Voisko joku neuvoa miten tää tehtävä saadaan loppuun?
Missä kulmassa käyrät y=sinx ja y=cosx leikkaavat toisensa?
Oon saanut tän verran tehtyä,
sinx=cosx I:cosx
six/cosx=1
tanx=1
x=π/4 n･π, missä n kuuluu kokonaislukuihin
Eikös tän jälkeen pitäis derivoida sinx ja cosx ja näistä tulis cosx ja -sinx. Mut mitä tän jälkeen tehään?
Kiitos.
Missä kulmassa käyrät y=sinx ja y=cosx leikkaavat toisensa?
Oon saanut tän verran tehtyä,
sinx=cosx I:cosx
six/cosx=1
tanx=1
x=π/4 n･π, missä n kuuluu kokonaislukuihin
Eikös tän jälkeen pitäis derivoida sinx ja cosx ja näistä tulis cosx ja -sinx. Mut mitä tän jälkeen tehään?
Kiitos.
Vastaukset 13
Vanhimmat
1. Ratkaiset ensin ne leikkauspisteet. Sen olet tehnyt.
2. Olkoon jokin leikkauspiste (x1,y1). Käyrän sin(x) tangentin kulmakerroin tässä pisteessä saadaan derivoimalla ja on cos(x1). Käyrän cos(x) tangentin kulmakerroin tuossa pisteessä on taas - sin(x1). Tämänkin jo päättelit..
3. Jos suorien kulmakertoimet ovat k1 ja k2 niin välisen kulman a kosini on
cos(a) = (1 k1 * k2) )/( sqrt(1 k1^2)* sqrt( 1 k2^2))
Itse kulma on siten arccos(a).
Leikkauspisteitä on useita mutta tutki, miten niissä käy.
Wolframalpha piirtää sinulle kuvan kun kirjoitat sinne sin(x) = cos(x). Näet niitä leikkauskohtia.
Eiköhän se tuosta.
Kiitos vastauksesta! Oisko ollu mahdollista saada tuo vähän selkeämmin selitettynä? En oikein vielä ymmärrä noista kaikista merkinnöistä.
Ensinnäkin sanoin väärin. Jos kulma on a niin se tietysti on = arccos(cos(a)) missä cos(a) on tuo mainittu lauseke.
Kulmakertoimet k1 ja k2 osaat laskea, nehän ovat nuo derivaatat funktioiden leikkauspisteessä. k1 = cos(x1) ja k2 = - sin(x1) missä käyrien leikkauspiste on (x1,y1).Antamani lauseke kertoo käyrien tangenttien välisen kulman kosinin ja siitä sitten lasket itse kulman tuolla arccos-funktiolla.
Tarkasta vielä, onko eri leikkauspisteissä eri kulmia.
Enempää en osaa selittää. Kyllä siinä on kaikki sanottu.
Tämä olikin haastava tehtävä, ja laitan tähän oman piirustukseni. Yksi leikkauspiste on se pi/4, ja siihen pisteeseen piirrettyjen tangenttien kulmakertomet olen tuohon laskenut, vaikka ne itse tangentit jätinkin pois.
Kulmakertoimista pääsee kulmiin aika sujuvasti, ja käyrien välinen terävä kulma tulee pienen pähkäilyn jälkeen näin: https://aijaa.com/U7MCyV Tämä ratkaisu ei ole mikään helposti ymmärrettävä asia, mutta oikeaan suhteeseen piirrettynä asia ehkä selviää.
Kyllä tämä on ihan ymmärrettävä asia ja seuraa suoraan siitä, mitä jo esitin. Kun x1 = pii/4 on
cos(pii/4) = 1/sqrt(2) ja - sin(pii/4) = - 1/sqrt(2).
cos(a) = (1 - 1/sqrt(2) * 1(sqrt(2)) / (sqrt(1 1/2) * sqrt(1 1/2)) =( 1/2) / (3/2) = 1/3
ja arc cos(1/3) = 70,529 (astetta).
Kehoitin vielä aloittajaa tutkimaan, onko kulma sama vai ei muissa leikkauspisteissä.
No tutkitaan nyt loppuun asti.
Leikkauspistettä (pii/4, 1/sqrt(2)) lähimpien leikkauspisteiden abskissat (x-arvot) ovat pii/4 - pii ja pii/4 pii.
(1) cos(pii/4 - pii) = - cos(pii/4) = - 1/sqrt(2) ja - sin(pii/4 - pii) = sin(pii/4) = 1/sqrt(2)
(2) cos(pii/4 pii) = - cos(pii/4) = - 1/sqrt(2) ja - sin(pii/4 pii) = sin(pii/4) = 1/sqrt(2)
Molemmissa tapauksissa laskukaavan mukaisesti cos(a) saa saman arvon ja a on tuo 70,5 astetta.
Koska sini ja kosini ovat jaksollisia funktioita, jaksonaan 2 pii, saa cos(a) siis saman arvon kaikissa leikkauspisteissä joiden x-arvot ovat (pii/4 n * pii).
Itse asiassa olisi riittänyt todeta vain toinen yhtälöistä (1) ja (2) tuon jaksollisuuden takia: pii/4 - pii = pii/4 pii - 2 pii
Tutki polkujen (t, sin(t)) ja (t, cos(t)) gradienttien välistä kulmaa. Tämähän on arcuscosini normeeratusta pistetulosta
(1, cos(t)) . (1, -sin(t)) / (1 cos^2(t) *(1 sin^2(t)))
= (1-cossin(t)) (1 cossin^2(t) cos^2 sin^2)
= (1-cossin(t))/(2 cossin^2(t))
Leikkauspisteen jo olit selvittänytkin, sehän on nyt suoraan parametrin t arvo, eli sulla t=x.
Mikähän lie tuo "polun gradientti"? Minkkilaukun uutta matematiikkaa?
Vektorifunktiolla R(t) = (t, sin(t) on kyllä derivaatta R'(t) = (1, cos(t)).
Mitähän uutta tuo vastaus muutenkaan toi jo käsiteltyihin seikkoihin?
Sanotaan nyt tämä minkkilaukun sepitelmä ihan oikein:
Meillä on käyrät R1(t) = (t, sin(t) ja R2(t) = (t, cos(t). Niiden tangenttivektorit ovat R1'(t) =(1,cos(t)) ja R2'(t) = (1, - sin(t)). Leikkauspisteessä t = pii/4 on R1'(pii/4) =(1, 1/sqrt(2) ja R2'(pii/4) = (1, - 1/sqrt(2).
Näiden välisen kulman kosini on
cos(a) = (R1,R2) /(l R1 l * l R2l) = (1 - 1/2) / (sqrt(1 1/2) * sqrt(1 1/2)) = (1/2) / (3/2) = 1/3.
a = arccos(1/3) = 70,5 astetta.
Leikkauspisteessä pii/4 pii on cos(pii/4 pii) = - cos(pii/4) = - 1/sqrt(2) ja - sin(pii/4 pii) =
sin(pii/4) = 1/sqrt(2).
R1'(pii/4 pii) = (1, - 1/sqrt(2) ja R2'(pii/4 pii) = (1, 1/sqrt(2).
Tangenttivektorien välisen kulman kosinillä on siis sama arvo kuin pisteessä t = pii/4.
Muut leikkauspisteet ovat muotoa pii/4 2*pii tai pii/4 pii 2*pii joten funktioiden cos ja sin jaksollisuudesta johtuen (jakso = 2 pii) kulma on sama kaikissa leikkauspisteissä.
Kun aloittaja ei osannut tällaista tehtävää laskea niin tuskinpa hänelle tämä differentiaaligeometrinen tarkastelu olisi ollut ihan selvä. Vaikka mistäpä minä tiedän.
Ja tangenttien välinen kulma tässä laskettiin jonka sekä aeija että minä olimme jo laskeneet .
yksinkertaiseen tehtävään melko monimutkaisia vastauksia, paitsi aeijan..
sini ja kosini leikkavat pisteessä x = pi/4
tässä kohti sinikäyrän ja x-akselin välinen kulma on alfa1 = arctan(Dsin(pi/4)) = arctan(cos(pi/4)) = arctan(0,707..) = 35,26.. astetta
ja kosinikäyrän ja x-akselin välinen kulma alfa2 = arctan(Dcos(pi/4)) = arctan(-sin(pi/4)) = arctan(-0,707..) = -35,26.. astetta
eli sini- ja kosinikäyrän välinen kulma on edellisten erotus 35,26... - (-35,26...) = 70,52.. astetta
Selostin asian (mielestäni) yksinkertaisesti jo 1. kommentissani. Sitten kysyjä halusi lisäselitystä. Lisäksi selostin toista, differentiaaligeometrista,tapaa. Mikähän noissa nyt oli niin monimutkaista?
Itse oioit selostamatta miksi nuo kulmat ovat mitä ovat ja jätit kokonaan perustelematta kulman arvon muissa leikkauspisteissä.
On vähän eroa siinä, miten joku "laskija" laskee ja miten matemaatikko asiaa käsittelee.
Saahan vasatauksesta oikomalla lyhyen.
"On vähän eroa siinä, miten joku "laskija" laskee ja miten matemaatikko asiaa käsittelee."
näinhän se tietysti on, sori siitä :)
OK. Ohman