Ekaksi pitäs löytää kaava sektorin pinta-alalle ja painopisteelle.
Sitten ympyrärenkaan sektorin pinta-ala ja painopiste.
Molemmat ois hyvä olla selvyyden vuoksi sekä radiaaneilla että asteilla laskettuna.
Kiitos
Sitten ympyrärenkaan sektorin pinta-ala ja painopiste.
Molemmat ois hyvä olla selvyyden vuoksi sekä radiaaneilla että asteilla laskettuna.
Kiitos
Vastaukset 7
Vanhimmat
Sektorin pinta-alalle ja painopisteelle löytyy kaavat tästä: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_centroids
Selvyyden vuoksion parempi ettei niitä lasketa asteina ollenkaan.
Ympyrärenkaan sektorin tapuksessa pitäisi suorittaa kahden ympyräsektorin painopisteiden ja alojen yhdistelmä poislaskun avulla.
Lyhyesti sanottuna se on käsittääkseni painopisteen osalta : (en ole tästä varma)
(Isomman painopiste origosta kertaa sen ala)-(pienemmän painopiste origosta kertaa sen ala), ja sitten tuo koko höskä jaetaan pinta-alojen erotuksella.
En rupea tätä laskemaan, varsinkaan kun en minäkään löydä sille tarkistusarvoa.
Massakeskipiste on C:
C= 1/M Int t(R) R dA, missä M on massa ,R on pisteen paikkavektori ja t(R) on tiheys pisteessä R ja integraali otetaan alan A yli
Tässä t(R) lienee vakio = t ja siten massa M = t A missä A on pinta-ala ja siis
C = 1/A Int R dA
R = r cos(u) i r sin(u) j. Ympyrärenkaan sektori (tuo alue A) on alue
u1 <=u <= u2 ja r1 <= r <= r2
C:n i-komponentti on 1/A Int(u1,u2) cos(u) du Int(r1,r2) r^2 dr =
!/A ((sin(u2) - sin(u1)) ( r2^3 /3 - r1^3 /3)
ja j-komponentti on
1/A Int(u1,u2) sin(u) du Int(r1,r2) r^2 dr =
1/A ((cos(u1) - cos(u2)) ( r2^3 /3 - r1^3 /3)
ja A = (u2 - u1)/2 * (r2^2 - r1^2).
Lasketaanpa tuosta tarkastusmielessä s-säteisen ympyräsektorin missä kulma on
u1 = -a ja u2 = a (eli kulman suuruus on 2a) massakeskipiste C.Tässä r1 = 0 ja r2 =
s.
Sen i-komponentti on
1/A (2 sin(a) s^3 /3) = (2 sin(a) s^3 /3) / (a * s^2) = (2*s* sin(a))/(3 a)
ja j-komponentti on 0.
Tuon aeijan linkin mukaan nämä ovat oikein.
Ohman
Tuo on erittäin hyvä neuvo laskea ensin ympyrärengassektorin painopiste, ja siitä ympyräsektorin painopiste. Siis jos integroimalla laskee.
Jos käyttää valmista taulukkotietoa ympyräsektorille, niin siitä pääsee rengassektoriin näin (joku on sen laskenut): http://www.manufacturinget.org/wp-content/uploads/2011/09/hollowSector.png
Minäkin tietysti laskin tätä omalla tavallani ja sen tulos on tässä(niin kauan kuin on): http://aijaa.com/wA6arG
sitä täytyisi vähän korjailla, mutta kohtahan se häipyy...
Voin tuota kaavaa tietenkin vähän kaunistaa panemalla u1 = -a ja u2 = a tuossa ympyrärenkaassa.
C:n i-komponentti on
(1) (2 sin(a) / (3a) * (r2^3 - r1^3) / (r2^2 - r1^2)
ja j- komponentti = 0.
Massakeskipiste sijaitsee siis sektorin puolittajalla etäisyydellä (1) ympyrän keskipisteestä.
Ympyräsektorilla on r1 = 0 ja r2 = s. Olkoon erityisesti a = pii/4 niin (1) saa arvon
sqrt(2) /(3 pii/4) * s =( 4 sqrt(2)) / (3 pii) *s.Tämä on tuossa wikipedialinkissä väärin..
Jos a = pii/2 niin (1) saa arvon( 4 s) /(3 pii). Tämä on wikipediassakin oikein.
Ohman
Alitajunta toimii. Juolahti jostain mieleeni että ei se wikipedia ole väärässä. Siinähän annettiin C:n koordinaatit ja kun ne ovat 4s/(3 pii) niin C:n etäisyys origosta on
4 sqrt(2)) s /(3 pii).
Ohman