Osaako joku selittää ortogonaalisuutta?

Wikipediasta löytyy tietoa sille, joka osaa alkeet. Minä en osaa:

https://fi.wikipedia.org/wiki/Ortogonaalinen_matriisi

Ja Googlaamalla vaikka kuinka paljon: https://www.google.fi/search?newwindow=1&biw=1764&bih=1166&ei=MIumWqbCEY-LmwXRsKfoDQ&q=ortogonaalisuus&oq=ortogonaalisuus&gs_l=psy-ab.3..0j0i5i30k1.4052871.4052871.0.4056599.1.1.0.0.0.0.120.120.0j1.1.0....0...1c.1.64.psy-ab..0.1.120....0.KdqZyoGrnM8

Ensinnäkin pohjalla pitää olla vektoriavaruus, jossa on määritelty sisätulo. Esimerkiksi R^n ja pistetulo.

Kaksi vektoria ovat ortogonaaliset, jos niiden sisätulo on 0.

Ortogonaalinen matriisi tarkoittaa matriisia, jonka sarakkeiden (tulkittuna vektoreiksi) väliset sisätulot ovat 0.
Lisähuomio: ortonormaali matriisi vaatii lisäksi että joka sarakkeen pituus on 1. Pituuden neliöhän tulee sisätuloavaruudessa vektorin sisätulosta itsensä kanssa. Siten ortonormaalius voidaan sanoa myös näin: matriisin transpoosi on sen käänteismatriisi. (Huomaa, jos kompleksiluvut on mukana kuvioissa, niin pitää ottaa myös kompleksi konjugaatti, sillä tällöin sisätulossa on myös tämä konjugointi mukana toisessa vektorissa).

Sitten ortogonaaliuden määritelmään funktioille.
Funktiot muodostavat vektoriavaruuden. Tänne voidaan ottaa sisätulo (tulon integraali yli määrittelyjoukon), kun rajoitutaan sopiviin funktioihin (toisen potenssin integraali oltava äärellistä), ns. L^2 avaruus. (Taas, jos funktiot ovat kompleksiarvoisia, niin sisätuloon pitää toiseen funktioon laittaa integraalin sisällä kompleksi konjugointi.)

En nyt tiedä osaanko sisintä olemusta selittää ainakaan paremmin kuin mitä googlamallakin löytyy, mutta tämä nyt ainakin että matriisin ortogonaalisuudesta puhuttaessa on vain yksi matriisi ja sitten yleisesti kaksi vektoria (joita funkiotkin siis ovat omassa avaruudessaan), kun puhutaan niiden keskenäisestä ortogonaaliudesta. Huom. matriisitkin muodostavat vektoriavaruuden R^{n*m}, joten myös ne voivat olla tällä jälkimmäisellä tavallakin ortogonaalisia.

Joskus saattaa matemaatikolle olla vaikeaa sanoa matematiikan ulkopuolisella tavalla ('kielellä'), mitä jokin termi tarkoittaa. Minusta orto on yhtäkuin kohti- tai suora-, ja gooni=kulma.
Tarkoittaa yksinkertaisesti ominaisuutta, mikä tavallisilla x-,y- (,z-...) -koordinaatistoilla analyyttisessä geometriassa ja vektorialgebrassa ns.luontaisesti on: akselit kohtisuorassa toisiaan vastaan. Ja muodostavat siten vektorisysteemin kannan. Periaatteessa kantavektorien ei tarvitsisi olla kohtisuorassa (vinollakin kulmalla syntyy kanta), mutta ortogonaalisuus helpottaa käytännön laskurutiineja kovasti.
Ja pistetulo on luonteeltaan apukäsite ('apupalikka'), jota ilmankin lienee matematiikan historiassa tultu toimeen. On vaan laskujen kautta yhtenään vastaantuleva kuvio (lausekkeitten osa, kaava), jolle on ollut käytännöllistä antaa sitten nimi. Mm.ortogonaalisissa genreissä (taidelajeissa;) voidaan käyttää kohtisuoruuden kriteerinä ja todistamisissa. Joku voisi miettiä onko pistetuloluvulle jokin geometrinen tulkinta, mille näkisi laskematta arvion esim.piirretystä kuviosta suoraan päältä, kuten esim.kahden vektorin määräämän suunnikkaan pinta-alan.
Koko (alkeistason) matriisilaskennan käyttökelpoisuus käsittääkseni perustuu paljon siihen, että lähtökohdaksi oletetaan nimenomaan suorakulmainen (ortogonaalinen) koordinaatisto (muuten kaavat ja teoriat olisivat kinkkisemmät;) esim.koordinaatiston kierto, peilaus, zoomaukset yms.
Tässä ei-matemaatikon tarinaa, korjatkaa jos jotain on väärässä.

Kiitokset kaikille vastaajille! Minulla oli hämärä käsitys, että ortogonaalisuus on jonkin sortin kohtisuoruutta. Kanootti3:lle sanoisin, että tässä vaiheessa vektorit ja matriisit ovat minulla reaalilukuarvoisia. Jos pääsen pitemmälle tässä asiassa, kysyn sitten lisäkysymyksiä.

Vektoreiden merkinnän kopioin jostakin verkkomateriaalista. Toivottavasti asia ymmärrettiin oikein.