Ikivanha tenttikysymys. Kysymys nro 3.
http://hiukkanen.cc.tut.fi/tentti_upload/tentit/FYS-1400_17032008.pdf
Kysytään pallon taitekerrointa. Tässä ei varmaankaan voi käyttää ohuen linssin kaavoja ts. 1/f=1/a 1/b, koska pallo ei missään nimessä ole ohut linssi. Meneekö tehtävä yksinkertaisella geometrialla.
Ajattelin siten, että tuleva valo taittuu snellin lakien mukaan ja taitekohdan kulman mitataan ympyrän tangentin suuntaisesti joka on kohtisuorassa tietysti ympyrän sädettä vasten (perusgeometriaa). Tämän jälkeen jälleen taittunut valo osuu seinämään ja heijastuu samassa kulmassa kuin se muodostaa ympyrän säteen kanssa ja jälleen ulosmenokohdassa snellin laki.
Valo ei mitenkään kyllä palaa samaan suuntaan kuin alkuperäinen mutta valosädekimppu tietysti kokonaisuutena voi palata.
Mutta en pääse eteenpäin eli apuja.
http://hiukkanen.cc.tut.fi/tentti_upload/tentit/FYS-1400_17032008.pdf
Kysytään pallon taitekerrointa. Tässä ei varmaankaan voi käyttää ohuen linssin kaavoja ts. 1/f=1/a 1/b, koska pallo ei missään nimessä ole ohut linssi. Meneekö tehtävä yksinkertaisella geometrialla.
Ajattelin siten, että tuleva valo taittuu snellin lakien mukaan ja taitekohdan kulman mitataan ympyrän tangentin suuntaisesti joka on kohtisuorassa tietysti ympyrän sädettä vasten (perusgeometriaa). Tämän jälkeen jälleen taittunut valo osuu seinämään ja heijastuu samassa kulmassa kuin se muodostaa ympyrän säteen kanssa ja jälleen ulosmenokohdassa snellin laki.
Valo ei mitenkään kyllä palaa samaan suuntaan kuin alkuperäinen mutta valosädekimppu tietysti kokonaisuutena voi palata.
Mutta en pääse eteenpäin eli apuja.
Vastaukset 11
Vanhimmat
Palloon keskeisesti osuva valo heijastuu tietenkin suoraan takaisinpäin, sillä keskikohdassa pallon pinta on paikallisesti kohtisuorassa sädettä vastaan.
Hieman keskikohdan alapuolelle tulevan valon on taituttava niin, että se osuu takaseinään samaan kohtaan kuin suoraan keskelle tuleva valo. Tällöin se symmetrian vuoksi heijastuessaan palaa takaisin säteen yläosassa. Yläosan valolle sama sääntö. Paraksiaalinen tarkoittaa sitä, että kulmat ovat pieniä eli tarkastellaan tapahtumia vain keskiakselin lähellä missä likimain pätee sin(x)=tan(x)=x
Eli jos piirretään kuva tapahtumasta niin saapuvan valon kulma a (ympyrän säteen suhteen) on samalla ympyrän kaareen (alkupisteenä halkaisijalla oleva piste ja loppupisteenä valon osumiskohta) liittyvä keskuskulma a. Ja kun pallon sisällä valo osuu halkaisijan toiseen päätepisteeseen kulmassa b niin se on samalla tuon saman kaaren kehäkulma b. Kulma b on myös taittumiskulma koska se on kuvassa tasakylkisen kolmion (sivut R) toinen kantakulma toisen ollessa tuo kehäkulma b.
Geometriasta tiedetään nyt että keskuskulma on 2 x kehäkulma eli a=2b.
Paraksiaalisuudesta tiedetään että sin a=a ja sin b=b koska kulmat pieniä.
Nyt Snellin lain mukaan
1 x sin a = n x sin b
eli n = sin a / sin b =(likimain) a / b = 2b / b =2. Eli kysytty taittumisvakio n=2.
Ja homma ei toimi sitten jos valo osuu vähänkään ylemmäksi pallossa esim. lähes pallon yläreunaan.
Menikö oikein.
Kakkonen kuullostaa oikealta, ainakin wikipediassa lyhytosoitteessa urly piste fi kautta 113q
Optimaalisessa kissansilmä - heijastimessa pitää siis olla palloa ympäröivän aineen taitekerroin lisättynä ykkösellä
Itse sain sina/sinb=1/SQRT(2*(1 cosa)). Tuo siis pätee yleisesti. En muistanut mitä tuo termi paraksiaalinen tarkoittaa, joten jäin ihmettelemään, ettei tuo ole vakio, kuten tehtävässä kysyttiin. Varsinkin kun kuva oli piirretty melko suurelle kulmalle ja pallon ollessa kyseessä vain pienelle osalle pinta-alasta paraksiaalinen oletus on pätevä.
Paraksiaalinen varmasti myös tarkoittaa, että cosa=1 eli suhteeksi tulee tuossakin 2. 90 asteen kulmalla sitten tulee SQRT(2). Miten tuo energia-arvio menee? Ei enää muistu optiikka tuolta osin.
Jokaisessa taittumistilanteessa osa valosta jatkaa pinnan läpi ja osa heijastuu. Heijastus- ja transmissiokertoimet riippuvat taitekertoimista.
Lasket kuinka suuri osa valosta pääsee palloon etupinnan kohdalta ja takapinnan täydellisestä heijastimesta heijastuttuaan pääsee uudelleen ulos pallosta tullessaan etupintaan sisäpuolelta.
Niinpä tietysti, mutta mitenköhän tuossa tehtävässä on ajateltu tuo arvio tehdä. Kai siinä pitäisi integroida koko pallon puolikkaan yli, mutta silloinhan tuo parallaksialisuusoletus kaatuu pahasti eli vähänkin kauempana keskilinjalta heijastunut valo menee aivan jonnekin muualle kuin vaakasuoraan.
Itse tekisin arvion ainoastaan paraksiaaliselle osalle ja mainitsisin että arvio on vain kyseiselle osalle. Huomaa, että pallosta ulos pyrkivä valo voi heijastuttuaan takaisin palloon tulla ulos uudelleen pallon toiselta reunalta ja sieltä heijastuessaan takaisin tulla alkuperäiselle puolelle jne.
Interferenssi ilmeisesti jätetään huomioitta.
Mihin kulmaan asti mielestäsi paraksiaalinen alue ulottuu?
Approksimaation sin x = x pitää pitää paikkansa. Eli hyvin lähellä 0 kulmaa täytyy liikkua. Jos tahtoo esim. 1 prosentin virheen |sin x-x|<0.01 eli x noin 0.4 rad = 44 astetta eli alle 45 asteen kulmassa pitää liikkua.
Pieni virhe 0.4 rad on noin 23astetta eli tämänn alle pitää mennä eikä suinkaan 45astetta=0.78rad.
Eikös+1+prosentin+virhe+tarkoittaisi,+että+|(sinx-x)/sinx|<0,01?+Tuolla+kaavalla+0,4+rad+antaa+jo+melkein+3%+virheen+ja+1%+raja+menee+0,25+rad+paikkeilla+eli+14+asteen+kohdalla.