Nopeus ja työ

Kun ei jotain hahmotu kannattaa yleensä aloittaa piirtämällä tilanteesta kuva/kuvaaja(t).
Tällä kertaa ehkäpä kaksikin kuvaajaa. Toiseen akseleiksi F ja X, ja toiseen F ja Y.
Työn saat kätevästi kuvaajista laskemalla käyrien alle jäävät pinta-alat. Mikäli integrointi kuuluu jo osaamisalueisiin kannattaa käyttää määrättyä sellaista ko pinta-alojen laskemiseen. Lopuksi siis lasket kumpaankiin kuvaajaan liittyvät työt yhteen, koska komponentteina laskeminen lienee sinulle helpompaa, kun tehtävä kerran tuntuu vaikealta.
Jos ei tuntuisi voisi tietysti suoraan käyttää vektorialgebraa, jopa ilman mitään kuvaajia.

b) kohta lasketaan sillä oletuksella, että kaikki tehty työ päätyy liike-energiaksi. Ja ratkaistaan saadusta yhtälöstä vauhti. Tämän jälkeen ratkaistaan nopeusvektori sidotun liikeradan ja vauhdin avulla. Vektorin suunnan on siis oltava sinne minne annettu liikarata määrää sen ja nopeusvektorin itseisarvo = vauhti.

Käyrä C on käyrä y = 3 x^2 eli käyrä R(x) = x i 3 x^2 j. F = (2x 1) i 3 j
W = Int (käyrää C pitkin (0,0) -> (1,3)) (F,dR) (a,b) on a:n ja b:n sisätulo (pistetulo).
dR = i 6 x j. (F,dR) = 2x 1 18 x = 20 x 1.

W = Int (0,1) (20 x 1) dx = Sij(0,1) (10 x^2 x) = 11 (Nm).

Itse asiassa on grad x F = 0 joten alueessa ( 0 <= x <= 1) x (0 <= y <= 3) on tuo integraali integroimistiestä riippumaton.Jos se otetaan käyrää y = 3 x eli R(x) = x i 3x j pitkin, saadaan
dR = i 3 j ja (F,dR) = 2x 1 9 = 2x 10 joten

W = Int(0,1) (2x 10)dx = Sij(0,1) (x^2 10 x) = 11.

Voidaan myös integroida pitkin polkua, joka ensin kulkee pitkin x-akseli nollasta yhteen ja sitten y-akselin suuntaisesti nollasta kolmeen. 1. pätkällä R(x) = x i ja toisella pätkällä R(y) =y j.
W = Int(0,1) (2x 1) dx Int(0,3) (3 dy) = 2 9 = 11.

Nämä kaksi viimeistä nyt vain lisähuomioina.

W = 1/2 m v^2 joten l v l = sqrt(2 W / m) = sqrt (22/5,5) = 2 (m/s).Tämä siis pisteessä P

l dR/dx l = sqrt(1 36 x^2)) joten käyrän C yksikkötangenttivektori on t(x) = 1/sqrt(1 36 x^2) i 6x /sqrt(1 36 x^2) j .Pisteessä P siis t(P) = 1/sqrt(37) i 6/sqrt(37) j ja kappaleen nopeusvektori pisteessä P on

V(P) = 2 t(P) = 2/sqrt(37) i 12/sqrt(37) j
l V(P) l =sqrt( 4/37 144/37) = sqrt(148/37) = 2 kuten pitääkin.

Ohman

Tällaisen työn laskeminen on perusesimerkki viivaintegraalista.

Tuo käyrä pitää ensin parametrisoida:

x=t
y=3t^2 , jolloin S(vektori)=ti 3t^2j, ja ds(vektori)=(i 6tj)dt

F(vektori)=(2t 1)i 3j

Työ W = viivaintegraali(F•ds)= viivaintegraali(2t 1 18t)dt

Vielä pitää katsoa integroimisrajat. Koska t=x, niin rajat ovat samat kuin x:n rajat, eli 0....1

W= integraali 0......1 (2t 1 18t)dt= sijoitus 0.....1(t^2 t 9t)=11

Kiitoksia kaikille vastanneille, kaikki auttoi, kuvaajan piirtäminen helpotti kummasti. Lisäkysymyksinä:

jos määritän voimaa vastaavan skalaaripotentiaalin U(x,y), niin riittääkö siihen jos kirjoitan F = delta U ?

jos tehty työ W pitäisi määrittää potentiaalienergian muutoksen perusteella, miten se tehtäisiin?

Siitä, että grad x F = 0 seuraa, että on olemassa skalaaripotentiaali U ja F = - grad U. Fysiikassa usein tuo miinusmerkki otetaan mukaan.

Kuten kommentissani mainitsin, alueessa missä tietyt ehdot täyttyvät, on tällöin voiman F tekemä työ jotain käyrää pitkin pisteestä A pisteeseen B siirryttäessä tuosta käyrästä riippumaton ja riippuu vain päätepisteistä A ja B. W (A -> B) = U(A) - U(B) sillä Int(A -> B ) (- grad U, dR) = -Int(A -> B) (dU) = U)A) - U(B).Tämä järjestys johtuu siis tuosta merkkivalinnasta F = - grad U.

Koska grad U = grad (U C) jos C on vakiovektori niin nähdään että U on määritelty vakiota C vaille. Mutta potentiaalero U(A) - U(B) on C-vektorista riippumaton, absoluuttinen suure.

Esim. gravitaatio. Maapallon keskipiste on origo. Jos otetaan U(0) = 0 niin on otettava U(R) > 0 kun lRl > 0 ja U(ääretön) =ääretön. Joskus otetaan toisin, U(ääretön) = 0 ja U(R) < 0 muualla. Potentiaalienergian pitää kasvaa kun lRl kasvaa.
R on x i y j z k. (täässä k on tuo tuttu kantavektori eikätuo seuraavassa mainitsemani vakio k).

Gravitaatiovoima /yksikkömassa = F = - k/r^2 R^0, missä k = GM, M = maapallon massa, G Newtonin gravitaatiovakio, r =l R l ja R^0 = R/r =R:n suuntainen yksikkövektori.

Potentiaali U = - k/r ja gravitaatiovoima siis F = - grad U = grad(k/r) = k grad (1/r).
grad (1/r) = grad(r^(-1)) = -1 * r^(-2) grad r = - 1/r^2 R^0, sillä
grad r = grad(sqrt(x^2 y^2 z^2) = x/r i y/r j z/r k =1/r R = R^0.

F = - grad U = k grad (1/r) = - k/r^2 R^0 kuten pitääkin..

Jos r(B) < r(A) on gravitaation suorittama työ kun yksikkömassa putoaa A:sta B:hen = W(A ->B) = Int(A,B) (F,dR) = Int A,B) (- grad U, dR) = IntA,B)) (- dU) = U(A) - U(B).

Kun yksikkömassa nostetaan gravitaatiokentässä B:stä A:han on W(B -> A) = U(A) - U(B).Tämä on siis gravitaatiota vastaan tehty työ, lisäksi kappale voi tietysti saada liike-energiaaT.ässä nyt voima on gravitaatiolle vastakkainen ja liikutaan suuntaan B -> A.

Työ W ovat siis riippumaton siitä polusta mikä yhdistää A:n ja B:n ja riippuu vain päätepisteistä A ja B.

Ohman