Suorakulmaisessa kolmiossa on kateettien summa 5 cm suurempi kuin hypotenuusa. Kuinka suuri on kolmion sisään piirretyn ympyrän halkaisija?
Tehtävä 1980-luvulta. Pitäisi mennä yäasteen tiedoilla.
Tehtävä 1980-luvulta. Pitäisi mennä yäasteen tiedoilla.
Vastaukset 34
Vanhimmat
Kuvassa yhdistetään kolmion terävät kärjet ympyrän keskipisteeseen ja piirretään ympyrälle kolme sädettä siten että syntyy uusia suorakulmaisia kolmioita. Sitten vaan Pythagoraan lauseita neljä kappaletta ja mietitään että mitä tuli tehtyä ja mitä seuraavaksi....
Kirjoitin tuon äkkiä yöllä, kun olin töihin lähdössä , enkä sen paremmin sitä vuntsannut. Tuossa se tuolla ajatuksella oleva ratkaisu on, mutta joku puuronsa saa varmaan helpommalla(rekkamies): http://aijaa.com/56NwdN
No huhhuh. Ratkaisit 2r=5, eli ympyrän halkaisija 5. Ohhoh. Sehän kuulostaa kuin ympyrän halkaisijan pituus olisi annettu kysymyksessä. Ja tämä sitten on vakio? Ei voi olla tässä ympyrän halkaisija vaikka 5,5 eikö? Pakko olla tietyn mallinen kolmio. Aivan. Onnittelut, että tehtävä on ratkaistu. Missäs niitä papukaijamerkkejä taas olikaan...
Tuo ratkaisu näyttää tarkoittavan, että jos halutaan tietyn kokoinen ympyrä tuolla tavalla kolmion sisään, niin sitten kateettien pituus täytyy olla 2r hypotenuusa. Oliko tämä todistus vai määritelmä, vai sekä että?
Yhtälöitä kirjoittamalla ratkeaa kai niin että kulmat määräytyy atn(a/b).
Toisen terävän kulman puolikkaan tangentti on r/(a-r) ja toisen r/(b-r), lisäksi pituus ja Pythagoras niin yhtälöitä on riittävästi ratkaisuun.
Miksi kateettien summa eikä kateettien pituuksien summa? Ja miksi suurempi kuin hypotenuusa eikä suurempi kuin hypotenuusan pituus?
Miksei yksinkertaisesti "kateettien summa 5 cm pitempi kuin hypotenuusa"?
entäs se ratkaisu tuon viisastelun sijaan?
Tehtävä lähtee siitä, että ympyrän halkaisija on sama kaikille kolmioille, joille annetut ehdot täyttyvät. Siksi voi valita helpon kolmion, tasakylkisen suorakulmaisen kolmion, ja ratkaista tehtävä sille.
Alkaisiko se ajattelun ketjureaktio tästä:
Hypotenuusa toiseen = kateettien neliöiden summa.
Hypotenuusa = kateettien summa 5.
Ympyrän halkaisija pienempi kuin hypotenuusa?
Ympyrän halkaisija suurempi kuin kateetti? Vai pienempi?
Ovatko kateetit yhtä pitkiä? Saattavat olla, mutta ei välttämättä? Tai onko sillä jotain merkitystä, minkä muotoinen kolmio on? Tämänkö selvittäminen edistää tehtävän ratkaisemista? Onko ympyrä aina samankokoinen riippumatta kolmion muodosta? Ei tietenkään. Jos kolmio olisi äärimmäisen pitkä ja toinen kateetti erittäin lyhyt, ei mahtuisi kovin suurta ympyrää.... Mutta määräytyykö kolmion muoto jo tuosta, että hypotenuusa = kateettien summa 5. Vai ei?
Suorakulmaisesta kolmiosta: http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/trigonom/trigo09.htm
Jos tehtävä on eksakti, ympyrän säteen pitäisi riippua vain tuosta kateettien summan ja hypotenuusan välisestä pituuserosta 5 cm. Tehtävä olisi aika hölmö, jos se säde riippuisi myös kateetin pituudesta, jota ei ole annettu. Kolmion muoto voi tietysti vaihdella, sillä kolmion kokoa yhdenmuotoisesti pienentämällä tai suurentamalla saadaan ero viisisenttiseksi.
Tehtävä on itse asiassa lukion 1. vuoden oppikirjasta, mutta se esitettiin lukion pitkän matematiikan aivan ensimmäisten oppituntien jälkeen (Luku: Ensimmäisen asteen yhtälö), kun yhtälöihin liittyvää teoriaa (ja siten oikeastaan koko lukion matematiikan oppimäärää) oli käsitelty vasta 3 sivua, joten kyse on oikeastaan yläasteen tietojen kertauksesta. Mikäli oikein muistan (tehtävä 1980-luvulta), tehtävän ratkaisussa tarvittiin erästä vähän "eksoottisempaa" yhtälöä, joka ilmeisesti sisältyi noina aikoina yläasteen oppimäärään. En kuitenkaan enää muista, mikä tämä yhtälö oli. Oppikirjan lopussa on annettu joka tapauksessa oikea vastaus: 5 cm
Niin, ja nimimerkki aeija ratkaisi tehtävän oikein edellä.
Joo niinpä olikin, en huomannut katsoa noita edellisiä. Periaatteena kuitenkin, että kolmioista oli saatavissa kolme riippumatonta yhtälöä, ja kun on kolme tuntematonta, numerinen ratkaisu löytyy. Mutta onhan se vähän odottamatonta, että säde riippuu vain tuosta erosta.
Yleisesti on helppo todistaa, että jos suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat a,b ja hypotenuusan pituus c, niin sisään piirretyn ympyrän säteen pituus on (a b-c)/2.
Eli kolmion sisään mahtuu tasan ympyrä, jonka halkaisija on kateettien summa miinus hypotenuusa. Mutta entä se muoto? Onko siihenkin valmis kaava?
Kaikenmuotoiset käyvät. Otetaan vaikkapa kolmio, jonka kateetit ovat 3 ja 4. Silloin hypotenuusa on 5 ja edellä olevan kaavan perusteella sisään piirretyn ympyrän halkaisija on 2. Kun kasvattaa kolmion yhdenmuotoisena 2,5-kertaiseksi, saa halkaisijaksi 5. Saman voi tehdä mille tahansa suorakulmaiselle kolmiolle.
Siis tuollaiseksi kolmioksi ei kelpaa, että kolmioissa eri asteluvut, vaan astemäärä on vakio? Sama muoto oltava aina, mutta eri koko mahdollista?
Joko on kolmioilla lämpötilakin?
Tämä olikin niin mielenkiintoinen tehtävä, että aikani kuluksi ja yleisön pyynneistä huolimatta laskin ja piirsinkin muutaman vaatimuksen täyttävän kolmion 5 cm halkaisijaisen ympyrän ulkopuolelle.
http://aijaa.com/iZBBN0
Jotenkin ei voi olla ihailematta aktiivisuuttasi, oivalluskykysi on jo todettu ja tämä palsta tarvitsee juuri laisiasi.
E.d.K
Huhhuh taas! Todistit siis, että voi olla erimuotoisia kolmioita, niin että kuhunkin mahtuu tuollainen ympyrä... Mistäköhän minulle sitten tuli väärinkäsitys, että muodon pitää olla tasan tietynlainen? Onko kulmilla sitten jotain raja-arvoja, muita kuin että yksi kulmista on suora ja muut yhteensä 90 astetta?
Tuon a,b lausekkeen D ei voi olla negatiivinen, siitä seuraa hypotenuusalle rajoitus c > 12.07(noin) .
Ahaa, elikkä hypotenuusa vähintään sen verran kuin tasakylkisessä kolmiossa olisi. Loogista kyllä. Mutta ylärajaako ei ole? Mutta entä muut kolmion sivut? Eikö siellä ole jokin minimi ja maksimi? Kateetin pituudelle? Miten pitkä se voi olla enintään, tai miten lyhyt vähintään? Jotenkin maalaisjärjellä olisin luullut, että kateetin pitää olla pidempi kuin 5. Ei voi olla tasan 5. Pitääkö tämä paikkansa? Entä jos olisi kateetin pituus 5 äärettömän pieni lisäys, kuinka pitkä toinen kateetti sitten voisi olla? Jos lisäys olisi 0, desimaalipilkku, ja ääretön määrä nollia, ja desimaaliluvun lopussa ykkönen, niin sittenkö toinen kateetti voisi olla äärettömän pitkä, periaatteessa?
En halua, enkä osaakaan kommentoida kateettien pituuksiin muuta kuin sen, että koska suorakulmainen kolmio on kyseessä ja sisällä on 5 halkaisijainen ympyrä, niin kumpikaan kateeetti ei tietenkään voi olla pienempi tai yhtäsuuri kuin 5. Jos tohon minun lausekkeeseeni sijoittaa c:lle suuria arvoja, niin lyhyempi kateetti kuitenkin lähestyy viitosta.
Äärettömiin asti isonnettaessa hypotenuusaa, tulee äärettömän laskusäännöt eteen ja niihin en syvenny edes paskaköysilläkään. Ei pilata nyt tätä hyvää tehtävää niillä.
Samaan lopputulokseen pääsee ilman pythagoraan lauseita suoraan kulmien tangenttien avulla.
Tan @ = a / b , tan ½ @ = r / (b-r) ja tan ½@ = r / (c-d)
=> b - r = c - d => r = d b - c
kun d = a - r ( 2 yhdenmukaista kolmiota), niin saadaan : r = a - r b -c
=> 2r = a b - c
kun a b = c 5 , niin => 2r = c 5 - c = 5
( @ on terävin kulma ja d ed. olleen piirroksen mukainen osa c hypotenuusasta)
Jopa nyt on vaikeata!
Olkoon suorakulmaisen kolmion kateetit a ja b sekä hypotenuusa c.
Piirretään kolmion sisään ympyrä joka sivuaa kaikkia sivuja, olkoon tämän säde r.
Kustakin kolmion kärjestä sivuamispisteisiin menevät kaksi janaa ovat keskenään yhtä pitkiä.
Siis b - r = c - (a-r) ja siis a b = c 2r tai tosin sanoen a b - c = 2 r.
Ohman
Tuohan oli jo kerrottu useaan otteeseen edellä ja mitä eroa on suorakulmaisen kolmion suhteiden käsittelyllä Pythagoras tai trig. funktioita hyödyntäen.
Kukin tavallaan !
Jos et huomaa todistukseni yksinkertaisuutta verrattuna trigonometrian tai edes Pythagoraan teoreeman käyttöön niin ei mahda mitään. Todistus oli myös yleinen, r lasketaan aina eikä vain silloin kun a b-c = 5. Lisäksi näkyy heti, kuinka turhaa käyty keskustelu kolmion "muodosta" ja kateettien pituuksista yllä olevassa keskustelussa oli.Todistus pätee kaikille suorakulmaisille kolmioille.
Koko kommenttisi on typeryydessään niin älytön että ei sitä voi käsittää kuin ilkeäksi purkaukseksi. Olenko tässä ketjussa tai joskus muulloin mahtanut tyrmätä jonkin ajatuksesi ja yrität nyt tässä vähätellä? Vai oletko tosiaan niin epämatemaattinen henkilkö ettei antamani todistuksen yksinkertaisuus ja yleisyys sinuun tosiaan uppoa?
Ja kun sanot että "kukin tavallaan" niin miksiköhän minä en mielestäsi saisi esittää todistusta omalla tavallani? Samaa todistusta ei ketjussa ole.
Joten sinulla tässä nyt taisi olla jotain vaivaa!
Ohman
.
vedäs nyt vähän henkeä välillä.
Todistuksesi on esitetty jo ketjun alussa ja keskustelu on pyörinyt lähinnä miten kuvaamasi janat voidaan todeta yhtä suuriksi, mitään uutta , poikkeavaa tai muille ylivoimaisia ymmärrysvaikeuksia aiheuttavaa et toki esittänyt, luuloistasi huolimatta.
Kukin tavallaan !
En nyt näe ketjun alussa tällaista todistusta. 1. todistus viittasi neljään suorakulmaiseen kolmioon ja Pythagoraan lauseeseen.
Yleinenkaava mainitsi tulokseni ilman todistusta.
Joten kerrotko, missä kohtaa "ketjun alussa " tämä nyt antamani todistus esiintyy? Kun minä en löytänyt kuin erilaisia vähän monimutkaisempia menetelmiä sisältäviä ratkaisuja.
Kun ympyrälle piirretään jostain sen ulkopuolella olevasta pisteestä tangentit niin etäisyydet tuosta pisteestä sivuamispisteisiin ovat samat eikä tämän todistamiseen tarvita Pythagoraan lausetta, pelkkä kolmioiden yhteneväisyys riittää.Ja tämä on niin itsestään selvä alkeisgeometrian tulos ettei se nyt erikseen kaipaa vielä todistusta.
Minulla ei ollut mitään "luuloja", esitin vain yksinkertaisen ratkaisun. Tosin omasssa mielessäni hiukan ihmettelin miksi tätä simppeliä tehtävää pyöriteltiin niin monessa kommentissa.Enkä pyrkinyt esittämään "ylimääräisiä ymmärrysvaikeuksia"aiheuttavaa vaan pikemminkin jotain niin yksinkertaista että jopa..., no olkoon.
Ohman
Ketjun toisessa viestissä (sen linkissä) on osoitettu Pythagotaan avulla esittämäsi kaava että a b-c=2r.
Olen samaa mieltä että jatkokeskustelu siitä, miten kaava voidaan todistaa oikeaksi muillakin tavoilla, on turhaa.
Yhtä turhaa on esitelmääsi asiasta jonka olisit voinut todeta jo esitetyksi vain vaivautumalla lukemaan muidenkin vastauksia.
Mutta : Kukin tavallaan !
Mutta kun minä en tarvinnut Pythagorasta. Sehän tässä on asian ydin, juttu on yksinkertaisempi ilman P:sta.
Todistukseni oli siis erilainen ja yksinkertaisempi. Eikö sellaista muka saa esittää vaikka näköjään sallit kommentoimatta kaikenlaiset kehitelmät mitä tässkin ketjussa on esitetty.
Eipä tosiaan kannata tätä jatkaa.
Ohman
Planimetri, alun perin mekaaninen laite, jolla mitattiin alueen pituutta, ja näytti asteikolta pinta-alalukeman, siis integraalin arvon. Nykyään planimetrejä on myös digitaalisia.
http://qrobe.it/search/?q=planimetri
http://qrobe.it/search/?q=planimeter