Meillä on ympyrän muotoinen tikkataulu, jonka säde on 1. Heitosta saatava tulos määräytyy tikan etäisyydestä keskipisteestä ja on väliltä [0, 1] (ulkoreuna=0, keskipiste=1). Pistetulos on siis jatkuva. Oletetaan, että Pelaaja osuu varmasti tauluun ja hän on sen verran hyvä heittäjä, että itseasiassa jokainen pistetulos väliltä [0, 1] on yhtä todennäköinen, ts. pistetulos on tasajakautunut välillä [0, 1] (ks. Huom).
Pelaaja heittää tikkaa niin kauan kunnes heittojen yhteenlaskettu tulos on vähintään 1. Mikä on odotusarvo heittojen määrälle?
-----------------
(Huom, jos itse kaksiulotteinen heitto olisi tasajakautunut ympyrään, niin pistetulos ei olisi tasajakautunut vaan pienemmät tulokset olisivat todennäköisempiä (pdf taitaisi olla 2-2x, x∈[0, 1]). Oletus pelaajan heittotaidosta, joka "korjaa" heittotuloksen tasajakautuneeksi helpottaa laskuja. Saa toki miettiä myös tätä tapausta ja miksei muunkinlaisia jakaumia pistetulokselle.)
Pelaaja heittää tikkaa niin kauan kunnes heittojen yhteenlaskettu tulos on vähintään 1. Mikä on odotusarvo heittojen määrälle?
-----------------
(Huom, jos itse kaksiulotteinen heitto olisi tasajakautunut ympyrään, niin pistetulos ei olisi tasajakautunut vaan pienemmät tulokset olisivat todennäköisempiä (pdf taitaisi olla 2-2x, x∈[0, 1]). Oletus pelaajan heittotaidosta, joka "korjaa" heittotuloksen tasajakautuneeksi helpottaa laskuja. Saa toki miettiä myös tätä tapausta ja miksei muunkinlaisia jakaumia pistetulokselle.)
Vastaukset 14
Vanhimmat
Tämä on aika mukava tehtävä ja ratkaisu erittäin sievä :-). Netistä löytyy ratkaisuja mutta kannattaa kokeilla itse.
Oma ratkaisuni, joka on kenties hieman erikoinen ja siinä on ehkä yksi epätarkkuus mutta oikeaan vastaukseen se kuitenkin päätyy:
http://aijaa.com/pcFXlI
Jos minä heitän tikkaa, ei minulla ole siinä mitään odotusarvoa.
No sinullahan erikoinen taulu on. Siinä täytyy olla rajoittamattomattomia pistearvoja, jotta odotusarvoa ei ole olemassa (jotta se ei suppene).
Tai no, helppohan se on sopia, että (keskipisteestä saa äärettömän ja) pisteluku kasvaa tarpeeksi nopeasti lähestyttäessä keskipistettä, jolloin odotusarvon integraali ei suppene.
Jos+heittää+viisi+heittoa,+niin+99+%+varmuudella+summa+>+1.
Totta. Tn on 0.99166666....
En ymmärtänyt tehtävää.
"Heitosta saatava tulos määräytyy tikan etäisyydestä keskipisteestä ja on väliltä [0, 1] (ulkoreuna=0, keskipiste=1)."
Siis jos heitän keskipisteeseen, niin etäisyys keskipisteestä on 0 mutta kuitenkin keskipiste=1? Jos heitän reunaan, niin etäisyys keskipisteestä on 1. Eli pitäisi tähdätä lähelle reunaa, jolloin pistemäärä maksimoituu. Onko tämä oikein vai onko kyseessa kuitenkin, että pistemäärä on sama kuin pisteen lyhin etäisyys tikkataulun kehältä, jolloin pistemäärä on sitä suurempi mitä lähemmäksi keskipistettä heittää?
Pistemäärä on 1 - tikan etäisyys keskipisteestä.
Joo, ehkä vähän huonosti sanottu tuo "määräytyy". Kyllähän se siitä määräytyy mutta ei ole suoraan se etäisyys vaan juurikin tuo 1-etäisyys. Voitaisiin myös sopia taulun ulkopuolelle osuville pistemääräksi nolla, niin kuin on tavallista, mutta oletettiin, että pelaaja osuu aina tauluun todennäköisyydellä yksi.
Lisäoletus pelaajan osumistodennäköisyydestä, joka on sellainen, että pistemäärä on tasajakautunut (eli luultavasti pdf:ltään 1/(2-2x), x∈(0, 1] ) voidaan korvata, sillä että taulu onkin yksiulotteinen (pistemäärä määräytyy vain poikkeamasta esim. sivusuunnassa).
Jos tuo tarinantyngäksi keksimäni tikkatauluhommeli hämää, niin tehtävähän pohjimmiltaan on vain seuraava:
Kuinka monta riippumatonta [0, 1]-tasajakautunutta satunnaismuuttujaa täytyy odotusarvoisesti summata, jotta summa on yli 1.
Lisätehtävä: Mikä on viimeisen heitetyn tikan pistetuloksen odotusarvo? Viimeinen tikka on siis se jolla mennään kokonaispisteissä yli ykkösen.
Onnistuin tämänkin ratkaisemaan samalla menetelmällä (Markovin ketjut, joihin olen nyt jostain syystä tykästynyt että koitan niillä ratkaista kaikki tehtävät ja näyttäähän nuo toimivan :)). Tuli kyllä aika pitkät laskut. Osaa kaavoista en perustellut kun olin huomannut ne kokeilemalla (esim. esiintyvän matriisin B=RN alkioiden kaava mutta taitaisi se geometrisella summalla tulla myös todistettua). Koska tästäkin tuli oikea vastaus, luotan että ne on suurinpiirtein oikein. Vaikkakin, siinä on raja-arvon otto joten jotkut virheet saattavat kadota siinä :D).
Täällä siis ratkaisuni:
http://aijaa.com/DlJZTq
Sama kuin se ensimmäinen osuma
Leikitkö fiksua fyssapalstalla?
Ai matikkapalstahan tämä olikin, sitä suuremmalla syyllä kysyn
Laitetaan nyt täydellisyyden vuoksi tähän vielä "perus"-ratkaisu.
Olkoon X = "heittojen määrä". Käytetään E[X]:n laskemiseksi yleistää kikkaa, jolla voi laskea arvoja 0,1,2,3... ottavan satunnaismuuttujan odotusarvon:
E[X] = summa_{k=0}^\infty P(X>k)
(Tämä tulee siitä, että kyseisessä summassa on termi P(X=m) m kertaa.)
Merkitään heitolla i saatavaa pistetulosta H_i ja olkoon S_n = H_1 ... H_n.
Todennäköisyys P(X>k) = P(S_k < 1), joka saadaan integraalina (tai k-simpleksin mittana)
\int_0^1 \int_0^{1-x_1} ... \int_0^{1-x_1-x_2-...-x_{k-1}} 1 dx_n....dx_1
= 1/k!
Siis E[X] = summa_{k=0}^\infty 1/k! = e.
Osaisiko joku selittää tällaisella vastaavalla tavalla laskettuna lisäkysymyksen ratkaisun. Olen katsonut sen todistusta netistä, mutta en oikein ymmärtänyt sitä.
Esim. täältä olen katsonut:
https://mindyourdecisions.com/blog/2014/04/07/monday-puzzle-the-straw-that-broke-the-camels-back/
Erityisesti tuo kohta "So our expression is the following...." ihmetyttää. Miten päätellään että noin saadaan X:n pdf?
No, tulos normaalijautuu tuon ensimmäisen heiton ympärille.
Please, älkää pakottako kirjoittamaan yhtälöä tänne. Minun Unicodeni ovat hakusessa
Siis tyyliin: z ~ exp -(x^2 y^2)
Kaikki binaarinen satunnaisuus menee samalla tavalla.
Ns. Kellokäyrä