Epäyhtälö apua

Sagella tämä on helppoa.

R = AA[x]

def is_positive(P):
r"""
Kertoo onko polynomi P määritelty yli reaalisen algebrallisen kunnan kaikkialla positiivinen.
"""
if P.parent() != R:
P = P.change_ring(AA)
LC = P.leading_coefficient()
if LC < 0:
return False
for i in P.roots():
if i[1] % 2 != 0:
return False
return True

P = R((1-x)^6-1 6*x)
is_positive(P)

Palauttaa True

Vaikka näin: (1-x)^6-(1-6x)=x^2((x-2)^4 2(x-2)^3 3(x-2)^2 3).

Mihinkähän kurssiin tuo liittyy? Voi tuon ratkaista esim derivaatan avulla. Ensin todetaan, että kun x>1/6, vasen puoli >0 ja oikea puoli <0, joten pätee. Jos x=0, pätee yhtäsuuruus. Jos x<0, vasemmassa puolessa on potenssi kehitettynä samoja termejä kuin oikeassa ja lisäksi >0 termejä joten pätee. Jäljelle jää siis väli 0-1/6. Derivoimalla saadaan vasemmasta puolesta -6*(1-x)*5 ja oikeasta puolesta -6. Siis tuolla välillä vasemman puolen derivaatta - oikean puolen derivaatta >0, mistä päätelään, että relaatio pätee.

Ehdottaisin, että merkitsemme 1-x=t, ts. x=1-t.
Nyt
(1-x)^6-(1-6x) = t^6-(1-6(1-t)) = t^6-6t 5.

Kun x käy läpi kaikki reaaliluvut, niin samoin tekee t ja päinvastoin. Lauseke t^6-6t 5 käy siis läpi samat arvot kuin tarkasteltava lauseke.

Helposti todetaan, että lausekkeen t^6-6t 5 derivaatta luvun t suhteen on 6(t^5-1), se saa arvon nolla, kun t=1, on pienempi kuin nolla, kun t<1 ja suurempi kuin nolla kun t>1. Lauseke saa siten miniminsä, kun t=1, ja tämän minimin arvo on 0. Tästä väite seuraa.

Veikkaan vahvasti kysesddö olevan derivaattakurssija ratkaisu lukiotyyliin:

(1-x)^6>=1-6x
(1-x)^6 6x - 1 >= 0
Olkoon funktko f(x) = (1-x)^6 6x - 1
Tutkitaan funktiota.
f'(x) = 6 * -1 * (1-x)^5 6 = 6 (x-1)^5 6
Derivaatan nollakohdat:
6 (x-1)^5 = - 6
(x-1)^5 = -1 vain ja ainoastaan kun x=0

Tutkitaan f:n kulkua. Positiivisilla luvuilla esim. f '(1) =6 >0 ja f (-1) = -186 <0. (Kulkukaavio)
Siis funktion minimi on kohdassa x=0. Tämä tarkoittaa, että funktio saa vain positiivisia arvoja,

Ts. f (x) > 0
(1-x)^6 6x - 1 >= 0
(1-x)^6>= 1-6x
Siis väite.

Mietin lisähaastetta: Esitä polynomi (1-x)^6-1 6x kahden polynomin neliöiden summana. Tällainen on mahdollista sivun https://en.wikipedia.org/wiki/Positive_polynomial mukaan. En osannut ratkoa tätä koneellani enkä käsin. Onkohan kertoimilla edes suljettua muotoa?