Sektori ja ympyrän rengas

Sektorin pinta-alalle ja painopisteelle löytyy kaavat tästä: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_centroids

Selvyyden vuoksion parempi ettei niitä lasketa asteina ollenkaan.

Ympyrärenkaan sektorin tapuksessa pitäisi suorittaa kahden ympyräsektorin painopisteiden ja alojen yhdistelmä poislaskun avulla.

Lyhyesti sanottuna se on käsittääkseni painopisteen osalta : (en ole tästä varma)

(Isomman painopiste origosta kertaa sen ala)-(pienemmän painopiste origosta kertaa sen ala), ja sitten tuo koko höskä jaetaan pinta-alojen erotuksella.

En rupea tätä laskemaan, varsinkaan kun en minäkään löydä sille tarkistusarvoa.

Massakeskipiste on C:

C= 1/M Int t(R) R dA, missä M on massa ,R on pisteen paikkavektori ja t(R) on tiheys pisteessä R ja integraali otetaan alan A yli

Tässä t(R) lienee vakio = t ja siten massa M = t A missä A on pinta-ala ja siis

C = 1/A Int R dA

R = r cos(u) i r sin(u) j. Ympyrärenkaan sektori (tuo alue A) on alue

u1 <=u <= u2 ja r1 <= r <= r2

C:n i-komponentti on 1/A Int(u1,u2) cos(u) du Int(r1,r2) r^2 dr =

!/A ((sin(u2) - sin(u1)) ( r2^3 /3 - r1^3 /3)

ja j-komponentti on

1/A Int(u1,u2) sin(u) du Int(r1,r2) r^2 dr =

1/A ((cos(u1) - cos(u2)) ( r2^3 /3 - r1^3 /3)

ja A = (u2 - u1)/2 * (r2^2 - r1^2).

Lasketaanpa tuosta tarkastusmielessä s-säteisen ympyräsektorin missä kulma on

u1 = -a ja u2 = a (eli kulman suuruus on 2a) massakeskipiste C.Tässä r1 = 0 ja r2 =
s.
Sen i-komponentti on

1/A (2 sin(a) s^3 /3) = (2 sin(a) s^3 /3) / (a * s^2) = (2*s* sin(a))/(3 a)

ja j-komponentti on 0.

Tuon aeijan linkin mukaan nämä ovat oikein.

Ohman

Voin tuota kaavaa tietenkin vähän kaunistaa panemalla u1 = -a ja u2 = a tuossa ympyrärenkaassa.

C:n i-komponentti on

(1) (2 sin(a) / (3a) * (r2^3 - r1^3) / (r2^2 - r1^2)

ja j- komponentti = 0.

Massakeskipiste sijaitsee siis sektorin puolittajalla etäisyydellä (1) ympyrän keskipisteestä.

Ympyräsektorilla on r1 = 0 ja r2 = s. Olkoon erityisesti a = pii/4 niin (1) saa arvon

sqrt(2) /(3 pii/4) * s =( 4 sqrt(2)) / (3 pii) *s.Tämä on tuossa wikipedialinkissä väärin..

Jos a = pii/2 niin (1) saa arvon( 4 s) /(3 pii). Tämä on wikipediassakin oikein.

Ohman

Alitajunta toimii. Juolahti jostain mieleeni että ei se wikipedia ole väärässä. Siinähän annettiin C:n koordinaatit ja kun ne ovat 4s/(3 pii) niin C:n etäisyys origosta on

4 sqrt(2)) s /(3 pii).

Ohman