Tehtävä
Etsi yhtälön (x 1)^4-16=0 reaaliset ja imaginaariset ratkaisut.
Reaaliset ratkaisut sain tällä tavoin
(x 1)^4=16
(x 1)^4=2^4 tai (x 1)^4=(-2)^4
x 1=2 x 1=-2
x=1 x=-3
Kirjan takana on kuitenkin annettu myös imaginaariseksi ratkaisuksi x=-1 -2i
Miten tähän ratkaisuun päädytään?
Etsi yhtälön (x 1)^4-16=0 reaaliset ja imaginaariset ratkaisut.
Reaaliset ratkaisut sain tällä tavoin
(x 1)^4=16
(x 1)^4=2^4 tai (x 1)^4=(-2)^4
x 1=2 x 1=-2
x=1 x=-3
Kirjan takana on kuitenkin annettu myös imaginaariseksi ratkaisuksi x=-1 -2i
Miten tähän ratkaisuun päädytään?
Vastaukset 8
Vanhimmat
(x 1)^4-16=(x^2 2x 1-4)(x^2 2x 1 4)=(x^2 2x-3)(x^2 2x 5)=0
ratkaisukaavalla x^2 2x-3=0 tai x^2 2x 5=0
x=(-2 /-sgrt(16))/2
tai
x=(-2 /-sqrt(-16))/2
Tuosta tulee kaikki neljännen asteen yhtälön neljä ratkaisua ulos, joista kaksi alempaa sisältävät imaginääriosan.
Vielä lisään ystävällisessä mielessä, että kadotat osan ratkaisuista, kun toteat, että 16=2^4=(-2)^4.
2 ja -2 eivät suinkaan ole ainoat ratkaisut yhtälölle x^4=16. Tämähän on myös neljännen asteen yhtälö ja sillä on niin ikään neljä ratkaisua.
x^4=16 eli x^4-16=0 eli (x^2-4)(x^2 4)=0.
Siis x^2=4 (löytämäsi reaaliratkaisut -2 ja 2) tai
x^2=-4 eli x=sqrt(-4) tai x=-sqrt(-4). (puuttuvat kysytyt kompleksiset ratkaisut.) Tehtävä olisi mennyt täysin nappiin, jos olisit myös huomannut nämä.
Tämä olikin vähän outo tehtävä, koska aiemmilla kursseilla ei ole ollut tällaisia yhtälöitä. Eli omat tiedot eivät vielä riitä ratkaisemiseen.
Ahaa, nyt kun vielä tarkemmin tutkin ratkaisuasi ymmärsin mistä sen sait, kiitos tuhannesti :)
Yksi tapa laskea on käyttää kompleksisia juuria. Pieni opas aiheeseen on vaikkapa https://www.math.brown.edu/~pflueger/math19/1001 Complex roots.pdf .
Hetken pyöriteltyä sain itse ratkaistua näin
(x 1)^4=16 |*(-1)
-1*(x 1)^4=-16 |√
i*(x 1)^2= -√-16
i*(x 1)^2=( )-4i |i supistuu, √
x 1= -√-4
x 1= -√4 i
x 1= -2i
x=-1 -2i
Edellisen ratkaisua en lukion tähänastisilla opeilla ymmärrä. Omasta ratkaisusta en tiedä meninkö täysin laillisia reittejä, mutta oikea vastaus kuitenkin tuli.
(x 1)^4=16 |√
(x 1)^2= -4 |√
x 1 = -√ -4
x=-1( -)√( -)4
(x 1)^4 - 16 = ((x 1)^2 -4) ((x 1)^2 4) = ((x 1) - 2)) ((x 1) 2) (x^2 2x 5) = (x-1) (x 3) ( x^2 2x 5) = 0. Ratkaisuja ovat siis x = 1, x = -3 ja yhtälön x^2 2x 5 = 0 juuret, jotka ovat 1/2 (-2 /- sqrt(4 - 20)) =
-1 i 2 ja -1 - i 2.
Ohman