Koska hiljaista on niin voidaan kai palatta vanhaan kesken jääneeseen ongelmaan.
Siis kaksi kuulaa on päällekkäin ja tasapaino horjahtaa sen verran että päällimmäinen lähtee vierimään alas.
kuulien välinen kitkakerroin on 0.2 ja kysymys kuuluu , millä kohtaa kosketus kuulien välillä irtoaa.
Lähdetään siitä että alkuperäistä tasapainon horjuttavaa voimaa ei tarvitse huomioida ja vastaukseksi käy esimerkiksi alemman kuulan irtoamiskohdan kulma kuulien halkaisijoiden funktiona, jos niillä nyt merkitystä.
Pureksittavaa
94
117
Vastaukset
- Noinkohan
Onko pyörimiskitkaa? Jossain vaiheessa ylempi kuula ei enää lisää pyörimisnopeuttaan vaan alkaa liukua alemman pinnalla. Eli aikamoisen monimutkaiseksi menee.
Ei ole vierimiskitkaa ja pyöriminen lisääntyy luiston aikanakin, eli lisää vaikeutta.
- lisäksi-vielä
Ennen kuin joku "viisas" alkaa selittelyn, niin ilmanvastuksen osuus on niin mitätön että voidaan jättää huomioimatta ja alempi kuula pysyy paikoillaan.
Tietenkin jos joku haluaa niin voi omaksi huvikseen laskeskella myös tilanteen jossa alempi kuula lähtee vierimään alustallaan.
- Noinkohan
Itse oletin ilman muuta että myös alempi kuula voi vieriä. Mutta jos lähdetään aluksi siitä että se on kiinteä. Varmaan tuossa olisi haastetta aluksi että laskee missä kohdassa ylempi pallo lähtee liukumaan. Energiayhtälö ja siitä lagrangen menetelmällä?
- aeija
Minulla on se käsitys, että olisin tämän tehtävän klaarannut joskus vuosia sitten, mutta kun tältä sivustolta ei enää löydä mitään. Tällä hetkellä en ole saanut laskettua muuta kuin liukumisen aloituskohdan, joka sekin voi olla väärin (35 astetta), siitä eteenpäin tämä muistaakseni meni kolmella energiayhtälöllä liukumisen aloituskohdassa sekä alussa ja lopussa. Yhtenä tuntemattomana oli juuri pyörimismäärän muutos liukumisen aikana. En minä tätä jaksa enempää kuitenkaan yrittää, jos en löydä sitä vanhaa.
- Noinkohan
Yritetäänpä nyt jotain. Oletan yksinkertaisuuden vuoksi että pallot ovat yhtä suuret, säde r. Parametriksi x otan pallojen kosketuskohdan kulman alkukohtaan nähden alemman pallon keskuskulmana. Tällöin ylempi pallo on kiertänyt kulman 2*x.
Ylemmän pallon liike-energia on
2*m*r^2*x'^2 2*I*x'^2 = (14/5)*m*r^2*x'^2
Energiayhtälöksi saadaan:
(14/5)*m*r^2*x'^2 2*m*g*r*cosx = 2*m*g*r
Se voidaan muokata muotoon:
x' = sqrt(20*g/7*r)*sin(x/2)
Pallojen välinen puristusvoima F on:
F = m*g*cosx - 2*m*r*x'^2
Kitkavoima f saadaan yhtälöstä:
f*r = 2*I*x''^2 = (4/5)*m*r^2*x''^2
Jos kitkakerroin on u:
f = u*F antaa kulman jossa liukuminen alkaa. Nyt en jaksa alkaa ratkomaan.Tuo energiayhtälö siihen asti kun liukuminen alkaa on kaiketi m*v^2 (1/2 1/5 ) ja on ylemmän pallon potentiaalienergian muutos.
- aeija
Joo, en minä mitään löytänyt, mutta ideana oli silloin, ja on nytkin, että pyörimisenergian muutos liukuvaiheessa on kitkatyö.
Se johtaa irtoamiskulmaan 51,3 astetta. S- airfoiljokaeikirj
Miksi liukuminen vaikuttaisi irtoamiskulmaan. vasta kun pallon keskipisteen kehänopeuden keskihakuvoiman kasvaessa suuremmaksi kuin painovoimangradientti, irtoaa pallo. Jos karkeat pinnat silloin irtoaminen tapahtuu nopeammin
- Noinkohan
Vaikuttaahan se. Jos pallo liukuu, saa se suuremman alemman pallon pinnan suuntaisen nopeuden tiettyyn pisteeseen tultaessa kuin jos energiaa menisi myös pyörimiseen.
aeija kirjoitti:
jäi toi pois: http://aijaa.com/mBctux
Muistan tuon.
Silloin taisi kompastua kulmaan jossa liukuminen alkaa.
Normaalitapauksessa kitka pettää silloin kun kaltevuuskulman tangentti ylittää kitkakertoimen, eli sini on suurempi kuin µ*kosini, tässä tapauksessa kun liikerata on kaareva vastakkain puristava voima on mv^2/r verran pienempi kuin mg*kosini joten kitka pettää jo aiemmin.
Tästä eteen päin kai potentiaalienergia muuttuu liike-energian lisäykseen ja kitkatyöhön, joka on F*µ*s jossa F on kulman ja nopeuden mukaan muuttuva.
Todennäköisesti tässäkin hahmotelmassa menee jotain väärin, joten kuunnellen muita !- ja_vielä
e.d.k kirjoitti:
Muistan tuon.
Silloin taisi kompastua kulmaan jossa liukuminen alkaa.
Normaalitapauksessa kitka pettää silloin kun kaltevuuskulman tangentti ylittää kitkakertoimen, eli sini on suurempi kuin µ*kosini, tässä tapauksessa kun liikerata on kaareva vastakkain puristava voima on mv^2/r verran pienempi kuin mg*kosini joten kitka pettää jo aiemmin.
Tästä eteen päin kai potentiaalienergia muuttuu liike-energian lisäykseen ja kitkatyöhön, joka on F*µ*s jossa F on kulman ja nopeuden mukaan muuttuva.
Todennäköisesti tässäkin hahmotelmassa menee jotain väärin, joten kuunnellen muita !Tuo irtoamiskulma , siis luiston alkukohta on mielestäni väärä.
Kuulan pyörittäminen vaatii kehävoimaa n. 40 % kuulan liikuttamisesta josta kitkakulma olisi atan(0.5) ja ympyräliike vielä tosta pois.. ? - aeija
ja_vielä kirjoitti:
Tuo irtoamiskulma , siis luiston alkukohta on mielestäni väärä.
Kuulan pyörittäminen vaatii kehävoimaa n. 40 % kuulan liikuttamisesta josta kitkakulma olisi atan(0.5) ja ympyräliike vielä tosta pois.. ?Joo, se onkin väärin, eli siinä normaaalivoima N = myy*cos(fii)mg-mv^2/R. Hätäpäiten minä sitä jo laskinkin, ja noin 29 astetta olisi nyt, mutta lasketaan rauhassa. Ja funtsataankin vielä...
- aeija
aeija kirjoitti:
Joo, se onkin väärin, eli siinä normaaalivoima N = myy*cos(fii)mg-mv^2/R. Hätäpäiten minä sitä jo laskinkin, ja noin 29 astetta olisi nyt, mutta lasketaan rauhassa. Ja funtsataankin vielä...
Näyttäisi tulevan 64,9 astetta lopputulokseksi..
- aeija
aeija kirjoitti:
Näyttäisi tulevan 64,9 astetta lopputulokseksi..
Sekin tietysti väärin, ja kun h(liuku) on myös väärin niin laitan uudestaan koko höskän.
(Tuo liukualkukulma 29 on nyt myös vahvistettu Noinkohan toimesta:)
http://aijaa.com/sjFbRb - aeija
aeija kirjoitti:
Sekin tietysti väärin, ja kun h(liuku) on myös väärin niin laitan uudestaan koko höskän.
(Tuo liukualkukulma 29 on nyt myös vahvistettu Noinkohan toimesta:)
http://aijaa.com/sjFbRbTarkistin laskemalla kitkatyön, siis välillä 29-42,6 astetta integroimalla
myy*N* d(fii)*R ja tulokseksi tuli noin 0,0254mgR. Pyörimisenergiaa siellä väliasemalla oli 0,0358mgR, joten näyttää siltä että pyörimisenergiaa on vielä jäljellä kun kuula irtoaa. Siinä mielessä oikeilla jäljillä.
- Noinkohan
Tuli tuohon virheitä, otetaan uusiksi; siis x on kulma kosketuspisteeseen ja yläkuulan kiertymäkulma on 2*x
Ylemmän pallon liike-energia on
2*m*r^2*x'^2 2*I*x'^2 = (14/5)*m*r^2*x'^2
Energiayhtälöksi saadaan:
(14/5)*m*r^2*x'^2 2*m*g*r*cosx = 2*m*g*r
Se voidaan muokata muotoon:
x' = sqrt(10*g/7*r)*sin(x/2)
Pallojen välinen puristusvoima F on:
F = m*g*cosx - 2*m*r*x'^2
Kitkavoima f saadaan yhtälöstä:
f*r = 2*I*x'' = (4/5)*m*r^2*x''
Jos kitkakerroin on u:
f = u*F antaa kulman jossa liukuminen alkaa
Sijoittamalla ja sieventämällä saadaan lopulta yhtälö:
sinx = u*(8,5*cosx-1)
Mistä kulma x = 29 astetta, yläpallon kiertymäkulma 58 astetta.Esitin kai ajatuksiani vähän huonosti, mutta yritetään paikata.
Jos lähdetään että kuulat ovat yhtä suuret, niin ylemmän kuulan keskipisteen kulkema matka on yhtä suuri kuin sen kehän pisteen kulkema matka keskiönsä ympäri.
Kun tiedetään että liike-energia on ½mv^2 keskipisteen liikkeelle ja pyörinnälle 1/5 mv^2 , niin potentiaali energian pitäisi vastata näiden summaa.
Luiston alkaminen lienee voimien suhteen selvä, mutta mikä on voima joka on ylitettävä.
Kun ylemmän kuulan keskipiste saa kiihdyttävän voiman mgsin(ß), niin samaan kiihtyvyyteen kuulan pyörittämiseen tarvitaan voimaa kehällä vain 2/5 osa tuosta.
Näin ollen pitäisi toimia mg 2/5 sin(ß) = µmg cos(ß) josta kulma olisi jotain 26 astetta ilman liikkeen vaikutusta, eli tämän mukaan edellä esitetty olisi edelleen hieman suuri ? ?- aeija
e.d.k kirjoitti:
Esitin kai ajatuksiani vähän huonosti, mutta yritetään paikata.
Jos lähdetään että kuulat ovat yhtä suuret, niin ylemmän kuulan keskipisteen kulkema matka on yhtä suuri kuin sen kehän pisteen kulkema matka keskiönsä ympäri.
Kun tiedetään että liike-energia on ½mv^2 keskipisteen liikkeelle ja pyörinnälle 1/5 mv^2 , niin potentiaali energian pitäisi vastata näiden summaa.
Luiston alkaminen lienee voimien suhteen selvä, mutta mikä on voima joka on ylitettävä.
Kun ylemmän kuulan keskipiste saa kiihdyttävän voiman mgsin(ß), niin samaan kiihtyvyyteen kuulan pyörittämiseen tarvitaan voimaa kehällä vain 2/5 osa tuosta.
Näin ollen pitäisi toimia mg 2/5 sin(ß) = µmg cos(ß) josta kulma olisi jotain 26 astetta ilman liikkeen vaikutusta, eli tämän mukaan edellä esitetty olisi edelleen hieman suuri ? ?Minulla ainakin W pyörintä = (1/2)*(2/5)mR^2*W^2=(1/5)m(R^2*W^2)=(1/5)mv^2=(2/5)*(½mv^2). Sinulla näyttäisi olevan 1/5*mv^2
- aeija
aeija kirjoitti:
Minulla ainakin W pyörintä = (1/2)*(2/5)mR^2*W^2=(1/5)m(R^2*W^2)=(1/5)mv^2=(2/5)*(½mv^2). Sinulla näyttäisi olevan 1/5*mv^2
Anteeksi , ihan samahan tuo on .
Nyt tämä sekoilu saa riittää tämän tehtävän osalta.
Minulta taitaa puuttuakin vielä yksi rotaatio, eli yläkuulan kierto alakuulan keskipisteen ympäri. - aeija
aeija kirjoitti:
Anteeksi , ihan samahan tuo on .
Nyt tämä sekoilu saa riittää tämän tehtävän osalta.
Minulta taitaa puuttuakin vielä yksi rotaatio, eli yläkuulan kierto alakuulan keskipisteen ympäri.Niin ja siks toisekseen minulla on väärä keskipakoliikkeen säde tuolla normaalivoiman lausekkeessa. Pitäisi olla 2R, eikä R. Jos sen muuttaa, niin tulee vielä isompi kulma, eli 31,5 astetta.
- aeija
aeija kirjoitti:
Niin ja siks toisekseen minulla on väärä keskipakoliikkeen säde tuolla normaalivoiman lausekkeessa. Pitäisi olla 2R, eikä R. Jos sen muuttaa, niin tulee vielä isompi kulma, eli 31,5 astetta.
Nyt tämä erikoiseksi menee, eli nuo kaksi virhettä mitkä minulla on, eli yksi rotaatio puuttuu ja kun oli väärä säde, niin ne kumoavat toisensa ja luistokulma on taas 29 astetta. Nuo energiaperiaatehommat ovat joka tapauksessa väärin
- kitkattiko
Onko tuo kitkakerroin lepo- vai liikekitkakerroin? Vai vaikuttaako se asiaan?
- Noinkohan
On annettu vain yksi kitkakerroin joten se edustaa kumpaakin. Jos on sileä teräskuulat, ero on aika pieni. Mun lasku on irtoamiseen asti joten lepokitka on lähempänä totuutta.
- Noinkohan
Mäkin tarkastelin ratkaisuani, joka päätyi 29 asteeseen mutta en huomannut siinä virhettä. Siinähän kulmayhtälöksi tuli:
sinx = u*(8,5*cosx-1)
e.d.k. ratkaisun perusteita en täysin hahmottanut. Siinä kuitenkin vastaavaksi yhtälöksi tulee:
sinx = u*(5/2)*cosx
eli on yksinkertaisempi ja herättää kysymyksen, puuttuuko jotain. Jos ajatellaan, että kyseessä olisi samanmassainenpallo, jolla on hyvin pieni hitausmomentti (massa keskittynyt painopisteeseen), vaikkapa kymmenkertainen, saataisiin tuolla logiikalla:
sinx = u*(50/2)*cosx
ja kulmaksi noin 78 astetta valitulla kitkakertoimella. Se tuntuu selvästikin väärältä koska pallo irtoaa alemman pinnasta paljon ennen.Tuo käsittelyni lähtee siitä että pelkällä voima ei aiheuta luistoa, vaan myös sen vaikutusnopeus, siksi kiihtyvyyksien vertailu.
Vasta kun voiman suuruus ja nopeus ylittävät kitkan salliman ylemmän kuulan pyörintä kiihtyvyyteen tarvittavan voiman , alkaa luisto.
Suhteet on valittu sen perusteella että homogeenisen pyörivän pallon liike-energia on 1/5 m*v^2 (v = kehänopeus )
- Topiax
Kuulien kokokin varmaan vaikuttaa? Oletetaanpa että päällimmäisen kuulan läpimitta on 1 m ja alemman vaikka 0,01 m. Tilanne on varmaan toisenlainen jos kuulat olisivat samankokoisia?
Voin olla tietenkin väärässä, mutta mikä tässä sitten meni vikaan?- Noinkohan
Jos ylemmän kuulan koko pienenee vaikkapa puoleen. Silloin sen hitausmomentti pienenee neljäsosaan. Tietyllä alemman pallon pinnan suuntaisella nopeudella sen kehänopeuden pitää kasvaa kaksinkertaiseksi. Pyörimisenergia on verrannollinen hitausmomenttiin ja kehänopeuden neliöön. Eli pyörimisenergia ei muutu.
- otanyttokikaikkihuomioon
Energioilla ei ole merkitystä. Oletetaanpa tilanne että ylempi kuula onkin läpimitaltaan 10m ja alempi 0,01 m. Irtoavatkohan kuulat lainkaan toisistaan? Ja merkitystähän on myös sillä, mikä on aleman kuulan ja alustan välinen kitkakerroin. Jos se on pienempi kuin kuulien välinen kitkakerroin, alempi kuula saattaa lähteä melkoisella vauhdilla omaan suuntaansa varsin ennakoimattomalla vauhdilla...
- Noinkohan
Yritin tuossa selittää seuraavaa. Alempi kuula ennallaan, ylemmän kuulan halkaisija pienennetään puoleen mutta massa pidetään ennallaan. Silloin tiettyyn alemman kuulan kulmamuuttujan pisteeseen tultaessa kuulan liike-energiat ovat samat kuin alkuperäisessä tapauksessa, samoin puristusvoima ja keskeisvoima. Eli tehtävän ratkaisukin on sama. Jos alempikin kuula voi liikkua,se on eri tehtävä.
- pyöröhuuli
Noinkohan kirjoitti:
Yritin tuossa selittää seuraavaa. Alempi kuula ennallaan, ylemmän kuulan halkaisija pienennetään puoleen mutta massa pidetään ennallaan. Silloin tiettyyn alemman kuulan kulmamuuttujan pisteeseen tultaessa kuulan liike-energiat ovat samat kuin alkuperäisessä tapauksessa, samoin puristusvoima ja keskeisvoima. Eli tehtävän ratkaisukin on sama. Jos alempikin kuula voi liikkua,se on eri tehtävä.
Mitä ratasädettä siinä keskeisvoiman laskemisessa käytetään onko pallon keskipisteen ratasäde se mitä käytetään, vaiko todellisen radan säde ?
Jos se on keskipisteen ratasäde, niin silloin keskeisvoiman lausekkeessa jakaja R olisi 2r kahden samanlaisen pallon tapauksessa, ja jos käytetääntodellista ratasädettä, niin jakaja olisi vaan 1r.
Jos keskipistettä tosiaan käytetään niin kahdella erikokoisella pallolla vaikka olisikin sama massa ja sama todellinen ratasäde, on eri keskeisvoima. - pyöröhuuli
pyöröhuuli kirjoitti:
Mitä ratasädettä siinä keskeisvoiman laskemisessa käytetään onko pallon keskipisteen ratasäde se mitä käytetään, vaiko todellisen radan säde ?
Jos se on keskipisteen ratasäde, niin silloin keskeisvoiman lausekkeessa jakaja R olisi 2r kahden samanlaisen pallon tapauksessa, ja jos käytetääntodellista ratasädettä, niin jakaja olisi vaan 1r.
Jos keskipistettä tosiaan käytetään niin kahdella erikokoisella pallolla vaikka olisikin sama massa ja sama todellinen ratasäde, on eri keskeisvoima.Niin ja miksi tässä lausekkeessa on liike-energioiden kertoimena 2, eikä ½ ?
2*m*r^2*x'^2 2*I*x'^2 - Noinkohan
Tuo x on kulma alemman pallon keskipisteestä kosketuspisteeseen ja ylemmän pallon keskipsteeseen. Ylemmän pallon pyörimä kulma on silloin 2*x. Siitä tulee nuo kertoimet.
- Noinkohan
pyöröhuuli kirjoitti:
Mitä ratasädettä siinä keskeisvoiman laskemisessa käytetään onko pallon keskipisteen ratasäde se mitä käytetään, vaiko todellisen radan säde ?
Jos se on keskipisteen ratasäde, niin silloin keskeisvoiman lausekkeessa jakaja R olisi 2r kahden samanlaisen pallon tapauksessa, ja jos käytetääntodellista ratasädettä, niin jakaja olisi vaan 1r.
Jos keskipistettä tosiaan käytetään niin kahdella erikokoisella pallolla vaikka olisikin sama massa ja sama todellinen ratasäde, on eri keskeisvoima.Tuo erikokoisten pallojen tapaus pitäisi kyllä laskea alusta alkaen sillä siinä muuttuu moni parametri.
- Noinkohan
Laskin vielä kaksi tapausta noilla kaavoillani. Ensin tapauksen että ylemmän pallon hitausmomentti = 0 (säde sama) eli kaikki massa on keskittynyt pallon keskipisteeseen tai pallo liukuu kitkattomasti alemman pallon pinnalla. Silloin irtoaminen tapahtuu 48 asteen kohdalla.
Toinen tapaus on että hitausmomentti on mahdollisimman suuri, mr^2, eli kyseessä on ympyränrengas, säde sama. Silloin tuo rengas lähtee liukumaan 19 asteen kohdalla.
Molemmat tulokset vaikuttavat mielestäni järkeviltä.- Kysymys_lähtökohdista
Niin kauan kuin kuulien välillä ei tapahdu luistoa pitänee yhtälö: (R r)*(1-cos(a))*g = v^2 *(1/2 1/5).
Tuo edellyttää että ylemmän kuulan keskipisteen nopeus on sama kuin kuulan kehän nopeus oman keskipisteensä ympäri ja kuula on homogeeninen.
Vaatimus toteutunee halkaisijoista riippumatta.
Luiston alkamiskohta on kaiketi siinä kun kitkavoima µ*( mg cos(a) - mv^2/(R r)) on pienempi kuin kuulien välinen pinnan suuntainen voima.
Kiinteälle pyörimättömille kuulille se olisi se mg sin(a), mutta mikä tai mitä voimaa olette pitäneet rajavoimana vapaasti pyörivälle kuulalle ? - en-tajua
aeija kirjoitti:
Se 29 astetta on kyllä oikein : http://aijaa.com/L99GN8
Alku oli aika selvää , mutta kohdassa 1 jossa on kitkaa vastustava yhtälö putosin kyydistä, ehkä joku sanallinen selvitys auttaisi.
- Noinkohan
Kysymys_lähtökohdista kirjoitti:
Niin kauan kuin kuulien välillä ei tapahdu luistoa pitänee yhtälö: (R r)*(1-cos(a))*g = v^2 *(1/2 1/5).
Tuo edellyttää että ylemmän kuulan keskipisteen nopeus on sama kuin kuulan kehän nopeus oman keskipisteensä ympäri ja kuula on homogeeninen.
Vaatimus toteutunee halkaisijoista riippumatta.
Luiston alkamiskohta on kaiketi siinä kun kitkavoima µ*( mg cos(a) - mv^2/(R r)) on pienempi kuin kuulien välinen pinnan suuntainen voima.
Kiinteälle pyörimättömille kuulille se olisi se mg sin(a), mutta mikä tai mitä voimaa olette pitäneet rajavoimana vapaasti pyörivälle kuulalle ?"mitä voimaa olette pitäneet rajavoimana vapaasti pyörivälle kuulalle?"
Tulee siitä että kitkavoiman pitää pystyä kiihdyttämään kuulan pyörimistä sen verran kun sen nopeuden lisäys edellyttää, muuten luistaa. Mulla se on momenttiyhtälössä
f*r = 2*I*x'' = (4/5)*m*r^2*x''
jossa ylemmän pallon kulmakiihtyvyys on 2*x''. Eli kulmanopeus pitää ratkaista energiayhtälöstä niin että se derivoimalla saadaan kulmakiihtyvyys. - Mietin-vaan
Kysymys_lähtökohdista kirjoitti:
Niin kauan kuin kuulien välillä ei tapahdu luistoa pitänee yhtälö: (R r)*(1-cos(a))*g = v^2 *(1/2 1/5).
Tuo edellyttää että ylemmän kuulan keskipisteen nopeus on sama kuin kuulan kehän nopeus oman keskipisteensä ympäri ja kuula on homogeeninen.
Vaatimus toteutunee halkaisijoista riippumatta.
Luiston alkamiskohta on kaiketi siinä kun kitkavoima µ*( mg cos(a) - mv^2/(R r)) on pienempi kuin kuulien välinen pinnan suuntainen voima.
Kiinteälle pyörimättömille kuulille se olisi se mg sin(a), mutta mikä tai mitä voimaa olette pitäneet rajavoimana vapaasti pyörivälle kuulalle ?Jos kerran kuulan kehänopeus on sama kuin keskipisteen nopeus, niin kitkavoima pitäisi olla niin suuri että se antaa kehälle kiihtyvyyden joka on sama kuin keskipisteen kiihtyvyys.
Mikä näiden voimien suhde lienee, keskipisteelle kiihdyttävä voima on mgsinfi - aeija
en-tajua kirjoitti:
Alku oli aika selvää , mutta kohdassa 1 jossa on kitkaa vastustava yhtälö putosin kyydistä, ehkä joku sanallinen selvitys auttaisi.
Ne on vierimisessä aina esiintyvät kolme yhtälöä:
Liikeyhtälö kosketuskohdan tangentin suunnassa
Liikeyhtälö pyörivälle liikkeelle
Vierimisehto
Lisäksi tulee vielä luistokohta Fu=uN, jos Fu on suurempi kuin uN, niin luistaa ja vierimisehto ei enää päde, ainoastaan se ylin pätee. Mutta sitä vaihetta tässä ei vielä käsitellä.
(I=2/5mR^2)
Minulle on tässä jäänyt mm. epäselväksi miten käsittelette kitkan tekemää työtä. Katselin tässä yksinkertaisempaa ongelmaa, eli laatikkoa, joka vierii alas puolipallon päältä, mutta siten että myös kitka otetaan huomioon. Osoittautuu, että kitkan tekemän työn vuoksi, siinä työintegraalissa kysytään integrointikulmaa, eli miten pitkälle kulman funktiona laatikko liukuu ennenkuin menettää otteensa pinnasta. Mutta tämä kulma on juurikin se, jota haetaan myös koko ongelman ratkaisuksi. Näin ollen meillä on integraaliyhtälö, joka kaiketi voidaan tässä tapauksessa muuttaa differentiaaliyhtälöksi, joka voidaan ratkaista standardimenetelmin.
Tässä teidän ongelmassane joudutte myös jollakin tavalla laskemaan tuon työintegraalin mitä kitka tekee, ja integrointirajat ei suoraan tiedossa, ennenkuin teillä on vastaus koko ongelmaan.
A Block Slipping on a Sphere with Friction: Exact and Perturbative Solutions
http://repository.upenn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1146&context=physics_papers- aeija
Minulla ongelmana on se, mikä on pyörimisenergia irtoamishetkellä. Ei riitä yhtälöt.
Olen saanut ratkaisun sellaisessa tapauksessa , jossa kitkatyö on pyörimisenergioiden muutos: irtoamiskulma noin 50 astetta.
Kitkatyön integrointi ei ole käsitykseni mukaan vaikeata: liukukulman ja loppukulman välillä integraali N*d(fii)*R - aeija
Eihän tässä ole vielä edes päästy sitä käsittelemäänkään kun se liukukitkatyön alkukulma on ollut hakusessa.
- aeija
aeija kirjoitti:
Minulla ongelmana on se, mikä on pyörimisenergia irtoamishetkellä. Ei riitä yhtälöt.
Olen saanut ratkaisun sellaisessa tapauksessa , jossa kitkatyö on pyörimisenergioiden muutos: irtoamiskulma noin 50 astetta.
Kitkatyön integrointi ei ole käsitykseni mukaan vaikeata: liukukulman ja loppukulman välillä integraali N*d(fii)*RKitkatyön integrointi ei ole käsitykseni mukaan vaikeata: liukukulman ja loppukulman välillä integraali myy*N*d(fii)*R
Kitkakerroin puuttui, mutta minä en edes laske tuota kitkatyötä enkä jäljellä olevaa pyörimisenergiaa, ne kumoutuu jos ja kun kitkatyö on pyörimisenergioiden muutos. - Sä-sen-sanoit
aeija kirjoitti:
Eihän tässä ole vielä edes päästy sitä käsittelemäänkään kun se liukukitkatyön alkukulma on ollut hakusessa.
Energialaskusi ennen luiston alkua näytti aivan oikealta (7/10 mv^2) !
Luiston alkamiskohta on mullekin edelleen epäselvä.
Aiemmista ymmärsin että vastaava kiihtyvyys liikkeelle ja pyörinnälle vaatisi voimaa, kehä/keskipiste, suhteessa 2/5, jolloin kulma olisi vajaa 25 astetta, tuohon ei kai tarvinne lisäksi muuta tietoa kuin nopeus joka tulee tuolta energiasta. aeija kirjoitti:
Kitkatyön integrointi ei ole käsitykseni mukaan vaikeata: liukukulman ja loppukulman välillä integraali myy*N*d(fii)*R
Kitkakerroin puuttui, mutta minä en edes laske tuota kitkatyötä enkä jäljellä olevaa pyörimisenergiaa, ne kumoutuu jos ja kun kitkatyö on pyörimisenergioiden muutos.Niin, sitä en kyllä ymmärtänyt että mitä tarkoitat sillä että kitka on pyörimisenergioiden muutos? Tavallisestihan kitka johdetaan alustan normaalivoimasta. Voiko myös alustana oleva kuula pyöriä?
- aeija
m36-intj kirjoitti:
Niin, sitä en kyllä ymmärtänyt että mitä tarkoitat sillä että kitka on pyörimisenergioiden muutos? Tavallisestihan kitka johdetaan alustan normaalivoimasta. Voiko myös alustana oleva kuula pyöriä?
Se oli huonosti kirjoitettu.
Sen liukuvan kuulan pyörimisenergia muuttuu, eli sen liukuvan kuulan pyörimisen hidastuminen hoitelee sen tarvittavan kitkatyön. Sitä pyörimistä jää vielä jäljellekkin.
Alustana oleva kuula voi kyllä pyöriä ja lähteä liikkeellekin, mutta siihen tehtävään en koske. Tässä se on kiinteä. - aeija
aeija kirjoitti:
Kitkatyön integrointi ei ole käsitykseni mukaan vaikeata: liukukulman ja loppukulman välillä integraali myy*N*d(fii)*R
Kitkakerroin puuttui, mutta minä en edes laske tuota kitkatyötä enkä jäljellä olevaa pyörimisenergiaa, ne kumoutuu jos ja kun kitkatyö on pyörimisenergioiden muutos.Tässä on se lasku: http://aijaa.com/BzeQ8K
- yksvaank
Ehkäpä englanniksi saisi paremmin vastauksia: http://physics.stackexchange.com/
- Noinkohan
Voisi yrittää ratkaista tuota pallon kulkukulman muuttumista ajan funktiona. Sain aiemmin yhtälön:
x' = sqrt(10*g/7*r)*sin(x/2) = k*sin(x/2), josta
dx/sin(x/2) = k*dt
Vasemman puolen integraalifunktio on 2*ln(tan(x/4)). Se täytyy integroida jostain pienestä kulmasta x0 alkaen ->x ja aika vastaavasti 0->t. Saadaan:
tan(x/4) = tan(x0/4)*exp(k*t/2), k=sqrt(10*g/7*r)
Yläkuulan irtoamista alemmasta voisi arvioida olettamalla että pallon kulmanopeuden kasvu x' ei muutu vaikka se alkaa luistamaan eli pyörimisen vaje ja kitkatyö kumoavat suunnilleen toisensa. Ehto on silloin:
m*g*cosx = 2*m*r*x'^2 = 2*m*r*(10*g/7*r)*(1-cosx)/2, josta
cosx = 10/17 ja x = 54 astetta, eli lähellä aeijan laskemaa.- Jotain_outoa
Kalkyloin huvikseni tuon luiston alkamiskohdan arvoja niin että kuulat oli 2-senttisiä, massa 1, kulma alemman keskiöstä 29 astetta
Jätin laadut pois kun pelkät lukuarvot riittää tähän.
Liikkuvan kuulan nopeus 0.187 m/s pintojen välinen kosketusvoima 6.82 josta kitkavoima 1.36 ja ylemmän kuulan liikesuuntaan vaikuttava voima 4.75 .
Lukemissa ihmetyttää kahden viimeisen voiman suhde se on 2/7, vaikka samaan kiihtyvyyteen johtavien voimien suhde olisi oltava 2/5 - Noinkohan
Tuo pitää paikkansa. Alemman kuulan pinnan suuntaisesti kiihdyttävä voima on:
F = m*g*sinx
Kitkavoima puolestaan on:
f*r = 2*I*x'' = (4/5)*m*r^2*x''
Ratkaisussani kulmanopeus on:
x' = sqrt(10*g/7*r)*sin(x/2)
Tuo kun derivoidaan ja sijoitetaan, saadaan f/F = 2/7
Mutta en ymmärrä miksi sen pitäisi olla 2/5. Kuulan pyöriessä liukumatta liike-energiat suhtautuvat 2/5 mutta eivät välttämättä voimat. F*dt on impulssi joten impulssit suhtautuvat 2/5. - NoinhanSeOn
Ylemmän pallon tangentin suuntainen osuus gravitaatiovoimasta on 7 yksikköä ja kitkavoima vastakkaiseen suuntaan, mikä pyörittää palloa on 2 yksikköä. Pallon kiihdyttämiseen tangentin suunnassa ja 5 yksikköä. Niin kuin pitääkin.
- Jotain_outoa
Noinkohan kirjoitti:
Tuo pitää paikkansa. Alemman kuulan pinnan suuntaisesti kiihdyttävä voima on:
F = m*g*sinx
Kitkavoima puolestaan on:
f*r = 2*I*x'' = (4/5)*m*r^2*x''
Ratkaisussani kulmanopeus on:
x' = sqrt(10*g/7*r)*sin(x/2)
Tuo kun derivoidaan ja sijoitetaan, saadaan f/F = 2/7
Mutta en ymmärrä miksi sen pitäisi olla 2/5. Kuulan pyöriessä liukumatta liike-energiat suhtautuvat 2/5 mutta eivät välttämättä voimat. F*dt on impulssi joten impulssit suhtautuvat 2/5.Kun jatkat sitä impulssikaavan sieventämistä niin huomannet että nyös voimien on suhtauduttava 2/5 jotta kiihtyvyys olisi kummallakin sama.
- kevennyskö
NoinhanSeOn kirjoitti:
Ylemmän pallon tangentin suuntainen osuus gravitaatiovoimasta on 7 yksikköä ja kitkavoima vastakkaiseen suuntaan, mikä pyörittää palloa on 2 yksikköä. Pallon kiihdyttämiseen tangentin suunnassa ja 5 yksikköä. Niin kuin pitääkin.
Kevemyskö ?
- Jotain_outoa
NoinhanSeOn kirjoitti:
Ylemmän pallon tangentin suuntainen osuus gravitaatiovoimasta on 7 yksikköä ja kitkavoima vastakkaiseen suuntaan, mikä pyörittää palloa on 2 yksikköä. Pallon kiihdyttämiseen tangentin suunnassa ja 5 yksikköä. Niin kuin pitääkin.
No totta kai.
Olinpa tyhmä .
- Noinkohan
Tuosta liukumiskohdasta jatkaminen näyttää kinkkisemmältä. Silloin vaikuttaa bruttovoima, joka on tangentin suuntainen osuus gravitaatiosta. Siitä on vähennettävä kitkavoima, ja netto on palloa kiihdyttävä voima. Eli kaavana:
m*g*sinx - u*(m*g*cosx - 2*m*r*x'^2) = 2*m*r*x''
Tuossa on kulmamuuttujaa sellaisenaan sekä ensimmäisenä ja toisena derivaattana. Voi olla että oikoteitä löytyy mutta en ihan heti keksi. - sivuhuomauttelija
Se pallo ei tule sieltä mitään ympyrän kaarta pitkin alas, vaan jonkinlaista pallopinnalla olevaa nousullista, tai tässä tapauksessa laskullista ruuviviivaa.
- sivuvastaaja
Saattaa hyvinkin , jos kuulaan vaikuttaa jokin sivuttaisvoima.
Saman tekevää, ratkaisun kannalta sillä ei ole vaikutusta. - sivuhuomauttelija
sivuvastaaja kirjoitti:
Saattaa hyvinkin , jos kuulaan vaikuttaa jokin sivuttaisvoima.
Saman tekevää, ratkaisun kannalta sillä ei ole vaikutusta.No jos kuitenkin vaihdetaan pallot sylintereiksi, jolloin on varmaa, että ylempi tulee ympyrän kaarta pitkin, niin tuossa on tarinaa: http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/2cylinders.pdf
- sivuvastaaja
sivuhuomauttelija kirjoitti:
No jos kuitenkin vaihdetaan pallot sylintereiksi, jolloin on varmaa, että ylempi tulee ympyrän kaarta pitkin, niin tuossa on tarinaa: http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/2cylinders.pdf
Pallon pyörintähitauden laskeminen on pari astetta mutkikkaampaa kuin sylinterin joka vie kauemmaksi alkeistehtävästä.
Muuten tuosta linkistä se että pelkkä termien merkintöjen opettelu ja sisältöön perehtyminen vie kertalukumääräisesti enemmän aikaa kuin laskeskella itse tai katsella täältä jossa samaa asia puidaan paljon helppotajuisemmin ja vähäsanaisemmin. - aeija
sivuhuomauttelija kirjoitti:
No jos kuitenkin vaihdetaan pallot sylintereiksi, jolloin on varmaa, että ylempi tulee ympyrän kaarta pitkin, niin tuossa on tarinaa: http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/2cylinders.pdf
Se on kyllä ihan sama lasketaanko tässä sylinteriä vai palloa, mutta tuo minun tekeleeni on kyllä valitettavasti ainakin väärin.
Olen merkannut, että yläpallon vierimiskulma keskipisteensä ympäri on sama kuin kulma fii, mutta sehän on kaksikertainen.
Jos nyt simppelisti vain ratkotaan yhtälöä: sin(2fii)=17/10cos(fii)-1, niin kulmaksi tulee 18,7 astetta.
En jaksa enää miettiä tehtävää kokonaan uusiksi,
tämä jää nyt minun viimeiseksi tervehdyksekseni tämän tehtävän osalta. aeija kirjoitti:
Se on kyllä ihan sama lasketaanko tässä sylinteriä vai palloa, mutta tuo minun tekeleeni on kyllä valitettavasti ainakin väärin.
Olen merkannut, että yläpallon vierimiskulma keskipisteensä ympäri on sama kuin kulma fii, mutta sehän on kaksikertainen.
Jos nyt simppelisti vain ratkotaan yhtälöä: sin(2fii)=17/10cos(fii)-1, niin kulmaksi tulee 18,7 astetta.
En jaksa enää miettiä tehtävää kokonaan uusiksi,
tämä jää nyt minun viimeiseksi tervehdyksekseni tämän tehtävän osalta.Tiedän tunteen mutta aikaisemmat kokemukseni toiminnastasi antaa uskoa että pyörrät päätöksesi , tapoihisi ei juurikaan ole kuulunut pyyhkeen heitto, joten odotellaan kuinka asia kalvaa.
Tuo alkuosa oli aika yksinkertaista matematiikkaa (nyt kun osaavammat ovat sen näyttäneet) kuulan liike pyörintäenergia on 710 mv^2 joka on oltava potentiaalienergian suuruinen ja luisto alkaa kun kitkavoima alittaa 2/7 liikesuunnan voimasta.(mgsin).
Jatko lienee kätevin napakoordinaatistossa kuten " Noinkohan " jo esitti, ratkaisu vaatinee Wolframia.- Noinkohan
aeija kirjoitti:
Se on kyllä ihan sama lasketaanko tässä sylinteriä vai palloa, mutta tuo minun tekeleeni on kyllä valitettavasti ainakin väärin.
Olen merkannut, että yläpallon vierimiskulma keskipisteensä ympäri on sama kuin kulma fii, mutta sehän on kaksikertainen.
Jos nyt simppelisti vain ratkotaan yhtälöä: sin(2fii)=17/10cos(fii)-1, niin kulmaksi tulee 18,7 astetta.
En jaksa enää miettiä tehtävää kokonaan uusiksi,
tämä jää nyt minun viimeiseksi tervehdyksekseni tämän tehtävän osalta.Kävin läpi tuota aeijan laskelmaa eilen klo 21:47 enkä huomannut siinä virhettä.
- aeija
e.d.k kirjoitti:
Tiedän tunteen mutta aikaisemmat kokemukseni toiminnastasi antaa uskoa että pyörrät päätöksesi , tapoihisi ei juurikaan ole kuulunut pyyhkeen heitto, joten odotellaan kuinka asia kalvaa.
Tuo alkuosa oli aika yksinkertaista matematiikkaa (nyt kun osaavammat ovat sen näyttäneet) kuulan liike pyörintäenergia on 710 mv^2 joka on oltava potentiaalienergian suuruinen ja luisto alkaa kun kitkavoima alittaa 2/7 liikesuunnan voimasta.(mgsin).
Jatko lienee kätevin napakoordinaatistossa kuten " Noinkohan " jo esitti, ratkaisu vaatinee Wolframia.Joo, tämä linkki http://math.ucr.edu/home/baez/rolling/rolling_5.html jotenkin hypnotisoi , enkä pystynyt ajattelemaan selkeästi. Ihan sama kulmahan minulla on siinä cos(fii):nkin kohdalla, eikä se luiston alkukulma siitä 29:stä mihinkään muutu.
- aeija
Noinkohan kirjoitti:
Kävin läpi tuota aeijan laskelmaa eilen klo 21:47 enkä huomannut siinä virhettä.
Oikein se nyt taas nykytiedon valossa onkin.
- aeija
aeija kirjoitti:
Joo, tämä linkki http://math.ucr.edu/home/baez/rolling/rolling_5.html jotenkin hypnotisoi , enkä pystynyt ajattelemaan selkeästi. Ihan sama kulmahan minulla on siinä cos(fii):nkin kohdalla, eikä se luiston alkukulma siitä 29:stä mihinkään muutu.
Lasketaa nyt vielä semmoistakin tapausta, että kitka hidastaa ratanopeutta ja pyöiminen ei muutu. Siitä tulee irtikulmaksi noin 51,5 astetta
http://aijaa.com/2oKWzU - Noinkohan
Tapauksessa jossa kitkakerroin on suuri eli yläkuula ei luista lainkaan ennen irtoamistaan alakuulasta irtoamiskulmaksi tulee 54 astetta. Eli oikea vastaus lienee jossain 51,5 ja 54 asteen välillä?
- aeija
Noinkohan kirjoitti:
Tapauksessa jossa kitkakerroin on suuri eli yläkuula ei luista lainkaan ennen irtoamistaan alakuulasta irtoamiskulmaksi tulee 54 astetta. Eli oikea vastaus lienee jossain 51,5 ja 54 asteen välillä?
Noista minun laskuistani tämän liukuvaiheen osalta ei oikein kestä päivänvaloa kuin tuo 50 astetta, joten äänestän sitä.
- Noinkohan
Joo, kun katsoo tuota sun laskelmaasi tänään 0:28, siinä on ilmeisesti "jäädytetty" keskeisvoima liukuvaiheen alkua vastaavaksi (eikä yläkuulan pyörimistä). Koska keskeisvoima kasvaa ratanopeuden mukana, pallo irtoaa ennemmin ja siis pienemmällä kulmalla kuin 51,5 astetta.
- Noinkohan
Laskeskelin tuossa tapausta että 29 asteen jälkeen kitka on nolla ja sain 50 astetta irtoamiskulmaksi. Eli todellisen irtoamiskulman pitäisi olla suurempi koska osa energiasta menee pyörimisen lisäämiseen 29 asteen jälkeenkin. Jos taas kitka on niin suuri ettei liukumista ole lainkaan ennen irtoamista, tuli tulokseksi 54 astetta. Eli jossain noiden välissä, jos laskin oikein.
- aeija
Noinkohan kirjoitti:
Laskeskelin tuossa tapausta että 29 asteen jälkeen kitka on nolla ja sain 50 astetta irtoamiskulmaksi. Eli todellisen irtoamiskulman pitäisi olla suurempi koska osa energiasta menee pyörimisen lisäämiseen 29 asteen jälkeenkin. Jos taas kitka on niin suuri ettei liukumista ole lainkaan ennen irtoamista, tuli tulokseksi 54 astetta. Eli jossain noiden välissä, jos laskin oikein.
Joo, niin on. Tuolla joku antoi tämän linkin http://repository.upenn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1146&context=physics_papers
Jossa on kaava nro 26. Sillä voi laskea irtoamiskulmia kun kappale tulee latana koko matkan, ei siis pyöri missään vaiheessa. Vaihdoin siinä säteeksi 2R ja tuli seuraavia tuloksia:
kitkakerroin =0, kulma =48,2
kitkakerroin= 0.1, kulma=51,2
kitkakerroin =0.2, kulma= 54.5
Koko matkan vierivänä kulma oli se 54, joten puoliksi vierivänä ja puolet luistavana 0.2 kitkalla, se kulma on jossain 54:n liepeillä.
Tolla linkin kaavalla , tai kun muuttaa sitä jos osaisi, saisi ehkä laskettua latana tulemisen välillä 29-loppu, mutta kun ei sekään tietysti olisi oikea, niin en edes yritä sitä perata.
Pelkästään latana tuleminen jollakin kitkakertoimella on jo hyvin vaikea laskettava, niin kuin linkistä näkyy. Sitten kun osa on vierimistä, niin vapausasteita tulee liikaa, ei sitä kukaan laske, ei semmoista laskua löydy netistäkään. Lagrange-miehetkään eivät siihen sotkeutuneet. - aeija
aeija kirjoitti:
Joo, niin on. Tuolla joku antoi tämän linkin http://repository.upenn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1146&context=physics_papers
Jossa on kaava nro 26. Sillä voi laskea irtoamiskulmia kun kappale tulee latana koko matkan, ei siis pyöri missään vaiheessa. Vaihdoin siinä säteeksi 2R ja tuli seuraavia tuloksia:
kitkakerroin =0, kulma =48,2
kitkakerroin= 0.1, kulma=51,2
kitkakerroin =0.2, kulma= 54.5
Koko matkan vierivänä kulma oli se 54, joten puoliksi vierivänä ja puolet luistavana 0.2 kitkalla, se kulma on jossain 54:n liepeillä.
Tolla linkin kaavalla , tai kun muuttaa sitä jos osaisi, saisi ehkä laskettua latana tulemisen välillä 29-loppu, mutta kun ei sekään tietysti olisi oikea, niin en edes yritä sitä perata.
Pelkästään latana tuleminen jollakin kitkakertoimella on jo hyvin vaikea laskettava, niin kuin linkistä näkyy. Sitten kun osa on vierimistä, niin vapausasteita tulee liikaa, ei sitä kukaan laske, ei semmoista laskua löydy netistäkään. Lagrange-miehetkään eivät siihen sotkeutuneet.Taitaa olla kaiken lisäksi olla väärin laskettukin, sillä 0,2 kitkalla menisi 59 asteeseen ja 0,3 kitkalla peräti 68. Jos nuo nyt olisivat oiken, niin yli 54 astetta siis ilmeisesti joka tapauksessa.
- aeija
aeija kirjoitti:
Taitaa olla kaiken lisäksi olla väärin laskettukin, sillä 0,2 kitkalla menisi 59 asteeseen ja 0,3 kitkalla peräti 68. Jos nuo nyt olisivat oiken, niin yli 54 astetta siis ilmeisesti joka tapauksessa.
Joo, olihan ne väärin vieläkin. Toi 59 astetta vastaa sittenkin 0,3 kitkaa, ja sen 0,2 kitkan kulma on 55 astetta.
Vedetään nyt sitten se vihonviimeinen johtopäätös, että jos kerran koko matka vierimällä irtoo 54 astetta ja koko matka latana, 0,2 kitkalla, irtoo 55 astetta, niin perusteltu syy on epäillä(Matlock), että puolet vierimällä ja loppu epämääräistä pyörimisliukua 0,2 kitkalla , niin pallo irtoaa pinnasta välillä 54-55 astetta.
Case is closed. - aeija
aeija kirjoitti:
Joo, olihan ne väärin vieläkin. Toi 59 astetta vastaa sittenkin 0,3 kitkaa, ja sen 0,2 kitkan kulma on 55 astetta.
Vedetään nyt sitten se vihonviimeinen johtopäätös, että jos kerran koko matka vierimällä irtoo 54 astetta ja koko matka latana, 0,2 kitkalla, irtoo 55 astetta, niin perusteltu syy on epäillä(Matlock), että puolet vierimällä ja loppu epämääräistä pyörimisliukua 0,2 kitkalla , niin pallo irtoaa pinnasta välillä 54-55 astetta.
Case is closed.Ei ole closed.
Alkumatkalla sinne 29 asteeseen nopein tapa edetä on vieriminen, ja sillä päästäisiin irtoamiskulma 54 astetta. Mutta vauhti kuitenkin kiihtyy niin paljon, että pito loppuu, joten loppumatkalla nopein tapa on liukusekasotku, joka ilman muuta johtaa pienempään irtoamiskulmaan kuin 54 astetta. Se voi olla paljonkin pienempi , mutta kuitenkin suurempi kuin se 50 astetta. Vaikkapa 51-53. - Noinkohan
Noin näyttää olevan. Laskeskelin itse olettaen että kuula vierii liukumatta 29 asteeseen asti. Jos se sen jälkeen liukuu kitkatta, päädytään tuohon noin 50 asteen irtoamiskulmaan. Seuraavaksi oletin että 29 asteen jälkeen kuulien välillä on vakio puristusvoima joka on puolet siitä mitä se on 29 asteen kohdalla. Olettaen kitkakerroin 0,2 voidaan laskea kitkatyö ja energiayhtälöstä voidaan laskea, milloin liike-energian lisäys kitkatyö on yhtä suuri kuin potentiaalienergian muutos välillä 29 astetta - irtoamiskulma. Yhtälöstä voidaan iteroida irtoamiskulmaksi hieman alle 52 astetta. Joten eiköhän se niillä main ole.
- aeija
Noinkohan kirjoitti:
Noin näyttää olevan. Laskeskelin itse olettaen että kuula vierii liukumatta 29 asteeseen asti. Jos se sen jälkeen liukuu kitkatta, päädytään tuohon noin 50 asteen irtoamiskulmaan. Seuraavaksi oletin että 29 asteen jälkeen kuulien välillä on vakio puristusvoima joka on puolet siitä mitä se on 29 asteen kohdalla. Olettaen kitkakerroin 0,2 voidaan laskea kitkatyö ja energiayhtälöstä voidaan laskea, milloin liike-energian lisäys kitkatyö on yhtä suuri kuin potentiaalienergian muutos välillä 29 astetta - irtoamiskulma. Yhtälöstä voidaan iteroida irtoamiskulmaksi hieman alle 52 astetta. Joten eiköhän se niillä main ole.
Minä sain sen normaalivoiman lausekkeen latana tulevassa tapauksessa välillä 29---90 astetta perattua tuon linkin avulla, ja hyvä arvio tuo on. Tuossa on se linkki:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot y=25/29(3cosx 6/5sinx)-1.689*e^(2x/5) , from 0.5 to pi/2 , tuosta irtoamiskulmaksi tulisi 51,5 astetta.
Tämä on siis tilanne jossa pallo vierii kulmaan 29, ja sen jälkeen tulee liukumalla lopun matkaa ja pyörimisnopeus ei muuttuisi. Ei siis kuitenkaan todellinen tilanne, sillä pyörimisnopeuden muuttumista ei huomioida mitenkään. - aeija
aeija kirjoitti:
Minä sain sen normaalivoiman lausekkeen latana tulevassa tapauksessa välillä 29---90 astetta perattua tuon linkin avulla, ja hyvä arvio tuo on. Tuossa on se linkki:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot y=25/29(3cosx 6/5sinx)-1.689*e^(2x/5) , from 0.5 to pi/2 , tuosta irtoamiskulmaksi tulisi 51,5 astetta.
Tämä on siis tilanne jossa pallo vierii kulmaan 29, ja sen jälkeen tulee liukumalla lopun matkaa ja pyörimisnopeus ei muuttuisi. Ei siis kuitenkaan todellinen tilanne, sillä pyörimisnopeuden muuttumista ei huomioida mitenkään.Jättää varmaan merkin pois 3cosx ja 6/5 sinx välistä, se pitääl isätä
- enosaavielä
Mitenkä on tuon alemman pallon kanssa. Onko se vaikkapa tasolla ja voiko se liikkua tason suhteen? Jos voi, niin mikä on tason ja pallon välinen kitkakerroin? Tehtävä ei ole tältä osin hyvin määritelty.
- Osaatko_lukea
lisäksi-vielä
30.8.2016 10:44
Ennen kuin joku "viisas" alkaa selittelyn, niin ilmanvastuksen osuus on niin mitätön että voidaan jättää huomioimatta ja alempi kuula pysyy paikoillaan.
- Noinkohan
Itse laskeskelin seuraavasti. Merkkaan a kulmaa (kulma alemman pallon keskipisteestä pallojen kosketuspisteeseen ja yläpallon keskipisteeseen) jossa yläkuula alkaa luistaa (a=29 astetta on ratkaistu tuolla aiemmin) ja a' vastaavaa kulmanopeutta. Ja b on kulma jossa yläkuula irtoaa alakuulasta ja b' on vastaava kulmanopeus. Energiayhtälö saadaan silloin välillä a-b muotoon:
2mgr(cosa - cosb) - 2mr^2(b'^2 - a'^2) = K
K on kitkatyö, joka pitäisi integroida tarkasteltavalla välillä. Oletan tehollisen puristusvoiman N jolloin kitkatyö saadaan muotoon (u=0,2 on kitkakerroin):
K = 2uNr(b-a)
a' on tuolla aiemmin laskettu tilanteelle jossa yläkuula ei luista, saadaan:
a'^2 = (5g/7r)(1-cosa)
b' puolestaan saadaan ehdosta että painovoiman komponentti kumoaa keskeisvoiman:
2mrb'^2 = mgcosb
Nuo kun sijoitetaan ja sievennetään, saadaan:
mgr(4cosa/7 10/7 -3cosb) = 2uNr(b-a)
Jos kitkaa ei ole a=29 asteen jälkeen, on vasen puoli nolla ja voidaan ratkaista b = 50,0 astetta.
N arvioinnin lähtökohdaksi voidaan ottaa puristusvoima kulmassa a (29 astetta), joksi voidaan laskea 0,7mg. Kulmaan b mennessä se vähenee nollaan. Vaikka väheneminen ei ole lineaarista ja oletetaan että tehollinen puristusvoima välillä a-b on 0,35mg. Saadaan siis yhtälö:
mgr(4cosa/7 10/7 -3cosb) = 0,7umgr(b-a)
Kun tuohon sijoitetaan arvot ja iteroidaan, saadaan b=51,9 astetta kulmaksi, jossa yläkuula irtoaa alemmasta.- aeija
Täsmääkö energiayhtälö myös lepoaseman ja irtoamisaseman välillä , vai jääkö jotain yli ?
- Noinkohan
En ehkä täysin ymmärtänyt kysymystä. Kuitenkin 29 asteeseen asti lähden siitä että potentiaalienergian muutos - "painopisteen liike-energian" muutos = pyörimisenergian muutos (vierintäkitkaa ei oleteta). 29 asteen jälkeen se menee "liukumiskitkatyöksi" joka osaltaan lisää pyörimistä ja osaltaan voi mennä lämmöksi.
- Noinkohan
Taisi tulla tuossa virhe kun laskin kitkatyön vaikutusmatkaksi 2r(b-a). Pallojen kosketuspiste kuitenkin kulkee vain matkan r(b-a). Jos tuo korjataan, tulee vastaukseksi 51,4 astetta.
- aeija
Noinkohan kirjoitti:
Taisi tulla tuossa virhe kun laskin kitkatyön vaikutusmatkaksi 2r(b-a). Pallojen kosketuspiste kuitenkin kulkee vain matkan r(b-a). Jos tuo korjataan, tulee vastaukseksi 51,4 astetta.
Kyllä tuosta alkuperäisestäkin tulee 51,34, joten pysy vaan siinä.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(4cos0.5061/7 10/7 -3cosx) = 0.6955/5(x-0.5061) - aeija
aeija kirjoitti:
Kyllä tuosta alkuperäisestäkin tulee 51,34, joten pysy vaan siinä.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(4cos0.5061/7 10/7 -3cosx) = 0.6955/5(x-0.5061)plussa taas puuttuu välistä
- Noinkohan
Tuo kitka pitäisi määritellä tarkemmin. Liukumisen alku on selvä, kysymys on ikäänkuin lepokitkakynnyksestä mikä pitää ylittää. Mutta sen jälkeen on kuin ABS-jarru. Pyörimisen takia kitkan vaikutusmatkaa on sekä ylä- että alakuulassa.
- aeija
Se kitkan vaikutusmatka täytyy kyllä olla se kosketuskohdan kulkema matka, eikä massakeskipisteen kulkema matka, joten kaikkikin kitkatyölaskut menisivät uusiksi, siis jos niitä uudestaan alkaisin pähkäillä.
Lisäksi siinä kohtaa missä vieriminen muuttuu liukumiseksi saattaa tulla normaalivoimaan joku äkkimuutos, sanotaan nyt vaikka, että siinä murretaan kitkavalli. Minäkin jossakin laskussa yhdistin liukumisen normaalivoiman lausekkeen väkisin vierimisen normaalivoimaan, käyttämällä integroimisvakiota, joten liian suuri kitkatyö tuli siinäkin laskussa kahdestakin syystä. - aeija
aeija kirjoitti:
Se kitkan vaikutusmatka täytyy kyllä olla se kosketuskohdan kulkema matka, eikä massakeskipisteen kulkema matka, joten kaikkikin kitkatyölaskut menisivät uusiksi, siis jos niitä uudestaan alkaisin pähkäillä.
Lisäksi siinä kohtaa missä vieriminen muuttuu liukumiseksi saattaa tulla normaalivoimaan joku äkkimuutos, sanotaan nyt vaikka, että siinä murretaan kitkavalli. Minäkin jossakin laskussa yhdistin liukumisen normaalivoiman lausekkeen väkisin vierimisen normaalivoimaan, käyttämällä integroimisvakiota, joten liian suuri kitkatyö tuli siinäkin laskussa kahdestakin syystä.Laitetaan nyt kuitenkin sekin lasku tähän vielä näkyviin, ja 50,7 astetta siitä kulmaksi tulee:
- aeija
aeija kirjoitti:
Laitetaan nyt kuitenkin sekin lasku tähän vielä näkyviin, ja 50,7 astetta siitä kulmaksi tulee:
Niin taikka tähän: http://aijaa.com/Mn6uhV
- aeija
aeija kirjoitti:
Niin taikka tähän: http://aijaa.com/Mn6uhV
Yritetääs plotata normalivoiman käyrää verrattuna vierinnän normaalivoimaan.
Taas varmaan jää jotain plussia pois.
.https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot y=75/26cosx 15/26sinx)-1.9042*e^(x/5) , y=17/7cosx-10/7 from 0.5 to pi/3
- aeija
Kerätään tähän nyt vielä tästä sekamelskasta ne kaksi linkkiä, joista minun ratkaisuni löytyy:
http://aijaa.com/L99GN8
Ja sitten siihen jatkoa:
http://aijaa.com/Mn6uhV
Kitkatyö olisi tuossa, jos näkyisi oikein:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate 15/26cosx 3/26sinx-1.9042/5*e^(0.2x) , from 0.50614 to 0.88516
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Kuvat! Dannyyn liitetty Helmi Loukasmäki, 22, on puhjennut naisena kukkaan - Some sekoaa: "Sä..."
Ooo, kaunis aikuinen nainen Helmistä on kasvanut siinä yli 80-vuotiaan Dannyn rinnalla! Katso uudet kuvat: https://ww685503- 613684
Suodatinpussin kastelemalla saa parempaa kahvia
Kokeilin niksiä ja kyllä tämä kahvi on parempaa nyt. Ei lainkaan maistu paperiselta. Huljuttelee hanan alla suppiloa pap1532725Tidätkö nainen
että suoraan sanottuna v.tut.aa että pääsit näin lähelle minua. Ei olisi oikeasti aikaa tähän mutta silti aina välillä o1052166Mikä on kaivattusi etunimi?
Otsikossa siis on kysymys eriteltynä. Vain oikeat vastaukset hyväksytään.1031980Oho! Arja Koriseva paljastaa TTK:n ekasta suorasta lähetyksestä: "On vähän ärsyttävä yhtälö!"
Upea Arja Koriseva! Tsemppiä haasteelliseen tilanteeseen! Lue lisää: https://www.suomi24.fi/viihde/oho-arja-koriseva-211299Onkohan sinulla kaikki hyvin?
Nyt vähän sellainen outo tunne tuli. Sinun asiasi niin ei minulle toki tarvitse kertoa. Kunhan mietin...381277En kestä katsoa
Sitä miten sinusta on muut kiinnostuneita. Olen kateellinen. Siksi pitäisi lähteä pois961268Huikeeta, mahtavaa, ihan mielettömän upeeta
Me ostettiin talo Espanjasta. Tosin saadaan käyttää sitä vain muutama viikko vuodessa kun on monta muutakin ostajaa! M1951222- 1731136