Potenssifunktio epäselvyys!

> F: f(x)=x^r

Öö, mikä tuo F on? Minulle tuttuja merkintätapoja olisivat vain esim:
f: [0, inf[ -> R, f(x) = x^r, r \in R\{0}
tai
f: [0, inf[ -> R
x -> x^r, r \in R\{0}

Olettaen siis, että et halua kompleksilukuja. \in tarkoittaa "kuuluu joukkoon" ja inf on infinity eli ääretön. Puhuit kuitenkin "yleisestä potenssifunktiosta", joten ehkä haluaisit tarkastella myös negatiivisia äksiä, mutta kompleksilukuarvojen kanssa et voi puhua kasvavasta tai vähenevästä funktiosta, joten jätetään ne nyt suosiolla pois.

> on aidosti kasvava, kun r>0 ja
> aidosti vähenevä, kun r 0. Tällä tarkastelulla tuo käsityksesi siis pitää paikkansa.

> Eli esimerkiksi x^(-1/3)>3 on aidosti vähenevä funktio koska r3, niin kyseessä ei enää ole funktio, vaan (epä)yhtälö. Päättelysi on kuitenkin oikea: x^(-1/3) on aidosti vähenevä, kun x > 0.

Tuollaisen epäyhtälön voinee ratkaista helpoiten muuttamalla negatiivisen potenssin murtolausekemuotoon, kuten jäljempänä teitkin:

x^(-1/3) > 3
1 / x^(1/3) > 3
1/3 > x^(1/3)
1/27 > x

Koska alkuehtona oli x > 0, saadaan tästä 0 < x < 1/27, kuten sinulla olikin.

"Noinhan saadaan kaikki negatiiviset eksponentit positiivisiksi ja funktio muuttuu vähenevästä kasvavaksi??!!"

Negatiivisesta eksponentista pääset kyllä eroon, mutta nythän lauseke ei ole muotoa x^r, vaan 1/(x^r) eli (x^r)^(-1). Kun r < 0, ollaan taas tilanteessa, jossa eksponentti on negatiivinen ja funktio siis vähenevä.

"Nythän ei sitten funktion suunta vaihdu x:sää ratkaistaessa koska juurifunktio on aidosti kasvava. Tosta sit saadaan että x>(1/27)"

Ei ehkä kannata opetella epäyhtälön ratkaisua siten, että aina tietyissä tapauksissa tehdään jotain funktion suunnan kääntöjä ja toisenlaisissa tapauksissa ei, vaan opettelee sen aivan kuten tavallisen yhtälönkin ratkaisun: ratkaisussa edetään vaihe vaiheelta kohti tilannetta, jossa toisella puolella yhtälöä on vain tietty muuttuja ja toisella puolella sitä muuttujaa ei ole.

"Eli nyt en ole ymmärtänyt tätä potenssifunktion määritelmää oikein --"

Potenssifunktion määritelmä, kun x>0, taitaa olla helpointa esittää näin:
f(x) = x^r = e^(r ln x)
Jos r > 0, niin f(0) = 0
Tämä tietenkin vaatii ensin eksponenttifunktion ja sen käänteisfunktion määrittelemisen, mutta en nyt niitä rupea tähän vääntämään; Googlella löytynee.