Voisikohan joku selittää tehtävän, kyseessä on odotusarvon laskeminen indikaattorin avulla.
Yhdellä lottokierroksella arvotaan 7 numeroa numeroista 1, 2, . . . , 39. Laske lottoarvonnassa n:n kierroksen aikana esiintyneiden numeroiden lukumäärän odotusarvo.
Ratkaisu: Olkoot X =”esiintyvien numeroiden lkm. n kierroksella” ja
A_i=”numero i esiintyy n kierroksella”, i = 1, . . . , 39.
Tällöin X = summa i=1 -> 39 (I_A_i)
Siis A_i indikaattorien summa. Tähän asti on selvää.
E[X] = (summa i=1 -> 39) (P(A_i)) = ( summa i=1 -> 39) (1 - P(A_i^c)) = 39(1-(32/37)^n)
Minkä takia tämä lasketaan komplementin kautta?
Yhdellä lottokierroksella arvotaan 7 numeroa numeroista 1, 2, . . . , 39. Laske lottoarvonnassa n:n kierroksen aikana esiintyneiden numeroiden lukumäärän odotusarvo.
Ratkaisu: Olkoot X =”esiintyvien numeroiden lkm. n kierroksella” ja
A_i=”numero i esiintyy n kierroksella”, i = 1, . . . , 39.
Tällöin X = summa i=1 -> 39 (I_A_i)
Siis A_i indikaattorien summa. Tähän asti on selvää.
E[X] = (summa i=1 -> 39) (P(A_i)) = ( summa i=1 -> 39) (1 - P(A_i^c)) = 39(1-(32/37)^n)
Minkä takia tämä lasketaan komplementin kautta?
Vastaukset 3
Vanhimmat
Se on komplementin kautta helpompi. Kun numero esiintyy, se voi esiintyä millä tahansa yhdestä n:ään kierrosta ja missä paikoissa sattuu. Mutta se että "se ei esiinny" voi tapahtua vain yhdellä tavalla: ei esiinny millään kierroksella.
Ja indikaattorin odotusarvo on sen todennäköisyys, senhän varmaan jo tiesitkin ja odotusarvon lineaarisuuden, niin siinähän se onkin koko lasku.
Mahtaakohan tässä kohtaa olla kirjoitusvirhe:
39(1-(32/37)^n)
Eikö sen kuuluisi olla
39((1-(32/37))^n) ?
Ei, musta toi eka on oikein, paitsi että eikös siinä ole semmoinen virhe ylipäätään, että nimittäjässä pitäisi olla 39 eikä 37?
Tapahtuma A_i ^c = "Luku i ei tule millään kierroksella" = "ei tule ekalla" ja "ei tule tokalla" ja...ja "ei tule vikalla". Riippumattomuuden nojalla
P(A_i ^c) = tulo näistä
ja jokaisella kierroksella todennäköisyys että i ei tule, on 32/39, joten
P(A_i ^c) = (32/39)^n
Sitten P(A_i) = 1 - P(A_i^c) = 1 - (32/39)^n.
Sitä paitsi tuo jälkimmäinenhän menee nollaan, kun n kasvaa (ykköstä pienempää lukua korotettaan n:nnään. Eka taas menee 39:ään eli odotusarvoisesti kaikki luvut tulee jossain vaiheessa kun kierroksia pelataan paljon.