puhdas matematiikka on nopeaa verrattuna numeeriseen matematiikkaan, ja myös numeerista matikkaa tehdään sen hitauden ja hankaluuden takia enemmän rahasta, kun puhdasta tehdään enemmän hauskuuden takia suhteellisesti.
esim. suurin alkuluku yritetään monesti saada usein numeerisesti kokeilemalla. Vertaa puhtaaseen matikkaan: käytetään sanoja ja silloin se on esimerkiksi puhdasta Ja myös puhdas matikka on useammin faktamaisempaa, kun taas numeerinen saattaa epäonnistua sen kokeiluluontoisuuteen. Numeerinen on myös useammin arvausmaisempaa, kuten joskus sanoissakin.
lisäksi: numeeriseen matikkaan kyllästyy helpommin verratuna puhtaaseen.
esim. suurin alkuluku yritetään monesti saada usein numeerisesti kokeilemalla. Vertaa puhtaaseen matikkaan: käytetään sanoja ja silloin se on esimerkiksi puhdasta Ja myös puhdas matikka on useammin faktamaisempaa, kun taas numeerinen saattaa epäonnistua sen kokeiluluontoisuuteen. Numeerinen on myös useammin arvausmaisempaa, kuten joskus sanoissakin.
lisäksi: numeeriseen matikkaan kyllästyy helpommin verratuna puhtaaseen.
Vastaukset 8
Vanhimmat
Soveltajana sanoisin, että useimmissa reaalimaailman sovellutuksissa puhdas matematiikka yltää alkeistapauksiin. Jos taas on tarve ratkoa tapauksia, joista on jotakin hyötyä, on käytettävä numeerista matematiikkaa.
Mutta kuten sanottu, en ole matemaatikko, vaan matematiikka on minulle pelkkä työkalu.
Eiköhän puhtaassa ja soveltavassa matematiikassa ole yhtälailla hitaita ja nopeita ongelmia. Tarpeen mukaan pitää tietää oikea menetelmä ja se, kunka tarkasti ilmiötä voi mallintaa. Ei muuten vaadi paljoakaan osaamista kun tietää, että suurinta alkulukua ei ole olemassa.
onko äärellisesti alkulukuja sinusta? tunnemme tuntemamme suurimman alkuluvun ja myös suurimman luvun, joka on varmaan sentiljoona, mutta ei ole äärettömästi nimiä luvuille.
katsos laskimen kanssa näppäily vie aikaa ja lukujen kirjoittaminen, koska niillä on nimet ne vie aikaa ja eniten numeerinen prosessointi vie aikaa enemmän kuin vaikka näiden kahden kappaleen kirjoittaminen. Näin se on, koska numeerinen prosessointi on paljon paljon työläämpää verrattuna esim. tähän mitä olen tehnyt, ei ehkä paljoa, mutta vaihtelevasti.
Vielä noin 50 - 60 vuotta sitten numeerinen matematiikka oli todella hidasta. Kun laskuja pyöriteltiin Brunsvigalla ja Facitilla (käsin veivattavia), niin siiä ei paljon saanut aikaan.
Nyt tilanne on täysin muuttunut halpojen ja tehokkaiden tietokoneiden myötä. Nykyään tavallisen käyttäjän pöydällä saataa olla sama laskuteho kuin 1970-luvulla isolla hinnalla hankitulla Univacilla.
Varsinaiset matemaatikot eivät juuri tarvitse laskuissaan tietokonetta. Korkeintaan he kirjoittavat Latexilla uutta artikkeliaan. Tosin hekin voivat numeerisesti tarkistaa voisivatko heidän teoriansa olla oikeita. Esimerkiksi jos haluaa todistaa oikeaksi kissankokoisen epäyhtälön, niin saattaa olla eduksi, jos aluksi tutkii numeerisesti onko konjektuuri mahdollisesti tosi.
Matematiikan sovelluksissa tietenkin käytetään numeerisia menetelmiä. Niihin onkin jo saatavissa laajoja ohjelmistoja, joten alan ammattilaisten ei tarvitse enää itse ohjelmoida paitsi jos tekeillä on aivan uusi sovellus. Myös numeeristen menetelmien takana on kovaa matematiikkaa, joilla todistetaan menetelmien konvergenssi ja stabiilisuus. Modern kryptografia ja kooditeoria vaativat hyvää tietämystä algebrasta ja lukuteoriasta.
Symbolinen laskenta on kovasti edistynyt. Esimerkiksi Wolfram Alpha on jo kaikkien käytössä ilmaiseksi. Mathematicalla voi jo suuressa määrin suorittaa lausekkeiden pyörittelyn (tosin se on kallis ohjelmisto). Tavallisissakin tietokoneissa on nykyisin ohjelmistot, joiden avulla voidaan suorittaa kokonaislukuaritmetiikkaa suurilla luvuilla, joiden pituudelle on rajana vain koneen muisti ja nopeus.
On arvattavissa, että mikäli täällä 100 vuoden kuluttua on jotain sivistystä, niin silloin koululaiset eivät enää ähki esimerkiksi lausekkeiden sieventämisen kanssa, vaan laskimet hoitavat sen. Siitä johtuen heillä on enemmän aikaa opiskella edistyneempää matematiikkaa.
Kommentoisin vain, että ei tarvitse olla kunmmoinen puhelinkapula, kun se hakkaa Univac 1108:n laskentatehon (1,5 MIPS). Läppäreillä mennään aivan sfääreihin, ks.
https://en.wikipedia.org/wiki/Instructions_per_second
Matemaatikotkin voisivat tulevaisuudessa hyötyä tietokannoista, joihin olisi koottu merkittävimät julkaisut. ArXiv on jo jonkinlainen esiaste, mutta siinä ei juuri taida olla kunnollista referee-järjestelmää eikä hakua. Toinen esimerkki on NIST Digital Library of Mathematical Functions (http://dlmf.nist.gov/), jonka perustana on ollut klassikko Abramowitz and Stegun; Handbook of Mathematical Functions.
Tulevaisuuden matemaatikoilla on ehkä käytössään yhtenäinen tietoarkisto, mihin on talletettu matematiikasta miltei kaikki, mikä on tallettamisen arvoista. Siinä pitäisi tietysi olla tehokas hakujärjestelmä. Tällainen auttaisi erityisesti nuoria matemaatikkoja, jotta he eivät keksisi uudelleen sitä, jonka Euler keksi jo 1700-luvulla.
Eikös numeerinen matematiikka ole sikäli puhdasta matematiikkaa, että numeeriset algoritmit johdetaan "puhtaan" matemaattisesti?
Tietysti numeerisen ratkaisun edellytys on se, että menetelmä on matemaattisesti suppeneva. Tämä ei kuitenkaan ole riittävä ehto, sillä numeerisia ratkaisuja tehdään äärellisellä matematiikalla (rajallinen määrä merkitseviä numeroita), mikä muuttaa esimerkiksi suppenemisehtoja merkittävästi.