Heips,
olisi kaksi laskua joista ei ole mitään hajua.
1. Kaksitoista henkilöä arvotaan jonoon. Millä todennäköisyydellä kahden tityn henkilön A ja B välissä on enintään yksi henkilö?
2. Miten voi laskea kappaleen avaruuslävistäjien lukummäärän, esim. dodekaedrin.
Kiitos jo etukäteen
olisi kaksi laskua joista ei ole mitään hajua.
1. Kaksitoista henkilöä arvotaan jonoon. Millä todennäköisyydellä kahden tityn henkilön A ja B välissä on enintään yksi henkilö?
2. Miten voi laskea kappaleen avaruuslävistäjien lukummäärän, esim. dodekaedrin.
Kiitos jo etukäteen
Vastaukset 14
Vanhimmat
1. Tarkastele erikseen tapauksia jossa ensimmäinen arvottava on jossa 1. tai 12. (tn 1/6), 2. tai 11. (tn 1/6) ja 3.-10. (tn 2/3). Kussakin tapauksessa on eri määrä paikkoja joihin toinen arvottava voi sijoittua jotta ehto täyttyisi.
Siis (1/6)*(2/11) (1/6)*(3/11) (2/3)*(4/11) = 7/22
Pitäisi ensin tarkentaa mitä tarkoitetaan lävistäjällä. Periaatteessa kai kaksi kärkeä yhdistävä jana mutta sivusärmä ei ole lävistäjä. Sitten on kappaleen tasopintojen lävistäjiä ja kappaleen "sisällä" kulkevia avaruuslävistäjiä.
Lävistäjien lukumäärä voidaan laskea helposti vain säännöllisille monitahokkaille. Kaikkien lävistäjien (avaruus- ja taso) lukumäärä saadaan kaavasta (n-s-1)*n/2 missä n on kärkien lkm ja s on yhdestä pisteestä lähtevien särmien lkm. Niinpä kuutiolle saadaan 16, oktaedrille 3, dodekaedrille 160 ja ikosaedrille 30, jos laskin oikein.
Jos lasketaan vain avaruuslävistäjät, pitää s:ään laskea yhdestä kärjestä lähtevien särmien lisäksi myös tasolävistäjät. Esim. dodekaedrilla yhdestä kärjestä lähtee 3 särmää ja 6 tasolävistäjää, joten kaava antaa 100 avaruuslävistäjää.
Hieman vielä kaavan selitystä. Yksi kärki voidaan yhdistää n-1 muuhun kärkeen. Mutta pois on laskettava ne kärjet jotka yhdistyvät särmän kautta. Ja taholävistäjät jos etsitään vain avaruuslävistäjiä. Siitä tuo tekijä n-s-1. Sama voidaan tehdä n kappaleelle kärkiä. Mutta silloin lävistäjät tulee laskettua kahteen kertaan. Siitä tuo tekijä n/2.
No minusta on melko ilmeistä, että lävistäjä tarkoittaa tätä: http://mathworld.wolfram.com/PolyhedronDiagonal.html
Wiki kertoo seuraavaa: "Avaruuslävistäjä on avaruusgeometriassa monitahokkaan kärkiä yhdistävä jana, joka ei ole samalla tahkon lävistäjä tai monitahokkaan särmä. Avaruuslävistäjä kulkee yleensä kappaleen sisällä, vaikka epäsäännöllisissä monitahokkaissa se voi kulkea myös kappaleen ulkopuolella."
No jaa. Tuo sana "yleensä" oudoksuttaa. Heti tulee mieleen äärettömän monta tapausta, jossa lävistäjä ei kulje kappaleen sisällä. Onko viitettä tutkimukseen, jossa tuo osuus olisi laskettu? Oho, eipä taida olla, vaan näyttää mutulta. No, wiki on wiki eikä kaikkein luotettavin lähde
No tuossa tehtävässähän tarkasteltiin vain säännöllisiä monitahokkaita joissa avaruuslävistäjät kulkevat kappaleen sisällä. Jos on epäsäännöllisisä monitahokkaita, kustakin kärjestä lähtevien särmien määrä voi vaihdella ja yleistä kaavaa lävistäjien määrälle ei voi johtaa. Ja sen lisäksi lävistäjiä voi kulkea osin tai kokonaan kappaleen ulkopuolella.
Kyse ei ollut yleisessä tapauksessa pelkästään säännöllisistä kappaleista. Se dodekaedri oli vain esimerkki. Näin ainakin minä tulkitsen asian.
No sitten ei tehtävää voi ratkaista. Tässä suhteessa on ero tasomonikulmioihin, jossa yhdestä kärjestä lähtee aina kaksi sivujanaa. Silloin lävistäjien määrälle voidaan johtaa yleinen kaava. Mutta monitahokkaalle ei voi.
Niin. Riippuu siitä, mitä on annettu. Jos meillä on annettu särmien ja tahkojen lukumäärät s ja t, niin tällainen ei riitä antamaan lävistäjien lukumäärää. Jos lisäksi tiedetään moniko tahkoista on minkäkinlaista n-kulmiota, niin se riittääkin sen laskemiseen, montako avaruuslävistäjää on. Lasketaan vain kustakin särmästä kertaalleen moneenko toiseen särmään se voidaan yhdistää ja vähennetään ne janat, jotka muodostavat tahkon lävistäjän tai särmän. Jos tiedetään kappaleen genus, niin Eulerin karakteristika antaa kärkien määrän.
Kohtaan 1. Kaksitoista henkilöä arvotaan jonoon toisenlainen ratkaisutapa, joka menee melkein päässälaskuna. Ajatellaan niin, että ensin muodostetaan ympyrä ja sitten katkaistaan se satunnaisesta kohdasta, jolloin saadaan jono.
Todennäköisyys, että henkilö B on korkeintaan kahden päässä A:sta ympyrässä on 4/11.
Ehdolla, että tuo toteutuu, todennäköisyydestä pitää vähentää se, että jonon pää osuu heidän väliinsä.
Jos henkilöt ovat vierekkäin (todennäköisyydellä 2/11), se on 1/12.
Jos henkilöt ovat kahden päässä (todennäköisyydellä 2/11), se on 2/12.
Tuosta kysytty todennäköisyys on helppo laskea.
Niin on
4/11 - 2/11 * 1/12 - 2/11 * 2/12
= 4/11 - 2/(11*12) - 4/(11*12)
= (4*12)/(11*12) - 6/(11*12)
=42/132
= 7/22
1. A ja B ovat siis tiettyjä henkilöitä, on siis ennalta alittu ketkä ovat A ja B.
1.1. A ja B ovat peräkkäin. Paikkoja, jossa tämä on mahdollista, ovat (1,2), (2,3),...,(11,12)
eli niitä on 11 . Aja B voivat olla joko järjestyksessä AB tai BA, näitä mahdollisuuksia on siis 2. Loput 10 henkeä voivat olla 10! järjestyksessä. Kaikkiaan tapauksia siis 2 x 11 x 10!
1.2. A:n ja B:n välissäö on yksi henkilö. Paikkoja ovat nyt (1,3), (2,4),...,(10,12) ja niitä on siis 10. Kaikkiaan tapauksia on siis 2 x 10 x 10!
Kaikkiaan 12 henkeä voivat olla 12! eri järjestyksessä.
Kysytty tn on siis
(2 x 11 x 10! 2 x 10 x 10!) / 12! = 42 / (11 x 12) = 42/132 = 7/22.
Ohman