Nonniin nyt on taas tämmöinen tiistai-illan tänka på. Eli seuraavaan tehtäcään apua, kiitos: Osoita, että epöyhtälö (1-x)^6>1-6x on aina tosi. Todennäköisesti helpohko tehtävä, mutta jokin nyt mättää. Ja ainiin tuo >-merkki on oikeasti yhtäsuuri tai suurempi kuin, muttei könnykästä kyseistä merkkiä löytynyt.
Epäyhtälö apua
Jummijammi223
151468
0Äänestä
Muut lukivat myös
Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastainen viesti.
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 15
Vanhimmat
Sagella+tämä+on+helppoa.
Hmm. Palsta ei näköjään tue sisennyksiä. Ne ovat samat kuin osoitteessa https://ask.sagemath.org/question/10062/polynomials-as-a-sum-of-squares/
Vaikka näin: (1-x)^6-(1-6x)=x^2((x-2)^4 2(x-2)^3 3(x-2)^2 3).
En huomannutkaan, että tuossa oli kolmas potenssi. Mutta tämäkään ei ole ongelma: (x-2)^4 2(x-2)^3 3(x-2)^2 3>(x-2)^4 2(x-2)^3 3(x-2)^2=(x-2)^2((x-2)^2 2(x-2) 3)>(x-2)^2((x-2) 1)^2.
Toinen tapa kirjoittaa, jossa tulee vain parillisia potensseja:
x^2( (x-2)^2 ( (x-1)^2 2 ) 3 )
Mihinkähän kurssiin tuo liittyy? Voi tuon ratkaista esim derivaatan avulla. Ensin todetaan, että kun x>1/6, vasen puoli >0 ja oikea puoli <0, joten pätee. Jos x=0, pätee yhtäsuuruus. Jos x<0, vasemmassa puolessa on potenssi kehitettynä samoja termejä kuin oikeassa ja lisäksi >0 termejä joten pätee. Jäljelle jää siis väli 0-1/6. Derivoimalla saadaan vasemmasta puolesta -6*(1-x)*5 ja oikeasta puolesta -6. Siis tuolla välillä vasemman puolen derivaatta - oikean puolen derivaatta >0, mistä päätelään, että relaatio pätee.
Ehdottaisin, että merkitsemme 1-x=t, ts. x=1-t.
Nyt
(1-x)^6-(1-6x) = t^6-(1-6(1-t)) = t^6-6t 5.
Kun x käy läpi kaikki reaaliluvut, niin samoin tekee t ja päinvastoin. Lauseke t^6-6t 5 käy siis läpi samat arvot kuin tarkasteltava lauseke.
Helposti todetaan, että lausekkeen t^6-6t 5 derivaatta luvun t suhteen on 6(t^5-1), se saa arvon nolla, kun t=1, on pienempi kuin nolla, kun t<1 ja suurempi kuin nolla kun t>1. Lauseke saa siten miniminsä, kun t=1, ja tämän minimin arvo on 0. Tästä väite seuraa.
Annettu epäyhtälö on yhtäpitävä sen kanssa, että f(x) = (1-x)^6 6x - 1 >= 0.
f'(x) = - 6 (1-x)^5 6 = 0 sjvs kun x=0. Piste x= 0 on tämän funktion ainut kriittinen piste .
f''(x) = 30(1-x)^4 joten f''(0) > 0. Kyseessä on funktion globaali minimi ja f(0) = 0.
Veikkaan vahvasti kysesddö olevan derivaattakurssija ratkaisu lukiotyyliin:
(1-x)^6>=1-6x
(1-x)^6 6x - 1 >= 0
Olkoon funktko f(x) = (1-x)^6 6x - 1
Tutkitaan funktiota.
f'(x) = 6 * -1 * (1-x)^5 6 = 6 (x-1)^5 6
Derivaatan nollakohdat:
6 (x-1)^5 = - 6
(x-1)^5 = -1 vain ja ainoastaan kun x=0
Tutkitaan f:n kulkua. Positiivisilla luvuilla esim. f '(1) =6 >0 ja f (-1) = -186 <0. (Kulkukaavio)
Siis funktion minimi on kohdassa x=0. Tämä tarkoittaa, että funktio saa vain positiivisia arvoja,
Ts. f (x) > 0
(1-x)^6 6x - 1 >= 0
(1-x)^6>= 1-6x
Siis väite.
Mietin lisähaastetta: Esitä polynomi (1-x)^6-1 6x kahden polynomin neliöiden summana. Tällainen on mahdollista sivun https://en.wikipedia.org/wiki/Positive_polynomial mukaan. En osannut ratkoa tätä koneellani enkä käsin. Onkohan kertoimilla edes suljettua muotoa?
Etsityt polynomit voisivat olla vaikkapa muotoa
p_1(x) = x(x^2-3x-(b^2-6)/2) ja
p_2(x) = x(bx-3b/2-1/b), missä b on yhtälön
b^6-3b^4-12b^2 4=0
jokin reaalinen juuri.
Tuolle (oleellisesti kolmannen asteen) yhtälölle löytyy reaalisia ratkaisuja, jotka voidaan esittää suljetussa muodossa.
(-x^2 3x-0.41449)^2 (3.85074-2.273988x)^2=0, tuon kun vielä kertoo x^2:lla , niin tulee aika helposti ainakin sellainen, jossa on pelkkiä toisia potensseja. Ei se tosin se haettu ole...
kerrottuna tossa:
(-x^3 3x^2-0.41449x)^2 (3.85074x-2.273988x^2)^2=0
tarkka:
(-x^3 3x^2-Cx)^2 (-sqrt(6 2C)x^2 sqrt(15-C^2)x)^2=0 , C=sqrt(5)*cos(1/3atan(2))-5/2
Kommentoi
Myönnän kyllä, että tuo C:n lauseke on otettu Wolframin avustuksella, mutta nyttemmin olen laskenut sitä ihan itse nettisivujen avustuksella. Matematiikka Solmun trigonometrisella kaavoilla en pässyt ratkaisuun, mutta sitten jossain sivulla neuvottiin kuinka Moivren kaavaa käytetään kompleksilukujen kuutiojuurien laskemisessa.
Nyt päädyin tähän: https://www.wolframalpha.com/input/?i=2(5/(4*sin(acos(1/sqrt5))))^(1/3)*cos(acos(1/sqrt5)/3)-2.5
Se ei varmaankaan kokonaan näy, jos ollenkaan, mutta lopputulos on kuitenkin sama.