Törmäsin erästä asiaa selvittäessäni termiin ortogonaalisuus (matriisi tai funktio). Itse olen suorittanut matematiikan kursseja yliopistolla viimeksi 1970-luvun lopulla, joten tiedot ja taidot ovat ruostuneet. Otsikkoa lainaten: osaako joku selittää kohtuullisen selvästi ja ymmärrettävästi ortogonaalisuuden (sisimmän) olemuksen?
Osaako joku selittää ortogonaalisuutta?
EnMuistaEnää
7
2629
Vastaukset
- Googlekalle
Wikipediasta löytyy tietoa sille, joka osaa alkeet. Minä en osaa:
https://fi.wikipedia.org/wiki/Ortogonaalinen_matriisi
Ja Googlaamalla vaikka kuinka paljon: https://www.google.fi/search?newwindow=1&biw=1764&bih=1166&ei=MIumWqbCEY-LmwXRsKfoDQ&q=ortogonaalisuus&oq=ortogonaalisuus&gs_l=psy-ab.3..0j0i5i30k1.4052871.4052871.0.4056599.1.1.0.0.0.0.120.120.0j1.1.0....0...1c.1.64.psy-ab..0.1.120....0.KdqZyoGrnM8 - Kanootti3
Ensinnäkin pohjalla pitää olla vektoriavaruus, jossa on määritelty sisätulo. Esimerkiksi R^n ja pistetulo.
Kaksi vektoria ovat ortogonaaliset, jos niiden sisätulo on 0.
Ortogonaalinen matriisi tarkoittaa matriisia, jonka sarakkeiden (tulkittuna vektoreiksi) väliset sisätulot ovat 0.
Lisähuomio: ortonormaali matriisi vaatii lisäksi että joka sarakkeen pituus on 1. Pituuden neliöhän tulee sisätuloavaruudessa vektorin sisätulosta itsensä kanssa. Siten ortonormaalius voidaan sanoa myös näin: matriisin transpoosi on sen käänteismatriisi. (Huomaa, jos kompleksiluvut on mukana kuvioissa, niin pitää ottaa myös kompleksi konjugaatti, sillä tällöin sisätulossa on myös tämä konjugointi mukana toisessa vektorissa).
Sitten ortogonaaliuden määritelmään funktioille.
Funktiot muodostavat vektoriavaruuden. Tänne voidaan ottaa sisätulo (tulon integraali yli määrittelyjoukon), kun rajoitutaan sopiviin funktioihin (toisen potenssin integraali oltava äärellistä), ns. L^2 avaruus. (Taas, jos funktiot ovat kompleksiarvoisia, niin sisätuloon pitää toiseen funktioon laittaa integraalin sisällä kompleksi konjugointi.)
En nyt tiedä osaanko sisintä olemusta selittää ainakaan paremmin kuin mitä googlamallakin löytyy, mutta tämä nyt ainakin että matriisin ortogonaalisuudesta puhuttaessa on vain yksi matriisi ja sitten yleisesti kaksi vektoria (joita funkiotkin siis ovat omassa avaruudessaan), kun puhutaan niiden keskenäisestä ortogonaaliudesta. Huom. matriisitkin muodostavat vektoriavaruuden R^{n*m}, joten myös ne voivat olla tällä jälkimmäisellä tavallakin ortogonaalisia.- Kanootti3
Jos tuo yo. vaikuttaa aivan kamalalta sotkulta, niin yritän selkiyttää (OG=ortogonaali).
Vektorit OG: sisätulo 0
OG-Matriisi: sarakkeet keskenään ortogonaalisia
Funktiot OG: ovat OG vektoreina (omassa sisätuloavaruudessaan)
Mutta sisätulo pitää olla määritelty. Funktiolla tämä haluttaisiin tehdä integraalilla, joten sen täytyy supeta. - EnMuistaEnää
> Ensinnäkin pohjalla pitää olla vektoriavaruus, jossa on määritelty sisätulo. Esimerkiksi R^n ja > pistetulo.
> Kaksi vektoria ovat ortogonaaliset, jos niiden sisätulo on 0.
> Ortogonaalinen matriisi tarkoittaa matriisia, jonka sarakkeiden (tulkittuna vektoreiksi) väliset > sisätulot ovat 0.
Jos on vektori (x1,y1) ja toinen vektori (x2,y2), miten niiden sisätulo lasketaan? Ortogonaalisesta matriisista minulla oli haun perusteella heikko havainto. Voitko selittää vielä vähän sarakkeiden välisistä sisätuloista? - Kanootti3
EnMuistaEnää kirjoitti:
> Ensinnäkin pohjalla pitää olla vektoriavaruus, jossa on määritelty sisätulo. Esimerkiksi R^n ja > pistetulo.
> Kaksi vektoria ovat ortogonaaliset, jos niiden sisätulo on 0.
> Ortogonaalinen matriisi tarkoittaa matriisia, jonka sarakkeiden (tulkittuna vektoreiksi) väliset > sisätulot ovat 0.
Jos on vektori (x1,y1) ja toinen vektori (x2,y2), miten niiden sisätulo lasketaan? Ortogonaalisesta matriisista minulla oli haun perusteella heikko havainto. Voitko selittää vielä vähän sarakkeiden välisistä sisätuloista?Avaruuden R^n vektoreiden (x1, y1) ja (x2, y2) välinen sisätulo on
x1*x2 y1*y2
eli vastaavin komponenttien tulojen summa.
Mikäli vektorit ovat kompleksi-vektoreita eli C^n:stä, niin sitten sisätulo määritellään
x1*konjugaatti(x2) y1*konjugaatti(y2).
Ortogonaalisesta matriisissa jokaisen sarakkeen pitää olla jokaisen muun sarakkeen kanssa ortogonaalinen. Eli ota eka sarake ja laske sen sisätulo tokan, kolmannen jne. kanssa. Näistä pitää tulla 0. Sitten toka sarake sisätulotetaan kolmannen, neljännen jne. Nollia pitää olla. Näin edelleen kaikki mahdolliset sarakeparit, joissa on kaksi eri saraketta, oltava OG.
Oletko sinun vektorit ja matriisit reaalilukuarvoisia vai onko kompleksiluvut käytössä?
(Muuten, minä kutsuisin vektoria x:ksi ja merkitsisin sen komponentteja x = (x1, x2).)
- IteTaiteilija
Joskus saattaa matemaatikolle olla vaikeaa sanoa matematiikan ulkopuolisella tavalla ('kielellä'), mitä jokin termi tarkoittaa. Minusta orto on yhtäkuin kohti- tai suora-, ja gooni=kulma.
Tarkoittaa yksinkertaisesti ominaisuutta, mikä tavallisilla x-,y- (,z-...) -koordinaatistoilla analyyttisessä geometriassa ja vektorialgebrassa ns.luontaisesti on: akselit kohtisuorassa toisiaan vastaan. Ja muodostavat siten vektorisysteemin kannan. Periaatteessa kantavektorien ei tarvitsisi olla kohtisuorassa (vinollakin kulmalla syntyy kanta), mutta ortogonaalisuus helpottaa käytännön laskurutiineja kovasti.
Ja pistetulo on luonteeltaan apukäsite ('apupalikka'), jota ilmankin lienee matematiikan historiassa tultu toimeen. On vaan laskujen kautta yhtenään vastaantuleva kuvio (lausekkeitten osa, kaava), jolle on ollut käytännöllistä antaa sitten nimi. Mm.ortogonaalisissa genreissä (taidelajeissa;) voidaan käyttää kohtisuoruuden kriteerinä ja todistamisissa. Joku voisi miettiä onko pistetuloluvulle jokin geometrinen tulkinta, mille näkisi laskematta arvion esim.piirretystä kuviosta suoraan päältä, kuten esim.kahden vektorin määräämän suunnikkaan pinta-alan.
Koko (alkeistason) matriisilaskennan käyttökelpoisuus käsittääkseni perustuu paljon siihen, että lähtökohdaksi oletetaan nimenomaan suorakulmainen (ortogonaalinen) koordinaatisto (muuten kaavat ja teoriat olisivat kinkkisemmät;) esim.koordinaatiston kierto, peilaus, zoomaukset yms.
Tässä ei-matemaatikon tarinaa, korjatkaa jos jotain on väärässä. - EnMuistaEnää
Kiitokset kaikille vastaajille! Minulla oli hämärä käsitys, että ortogonaalisuus on jonkin sortin kohtisuoruutta. Kanootti3:lle sanoisin, että tässä vaiheessa vektorit ja matriisit ovat minulla reaalilukuarvoisia. Jos pääsen pitemmälle tässä asiassa, kysyn sitten lisäkysymyksiä.
Vektoreiden merkinnän kopioin jostakin verkkomateriaalista. Toivottavasti asia ymmärrettiin oikein.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Lindtman I vasemmistohallitus aloittaa viimein Suomen kuntoon laittamisen
Tässä nyt on 3 vuotta seurattu irvokasta kärsimysnäytelmää nimeltään "valtion budjetin tasapainotus by äärioikeisto", ja1982747Missä viipyy persujen lupaama euron bensa?
En edes muista milloin bensapumpussa olisi ollut ykkösellä alkava litrahinta. Missä siis viipyy persujen lupaama euron b1582465Kirje, PellePelottomalle.
Tärkeää olisi luoda ystävyys, että se, jota rakastaa, on samalla paras ystävä ja luotettavin, jolle voi ja uskaltaa luot1061152- 64941
Martinan hevoset.
Tämä todella kaunis ja ketterä harmaa hevonen jolla monet kilpailut voitetaan ei ole Martinan.Tytär ratsastaa sillä tait246860Mistä löytyy naisseuraa sinkkumiehelle?
Kertokaapas kokeneemmat mistä löytyis naisseuraa sinkulle. Ihan ois eukko nyt tosissaan hakusessa. Tanssipaikat kun on a21853Voi teitä naisia
Suudeltiin ja nukuttiin toisissamme kiinni mutta pillua ei tullu, ei edes aamulla. t.38vmies93820Persut jakavat tekoälyllä tehtyjä kuvia maahanmuuttajista somessa
Eivät mainitse, että ovat tekoälyllä tehtyjä. Eivät näe asiassa mitään ongelmaa. Valehtelijapuolue taas vauhdissa. Unka290811Hyvä meininki
TTP:ssa väkeä tosi runsaasti paikalla. Hyvää ruokaa jälleen ja munkit ja sima erinomaista. Kiitos yrittäjälle! Hieno Vap22738Onneksi tapasin sut
Ilman sua olisin jatkanut pään lyömistä seinään eli samanlaisten miesten etsimistä. Tajusin, mikä menee pieleen vasta ku93719