Imaginääriyksikkö

Ottaa neliöjuuren ykkösestä ja kertoo i:llä sen tuloksen, niin siinä se, noin teknisesti ?

i*i = -1

Ja neliöjuuri (-1) = i

Imaginääriluku (suom. kuvitteellinen luku) on määritelmänsä mukaan sellainen jännä luku että i^2=-1. Lisäksi muotoa a bi oleville luvuille määritellään laskutoimitukset siten, että ne muodostavat algebrallisen struktuurin nimeltä KUNTA (ts. järjestelmä joka toteuttaa samat laskusäännöt kuin rationaaliluvutkin).

Mutta voit ajatella imaginäärilukua myös lukusuoran laajennoksena (geometrisesti). Vedetään lukusuorasta nollan kohdalta pystysuora toinen akseli (imaginääriakseli) ja jokainen tason piste vastaa yhtä kompleksilukua. Imaginääriluku on tämän pystysuoran akselin (1 vastine). Jokainen tason piste on kompleksiluku.

Yhteen- ja vähennyslasku tehdään koordinaateittain.

Kertolasku tehdään siten että mitataan pisteiden etäisyys nollasta (origosta) ja origosta pisteisiin vedettyjen janojen ja reaaliakselin välinen kulma. Pisteiden tulo on piste, jonka etäisyys origosta on pisteiden etäisyyksien tulo ja kulma on pisteiden kulmien summa. Miksi näin? Ajattele seuraavaa...

...5 x 6 = 30 pysytään reaalilukusuoralla eikä suunta muutu 0 0=0 astetta
...-5 x 6 = -30, eli miinusmerkkisellä kerrottuna pisteiden etäisyydet nollasta kerrotaan ja lisäksi käännytään reaalisuoran suunnasta 180 astetta
...-5 x -6 = 30 eli kuten edellä mutta nyt käännytään kahdesti 180 astetta eli 360 astetta.
...imaginääriluku on 1 yksikön etäisyydellä nollasta, mutta muodostaa 90 asteen kulman reaaliakselin kanssa. Mitä tapahtuu jos i kerrotaan itsellään, etäisyyden tulee olla 1 x1 =1 ja suunnan tulee olla 90 90 astetta eli 180 astetta reaaliakselista katsottuna eli siis i x i =-1

Voidaan todistaa että nämä molemmat lähestymistavat ovat sama asia. Eli jos määrittelet geometrisesti tulee sinun todistaa siitä lähtökohdasta kunta-algebra ja jos taas lähdet kunta-algebrasta liikkeelle ja toteat geometrian, on todistettava geometrian laskutoimitusten täsmäävän kunta-algebraan.

Reaaliluvusta -1 ei voi ottaa neliöjuurta.

Kompleksiluvut määritellään niin, että ne ovat reaalilukupareja (a,b) ja näillä on laskusäännöt:

Esim. (a,b) (c,d) = (a c, b d) ja (a,b) x (c,d) = (ac- bd, ad bc)

On tapana käyttää lyhenteitä ja kirjoittaa (a,0) = a ja (0,b) = i b ja siis yhteenlaskusäännon mukaan a i b = (a,b).Näitä lyhenteitä käyttäen on siis

(1,0) = 1 ja (0,1) = i (= i x 1). Tuo "i" on siis kompleksiluvun (0,1) nimi.
Ja siis noita laskusääntöjä käyttäen

(0,b) = i b = (0,1) x (b,0) = (0,b)

Kertolaskusäännön mukaan (1,0) x (1,0) = (1,0) ja (0,1) x (0,1) = (-1, 0) ja nämä yhtälöt ovat siis tuossa lyhennetyssä muodossa

1 x 1 = 1 ja i x i = -1 Näin ymmärettynä i on siis -1:n neliöjuuri. Mutta "oikeasti" tässä on siis kyse noista kompleksiluvuista 1= (1,0) i= (0,1) ja -1 = (-1,0).

Useimmiten kompleksiluvut kirjoitetaan näin:

(a,b) = a i b.Edellä selostamieni sääntöjen mukaan on

a= (a,0) , i = (0, 1) ja b = (b,0) ja siis a ib = (a,0) (0,1) x (b ,0) = (a,0) (0,b) = (a,b) .
Siis aina kun puhutaan - 1:n neliöjuuresta tarkoitetaan itse asiassa kompleksiluvun

(-1,0) neliöjuurta kompleksilukujen laskusäännöillä laskettuna. Reaaliluvulla -1 ei siis ole neliöjuurta reaalilukujen joukossa.

Terveisiä lukiolaisille!

Ohman