..alkuluvut? Netistä löytyy tärkeimmät jutut, mutta mitä muuta?
Mitä tiedätte aiheesta...
Girls
352406
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 35
Vanhimmat
Kaikilla kahta suuremmilla alkuluvuilla on eräs ominaisuus. nimittäin mikäli suorakulmaisen kolmion toinen kateetti on alkuluku>2, on muiden kolmion sivujen pituudet mahdollista ilmoittaa kokonaislukuina.
...tuon? Onko todistusta jossain?
Oletetaan, että mainittu kolmio on suorakulmainen. Esimerkiksi jos yksi sivuista on kolme, ovat muiden pituudet 4 ja 5.
(a^2) (b^2)= c^2, en tiedä haettiinko tätä, mutta todistus ainakin lähtee tästä. Pitänee tarkistaa millaisia Pythagoraan luvut ovat...=)
Pikkulaskija kirjoitti: "Esimerkiksi jos yksi sivuista on kolme, ovat muiden pituudet 4 ja 5."
Näin on vain, jos tuo kolmosen pituinen sivu on toinen kateeteista.
Toistaiseksi en ole vielä vakuuttunut, että Fantasy Klausin esittämä sääntö pitää paikkansa. Perusteluja kaivataan, tämä on mielenkiintoinen asia.
perusteluja perusteluja :)...
Intuitio sanoo kyllä todeksi, mutta eksaktia todistusta kaivataan...
Olkoon kolmion toinen kateetti 2n 1 (n>0), tällöin toinen on 2n(n 1) ja hypotenuusa (2n 1)(n 1)-n. (Voitte tarkistaa vaikka pythagoraan lauseella!)
Koska siis 2n 1 on pariton ja kaikki alkuluvut ovat myös, niin väitekin tuli todistetuksi!
Eli siis itseasiassa se pätee kaikille parittomille luvuille >1. Ja alkuluvut on vaan erikoistapaus tästä...
Kiitos! Siis on jopa niin, että kunhan suorakulmaisen kolmion lyhempi kateetti on pariton (ja vähintään 3), voidaan puuttuville sivuille aina löytää kokonaislukuarvot.
Nyt kiinnostaa kovasti, kuinka rakensit nuo lausekkeet? Ihan sattumaltahan ei tuollaisia vastaan tule.
Laskin ensin kateetit ja hypotenuusat kolmioille, joiden kateetit ovat 3,5,7 ja 11. Sitten laskin saman kateetille 9, jotta näkisin löytyisikö säännöllisyyttä ja kappas vain, tuppasi löytymään. Nimittäin tällöin toiset kateetit olivat 4, 12, 24, 40, 60. Nythän tämä vaikuttaa vain helpolta mensan tehtävältä laittaa seuraava luku perään ja tarkistaa. Ja sama sääntö pätee myös hypotenuusoille 5, 13, 25, 41, 61. Kaavojen rakenteluhan onkin sitten helppoa, kun lopputulos on selvillä. Ja todistushan kruunaa kaiken ;)
Hienosti löydetty kyllä..
Näihin kolmiohin liittyy monia varsin mielenkiintoisia ominaisuuksia. Itse kiinnostuin aiheesta huomatessani lyhemmän kateetin neliön olevan muiden sivujen summa. Tästä tosiaan sen todistin sitten induktiolla. Aloin pohtia yhteyttä alkulukuihin luettuani em. kysymyksen, josta tämä on erikoistapaus, mutta mikäli ei tajua yhteyttä parittomiin lukuihin laajemmin, saattaa väitteeni tuntua aluksi epäuskottavalta.
Tarkennukseksi vielä, eli jos lyhempi kateetti on n, ovat muut kolmion sivut (n^2)/2 (1/2) ja (n^2)/2-(1/2). Näin selvemmin(?) esitettynä.
"Tarkennukseksi vielä, eli jos lyhempi kateetti on n, ovat muut kolmion sivut (n^2)/2 (1/2) ja (n^2)/2-(1/2)."
Millä logiikalla yhden kateetin pituus sitoisi toisen kateetin ja hypotenuusan? Muutenkin hieman ihmetyttää virinnyt keskustelu.
Jos yhden kateetin pituus on kokonaisluku on selvää, että muut sivut *voidaan* esittää kokonaislukuina. Itse asiassa *vastakkaisen* esimerkin todistaminen on hankalaa.
Valitaan kateetiksi n, jos toinen kateetti on m ja molemmat ovat kokonaislukuja tulee hypotenuusaksi väistämättä kokonaisluku. En ymmärrä mitä iloa tästä faktasta on?
...esim. Fermat'n teorian todistuksesta? Ehkä tuotakin jossakin joskus tarvitsee... Vai pitäisikö täällä luetella kaikki faktat, mihinkä tämä nyt mahdollisesti vaikuttaa esim. aputuloksena tms...?
Ei yhden kateetin pituus toki millään tavoin sido sitä toista ja hypotenuusaa. Olikin kyse siitä, _voidaanko_ aina muodostaa kolmio, jonka sivunpituudet ovat kokonaislukuja, jos lyhempi kateetti on pariton.
"Valitaan kateetiksi n, jos toinen kateetti on m ja molemmat ovat kokonaislukuja tulee hypotenuusaksi väistämättä kokonaisluku."
Kokeile kateettien pituuksia 5 ja 7. Hypotenuusa on nyt Sqrt(74) pitkä, ei siis kokonaislukupituinen ensinkään.
Niin, tarkoitus oli sanoa, että jos toinen kateetti on n niin toinen kateetti m *voidaan valita* kokonaisluvuksi siten, että myös hypotenuusa on kokonaisluku.
Formaalia todistusta tuolle en suoraan keksi mutta näin intuitiivisesti se tuntuu selviöltä (muistelen todistuksen nähneeni, joku korjatkoon jos sitä ei ole). Jos toinen kateetti on n niin lähdetään kasvattamaan toista rajattomasti, aikanaan sieltä tulee pituus vastaan joka neliöi summalausekkeen.
Asiaa on tutkittu jo aiemminkin. Ks. http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html
Itse ongelmahan on vain pieni osa Fermat'n ongelmaa. yhtälöllä (a^2) (b^2)=(c^2) on äärettömän monta ratkaisua ja pitää siten sisällään myös parittomat luvut, alkuluvut, sekä parilliset luvut, jne.
3^2 5^2 = 34
sqrt(34) = 5,8... joka ei ole kokonaisluku
...mitä todistettiin ylempänä.
Siis kysehän oli siitä, että jos nyt kiinnitetään jokin pariton kokonaisluku (mikä on siis nyt kolmion toinen kateetti),niin löytyy aina kokonaisluvulliset kolmion kaksi muuta sivua...
No varmaan hyvä ois mainita yksi tunnetuimmista matematiikan ratkaisemattomista ongelmista:
Goldbachin konjektuuri, mikä siis väittää että:
"Jokainen kahta suurempi parillinen kokonaisluku on kahden alkuluvun summa.
Ilmeisesti luvut voivat olla samat. Tai oikeastaan niiden on pakko olla, koska muuten ei toimi
mille ei toimi?
"Ilmeisesti luvut voivat olla samat. Tai oikeastaan niiden on pakko olla, koska muuten ei toimi"
Miten niin ei toimi?
3 5 = 8
Mainittakoot myös, että binäärijärjestelmässä yksi numero kertoo sen, että onko luku parillinen vai pariton.
101 = 5
100 = 4
10 = 2
11 = 3
Jos binääriluku on kokonaisluku, niin viimeinen numero kertoo luvun parillisuuden.
Jos viimeinen numero on 0, luku on parillinen, mutta jos viimeinen numero on 1 luku on pariton.
Tämä siksi, että viimeisen numero voi olla arvoltaan vain joko 0 tai 1.
1 1 = 10.
101 1 = 110
11 1 = 100
10 1 = 11
100 1 = 101
jne.
ykkösen lisääminen muuttaa parillisuutta poikkeuksetta. Näin myös, siinä tapauksessa, että vain viimeinen numero on 1.
100 11 = 111
101 1001 = 1110
100 1001 = 1101
jne.
Jos vaihdamme lukujärjestelmää normaaliksi, tai miksei vaikka mielivaltaiseksi, niin voimme todeta, että luvun parillisuus vaihtuu aina, kun lukuun lisätään pariton luku.
Otetaan kaksi lukua A ja B.
A B = C
Jos luku B on pariton, niin luvun C parillisuus on eri kuin luvun A... Eli jos A on parillinen, niin luku C on pariton, jos luku A on pariton, niin luku C on parillinen.
Vähän kuin negatiivisella kertominen. Tiedämme, että etumerkki vaihtuu aina.
pariton pariton = parillinen! vrt.
negatiivinen * negatiivinen = positiivinen.
4 ja 6. 1 ei ole alkuluku, joten ainoa mahd. 2 2=4 ja 3 3=6...
2 4=6
"Alkuluku on luku, joka on jaollinnen vain itsellään tai ykkösellä.", joten ensimäisiä alkulukuja on 2,3,5,7,11... (on sovittu, että ykkönen ei ole alkuluku). Joten 4 ja 6 ei edes ole alkulukuja.
induktiolla;)
Kaikki nykyiset salausjärjestelmät käyttävät alkulukuja. Jos alkulukuvuille pystyttäisiin selvittämään analyyttinen muoto niin kaikki nykyiset salausjärjestelmät kaatuisivaat. Nykyisin epäillään jonkun kaverin(en muista nimeä) kaavaa, mutta sitä ei ole todistettu.
Kaverin nimi on Grigori Perelman. Hän on venäläinen huippumatemaatikko. Miehen väitetään todistaneen ns. Riemannin konjektuurin joka koskee Zeta-funktion nollakohtia. Näiden kompleksisten nollakohtien konjektuuri oletettaa kaikkien olevan kompleksitasolla siten että nollakohdan reaaliosa on puoli, eli ko. pystysuoralla suoralla.
Tämä ilmeisesti antaisi mahdollisuuden jäljittää kaikkien isojen kokonaislukujen tekijät. Se olisi kohtalokasta salausjärjestelmien kannalta.
Uusi täysin murtamaton salausjärjestelmä tosin on kehitteillä, mutta edellyttää kvanttitietokonetta.Joka haluaa asiasta enemmän tietoa, niin linkki löytyy ainakin keskusteluaiheesta "Kryptausta". Linkki kertoo periaatteen varsin selkeästi ja helposti ymmärrettävästi.
Grigorin väitetään ratkaisseen Poincaren konjenktuurin, ei Riemannin Zeta-funktion nollakohtia...
http://www.cnn.com/2004/US/West/01/07/math.mystery.ap/index.htm
Tuossa keskustelussa kerrotaan jo paljon alkuluvuista ja goldbachin konjektuurista. (Väitöksessä sanotaan, että "...on kahden alkuluvun summa." Alkuluvut saavat olla samoja.)
http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi?category=2000000000000020&conference=4000000000000027&posting=22000000004726046
Alkuluvut tosiaan määritellään seuraavasti:
kokonaisluvut, jotka ovat jaollisiaan vain itsellään ja ykkösellä.
Mutta en ole koskaan tajunnut, miksei ykkönen voi olla alkujuuri (joku mainitsi ettei se voi olla). Sinänsä tämä lukuhan täyttää tämän määritelmän.
Ja seuraava kysymys / asia, josta en ole varma.
Voiko olla negatiivisia alkulukuja? Mahdollisia selityksiä myös (yksinkertaisia, että minäkin ne ymmärtäisin).
1. Aritmetiikan peruslause: "Jokainen positiivinen kokonaisluku n>=2 voidaan kirjoittaa alkulukujen tulona. Tälläinen esitys on tekijöiden järjestystä lukuunottamatta yksikäsitteinen."
esim.
3 = 3 (sinänsä mielenkiintoinen tulo "3")
4 = 2*2
5 = 5
6 = 2*3
Jos 1 olisi alkuluku ei tämä tulo olisi yksikäsitteinen.
esim.
3 = 3*1 = 3*1*1 = 3*1*1*1 = ...
4 = 2*2 = 2*2*1 = 2*2*1*1 = ...
jne.
1 ei voi olla alkuluku, sillä aritmetiikan peruslause ei pitäisi muuten paikkaansa siinä muodossa kuin se on tunnettu tällä hetkellä (lisäselvitystä aivan lopussa).
2. Negatiivinen luku ei voi olla alkuluku, koska alkuluku on luku, joka on jaollinen itsellään ja ykkösellä. Alkulukujen joukkoa käsiteltäessä on käsiteltävä vain luonnollisia lukuja eli positiivisia kokonaislukuja ja 0:aa. Mikäli käsittelyyn otettaisiin mukaan myös negatiiviset luvut seuraisi seuraavaa.
Negatiivinen luku - vaikkapa -2 - on jaollinen 2:lla, -2:lla, 1:llä ja -1:llä eli ei voi olla alkuluku. Nyt myös alkuluku 2 on jaollinen 2:lla, -2:lla, 1:llä ja -1:llä eli ei ole alkuluku. Tietysti alkuluvun määritelmää muuttamalla nämäkin luvut olisivat alkulukuja, mutta on ymmärrettävä luonnollisten lukujen luonnonmukaisuus. Luonnossa ei käsittääkseni esiinny negatiivisia lukuja - et voi ostaa -3 maitoa tai vastaavaa.
Näin minä sen voisin kuvitella selittäväni, mutta en mene takuuseen selityksen tieteellisestä oikeellisuudesta tai lähtökohtien oikeasta valinnasta.
Matematiikka on joukko sopimuksia, joilla pyritään kuvaamaan jotakin. Kukaan ei voi olla varma erinäisten kaavojen tai laskutoimitusten perimmäisyydestä. Vertaa matematiikka vaikkapa liikenteeseen: liikenteessä on voimassa erinäköisiä sopimuksia liikkumisen helpottamiseksi, mutta ovatko sopimuksen perimmäisiä liikenteen totuuksia?
Ja loppuun jäätävän kokoinen M.O.T.ti
"Alkulukujen joukkoa käsiteltäessä on käsiteltävä vain luonnollisia lukuja --"
Ja syynä on taas aritmetiikan peruslause. Jos hyväksyttäisiin alkulukujen vastaluvutkin alkuluvuiksi, löytyisi monelle kokonaisluvulle monta eri esitystä alkulukujen tulona. Esimerkiksi
4 = -2 * (-2) = 2 * 2
30 = -2 * (-3) * 5 = -2 * 3 * (-5) = 2 * 3 * 5
Olet oikeassa tuon aritmetiikan peruslauseen johtamisesta negatiivisten alkulukujen olemassa olemattomuuteen, mutta lause on vain sopimus.
Mielestäni parempi selitys alkulukujen positiiviseen luontoon on positiivisten lukujen luonnollisuus, jota käsittelinkin edellisessä puheenvuorossani eli luonnossa ei ole negatiivisia lukuja tai olevia.
Tällöin 1 olisi alkulukujen alkuluku, mutta jälleen kerran aritmetiikan peruslause tulee täsää muodossa vastaan.
Asiaan perehtymättömiä saattaa hämätä termi "alkuluku". Pelkästä termistä tulee mieleen jonkinlainen perimmäinen luku - joka voisi olla 1 - mutta kyseessä on kuitenkin vain matemaattinen termi, joka on mahdollisesti jopa kehno suomennos.
Tässä sitä taas, ja nyt kärimään kebabia...
Ykköstä ei pidetä alkulukuna, sillä se ei ole jaollinen itsellään ja ykkösellä, vaan ainoastaan ykkösellä tai itsellään. Toinen syy on Erastotheneen seula: Kun poistetaan kaikki ykkösen monikerrat, ei muita lukuja jää jäljelle.
Alkuluvut eivät liene negatiivisia, sillä tuolloin tekijänä on -1.