Otosavaruuden alkioiden "pituus"

Otosavaruus voi olla periaatteessa mikä tahansa joukko. Se millaiset todennäköisyydet sen pisteille määräätään, määrittää sitten miten hyvin se kuvaa tilannetta.

Tuo {AA, BB, ABA, BAB, ABB, BAA} vaikuttaisi järkevältä valinnalta, sillä eihän kolmatta erää pelata jos jompi kumpi voittaa kaksi ensimmäistä.
Millaiset todennäköisyydet näille alkioille asetetaan? Onko yksi erä aina riippumaton muista ja voittotodennäköisyydet joka erässä vakiot?

Jos haluaisit kaikki alkiot samanpituisiksi (eli kolmen erän putkiksi) voisit kuvitella, että se kolmas erä pelataan joka tapauksessa. Ja sitten kun kysytään kumpi on koko ottelun voittaja, niin katsotaan sitä kummalla on enemmän erävoittoja. Siis tässä tapauksessa otosavaruus olisi "se tavallinen" kaikki mahdolliset kolmen putket:
{AAA, AAB, ABA, BAA, ABB, BAB, BBA, BBB}
Tässä avaruudessa reaalimaailman tapahtuma 'AA' on jakautunut alkioihin 'AAA' ja 'AAB' sekä vastaavasti 'BB' alkioihin 'BBA' ja 'BBB'. Nyt, jos käytät binomi-todennäköisyyttä, niin laskut tulevat helpommiksi, juurikin kun jokaisella alkiolla on sama pituus.

"Lähinnä mietityttää se, voiko otosavaruuden alkiolla olla eri "pituus" "
...
Otosavaruus voi olla periaatteessa mikä tahansa joukko. Se millaiset todennäköisyydet sen pisteille määräätään, määrittää sitten miten hyvin se kuvaa tilannetta."
....
Kuten vastaus kertoo. Huomaa, että P(AA) = P(AAA) P( AAB), joten voit halutessasi laskea saman mittaisillakin, mutta ei se muuta tulosta.

Eipä saanut nyt aloittaja kunnollisia vastauksia.

En lähde tässä asian matemaattista teoriaa juurta jaksaen selvittämään. Tulisi kovin pitkä juttu enkä tunne aloittajan tietoja eli mitä kaikkea pitäisi selittää. Jos todella haluat tietää niin perehdy johonkin kunnolliseen todennäköisyysteorian kirjaan, jossa selitetään, miten ja millä edellytyksin voidaan esim. numeroituvasta joukosta tnavaruuksia muodostaa tnavaruus, niiden karteesinen tulo, ja sinne tnmitta (tulomitta).

Yllä ollevissa vastauksissa on montakin vikaa. Yksi on tämä ilmeinen: jos alkeistapaukset ovat nuo AA, AB, ABA jne. niin miten niiden tn:t muodostetaan. Ne pitäisi pystyä muodostamaan yhden pelin todennäköisyyksistä mutta yksi pelihän ei tuossa ole tnavaruuden alkio ollenkaan eikä sillä ole tn:ttä!

Asia menee tähän tapaan. Otetaan nyt vain äärellinen tnavaruus X jonka alkioita ovat a,b,c,...z ja näiden tn:t P(a),P(b),....

Kun suoritetaan koe jota X kuvaa, n kertaa, muodostetaan karteesinen tulo X x X ...xX. Jos A,B,C,... ovat X:n osajoukkoja on
p(AxBx...) = P(A) * P(B) *...PX)*P(X)...(P(X) missä ensin ovat nuo joukkojen A,... tn:t ja jos niitä on vähemmän kuin n niin lopuksi tulo P(X)*P(X)... (niin että n tulee täyteen.

Erityisesti P((a)) = P((a))*P(X)*...P(X) = P((a))

P((a,b)) = P(a)*P(b) *P(X)*...P(X) = P(a) * P(b). Kirjoitin nyt P(a) enkä P((a)) jne.

Noppaa heitetään viisi kertaa. Mikä on tapaus: ensimmäisellä tulee 3? Se on
(3) x XxXxXxX ja sen tn on 1/6.
Tapaus 1. heitto antaa 2 ja 2. heitto antaa 5: (2) x (5) x X x X x X ja tn on 1/6*1/6 * 1 * 1 * 1.

Heitetään lanttia kunnes tulee klaava,Tässä tnavaruudessa X on 2 alkiota, kruuna ja klaava, joiden tn:t ovat esim. 1/2 ja 1/2.Nyt meillä on numeroituva karteesinen X-avaruuksien tulo.Tn että klaava tulee kolmannella heitolla on P(kruuna)*P(kruuna)*P(klaava) * P(X)*P(X)*.... missä P(X) = 1 eli 1/8. Tuo alkeistapus on kuitenkin numeroituva karteesinen tulo.

Aloittajan esimerkissä tiedetään, että pelataan korkeintaan kolme ottelua (tasapeliä ei ollut). Tn-avaruus on kolmen avaruuden karteesinen tulo.Nämä avaruudet ovat taas samoja(X) ja niissä on alkeistapahtumat A ja B ja niillä tietyt tn:t. Esim. tuloksen AB tn = P(AxBxX) = P(A) * P(B).Tapauksen A,B,A tn on P(AxBxA) = P(A)*P(B)*P(A). Nyt siis nuo tn:t konsruoidaan X-avaruuden tn:en P(A) ja P(B) avulla.

Sillä ei ole ns. paskankaan merkitystä, kestääkö peli 1 minuutin tai 1 päivän. Erävoitot ratkaisevat ja se, millä kombinaatioilla voitto on saavutettavissa.
Joku neropatti voi keksiä kolikonheiton simuloimaan erän ratkaisua, mutta ei se vaikuta mitään, jos kerran tenniksen säännöt ovat ne mitkä ovat.
Ainoat mahdollisuudet ovat AA, BB, ABB, ABA, BAB, BAA aivan riippumatta siitä kuinka pitkiä pelit ovat.
Se, onko tn. sama eri peleissä tai erissä, tuskin kuulluu todennäköisyyslaskentaan. Voihan peli olla viritetty tai sovittu. Tai jotain muuta. Mikä on todennäköisyys sille että tuomari on lahjottu?

Tuo eräs anonyymi on kritiikissään täysin oikeassa ja minkkilaukku heikoilla jäillä. Kyllä asia esitetään siihen tapaan kuin tuo anonyymi sanoi kaikissa kunnollisissa alan oppikirjoissa. Jo Kolmogorov uraa uurtavassa kirjassaan kertoo "sylinterijoukoista", samoin vaikkapa uusi perusteellinen Kallenberg etc.etc.

Feller : An Introduction to Probality Theory and its applications,Volume 1, selostaa asiaa esitellessään käsitettä " independent trials" ja mainitsee ihan kursivoituna, että
"infinite product spaces are the natural habitat of probability theory".
Feller esittää asia monen sivun verran, vähemmän lakonisesti kuin mitä monissa täysin matemaattisissa esityksissä on tapana.

Ja tämä tuloavaruus on juuri oikea selitys aloittajalle noihin "alkioiden pituuksiin".

Eräs toinen anonyymi.