääkseni jokainen joukko sisältää automaattisesti itsensä. Tuo kuulostaa vähän erikoiselta.
Ja
Mitä tarkoitat tuossa alempana? Luonnollisesti universaalijoukko sisältää myös tyhjän joukon, kuten kaikki joukot. Tyhjä joukko on tyh-jä - se ei sisällä alkioita. En näe ristiriitaa.
Nyt puhutaankin esim. tällaisesta B={a,b,B}, missä B siis sisältää itsensä alkiona.
No sen universaalin joukon komplementti on varmaankin tyhjä joukko.
Oikaisen väärinkäsityksesi:
Jos meillä on joukko A={a,b,c}, niin sillä on alkioina a, b ja c, muutta ei tietenkään A eikä tyhjä joukko. Sen sijaan A on kyllä A:n osajoukko samoin kuin tyhjä joukkokin. Joukon alkio, on eri asia kuin joukon osajoukko.
Toki joukot {a}, {b} ja {c} ovat myös A:n osajoukkoja, mutta joukkoina ne eivät ole A:n alkioita.
Sitten (ettei olisi liian yksinkertaista) vielä joukotkin voivat muodostaa joukon. Esimerkiksi A:n osajoukkojen joukko B muodostuu kaikista A:n osajoukoista. Sen alkio on myös A, mutta B on tietysti aivan eri joukko kuin A, eikä A ole edes B:n osajoukko(vaikkakin alkio).
Universaalijoukon alkiot voivat olla mitä tahansa, myös joukkoja. Sen alkioita ovat kaikki "oliot" jotka ovat jonkin joukon alkioita.
Siis universaalijoukko Russelin paradoksin mielessä on kai nimenomaan kaikkien joukkojen joukko, eikä kaikkien mahdollisten olioiden joukko. Tämä siis korjauksena edelliseen viestiini.
Piti oikein tarkistaa Russelin paradoksi, kun aloin huomata että en löytänyt mitään paradoksia siitä mitä esitin.
Russel puhuu normaaleista joukoista, eli joukoista jotka eivät sisällä itseään alkionaan.
Epänormaalit joukot taas sisältävät itsensä alkionaan.
Hän olettaa että epänormaalit joukot ovat jollain tavoin ei-toivottavia.
Normaalien joukkojen muodostamasta joukosta N (alkiot ovat siis joukkoja)hän kysyy, onko se normaali vai epänormaali.
Jos se on normaali, sen täytyy kuulua normaalien joukkojen joukkoon. Silloin se on itsensä alkio. Mutta siitä taas seuraa, että koska N on itsensä alkio, se on epänormaali.
Saadaan paradoksi, että N on samanaikaisesti normaali ja epänormaali, mikä on mahdotonta.
Toisaalta jos N on epänormaaali, N on itsensä alkio eli kuuluu normaaleihin joukkoihin. Silloin sen on oltava normaali. Joudutaan aivan samaan paradoksiin.
Näin sitä näköjään voi keskustella sujuvasti itsensä kanssa, kun ei heti tarkista mitä kirjoittaa. Onneksi kirjoitan nimimerkillä!
Koska muut eivät keskustele, jatkan vielä.
Tuo Russell'in paradoksi liittyy universaalijoukkoon sikäli, että sitä välttääkseen rajoitutaan johonkin rajoitetumpaan joukkoon jonka osajoukkoja kussakin tilanteessa tarkasteltavat joukot ovat. Universaalijoukko on siis tilanteen mukaan valittu. Esimerkiksi lukion matematiikassa universaalijoukko useimmiten on reaalilukujen joukko R. Jossain tilanteessa se voisi olla myös kompleksilukujen joukko C.
Eli se mitä aikaisemmin mainitsin universaalijoukosta jossain aiemmassa kyhäelmässäni oli puppua, koska se oli ristiriidassa tämän kanssa.
Jos meillä olisi universaali joukko joka sisältää kaiken, niin mikä on sen komplementti? Tyhjä joukko? Mutta silloinhan tämä joukko ei olisikaan universaali ?!?