Otosavaruuden alkioiden "pituus"

Aloittelijan tyhmä kysymys: Jos satunnaiskoe on tennisottelun pelaaminen paras kolmesta systeemillä, mikä on silloin otosavaruus? Onko se {AA, BB, ABA, BAB, ABB, BAA}, missä esimerkiksi alkeistapaus BAA tarkoittaa, että pelaaja B voittaa 1. erän, pelaaja A 2. erän ja pelaaja A lopulta 3. erän. Lähinnä mietityttää se, voiko otosavaruuden alkiolla olla eri "pituus" (vertaa esim. AA ja ABA), tällaista ei ole ennen tullut vastaan?
1
Ilmoita


Otosavaruus voi olla periaatteessa mikä tahansa joukko. Se millaiset todennäköisyydet sen pisteille määräätään, määrittää sitten miten hyvin se kuvaa tilannetta.

Tuo {AA, BB, ABA, BAB, ABB, BAA} vaikuttaisi järkevältä valinnalta, sillä eihän kolmatta erää pelata jos jompi kumpi voittaa kaksi ensimmäistä.
Millaiset todennäköisyydet näille alkioille asetetaan? Onko yksi erä aina riippumaton muista ja voittotodennäköisyydet joka erässä vakiot?

Jos haluaisit kaikki alkiot samanpituisiksi (eli kolmen erän putkiksi) voisit kuvitella, että se kolmas erä pelataan joka tapauksessa. Ja sitten kun kysytään kumpi on koko ottelun voittaja, niin katsotaan sitä kummalla on enemmän erävoittoja. Siis tässä tapauksessa otosavaruus olisi "se tavallinen" kaikki mahdolliset kolmen putket:
{AAA, AAB, ABA, BAA, ABB, BAB, BBA, BBB}
Tässä avaruudessa reaalimaailman tapahtuma 'AA' on jakautunut alkioihin 'AAA' ja 'AAB' sekä vastaavasti 'BB' alkioihin 'BBA' ja 'BBB'. Nyt, jos käytät binomi-todennäköisyyttä, niin laskut tulevat helpommiksi, juurikin kun jokaisella alkiolla on sama pituus.
1 VASTAUS:
Toisin sanottuna avaruudessa
S2 = {AAA, AAB, ABA, BAA, ABB, BAB, BBA, BBB}
tapahtumat {AAA} ja {AAB} eivät ole havaittavissa, ainoastaan tapatuma {AAA, AAB} on (vastaavasti 'BBB', 'BBA':lle).
Tämä liittyy siihen ns. sigma-algebraan joka todennäköisyysavaruudella myös on.

Otosavaruudessa S1={AA, BB, ABA, BAB, ABB, BAA} sigma-algebra on kaikki osajoukot, mutta S2:ssa nuo "itsekseen mahdottomat" täytyy aina olla joukossa joko molemmat tai ei kumpaakaan.

Huomaa että kummassakin avaruudessa tapahtuma "A voittaa" on havaittavissa,
S1:ssä se on {AA, ABA, BAA}
ja S2:ssa {AAA, AAB, ABA, BAA}.

Vastaavasti tapahtuma "B voittaa".
+Lisää kommentti
"Lähinnä mietityttää se, voiko otosavaruuden alkiolla olla eri "pituus" "
...
Otosavaruus voi olla periaatteessa mikä tahansa joukko. Se millaiset todennäköisyydet sen pisteille määräätään, määrittää sitten miten hyvin se kuvaa tilannetta."
....
Kuten vastaus kertoo. Huomaa, että P(AA) = P(AAA) + P( AAB), joten voit halutessasi laskea saman mittaisillakin, mutta ei se muuta tulosta.
Ilmoita
Eipä saanut nyt aloittaja kunnollisia vastauksia.

En lähde tässä asian matemaattista teoriaa juurta jaksaen selvittämään. Tulisi kovin pitkä juttu enkä tunne aloittajan tietoja eli mitä kaikkea pitäisi selittää. Jos todella haluat tietää niin perehdy johonkin kunnolliseen todennäköisyysteorian kirjaan, jossa selitetään, miten ja millä edellytyksin voidaan esim. numeroituvasta joukosta tnavaruuksia muodostaa tnavaruus, niiden karteesinen tulo, ja sinne tnmitta (tulomitta).

Yllä ollevissa vastauksissa on montakin vikaa. Yksi on tämä ilmeinen: jos alkeistapaukset ovat nuo AA, AB, ABA jne. niin miten niiden tn:t muodostetaan. Ne pitäisi pystyä muodostamaan yhden pelin todennäköisyyksistä mutta yksi pelihän ei tuossa ole tnavaruuden alkio ollenkaan eikä sillä ole tn:ttä!

Asia menee tähän tapaan. Otetaan nyt vain äärellinen tnavaruus X jonka alkioita ovat a,b,c,...z ja näiden tn:t P(a),P(b),....

Kun suoritetaan koe jota X kuvaa, n kertaa, muodostetaan karteesinen tulo X x X ...xX. Jos A,B,C,... ovat X:n osajoukkoja on
p(AxBx...) = P(A) * P(B) *...PX)*P(X)...(P(X) missä ensin ovat nuo joukkojen A,... tn:t ja jos niitä on vähemmän kuin n niin lopuksi tulo P(X)*P(X)... (niin että n tulee täyteen.

Erityisesti P((a)) = P((a))*P(X)*...P(X) = P((a))

P((a,b)) = P(a)*P(b) *P(X)*...P(X) = P(a) * P(b). Kirjoitin nyt P(a) enkä P((a)) jne.

Noppaa heitetään viisi kertaa. Mikä on tapaus: ensimmäisellä tulee 3? Se on
(3) x XxXxXxX ja sen tn on 1/6.
Tapaus 1. heitto antaa 2 ja 2. heitto antaa 5: (2) x (5) x X x X x X ja tn on 1/6*1/6 * 1 * 1 * 1.

Heitetään lanttia kunnes tulee klaava,Tässä tnavaruudessa X on 2 alkiota, kruuna ja klaava, joiden tn:t ovat esim. 1/2 ja 1/2.Nyt meillä on numeroituva karteesinen X-avaruuksien tulo.Tn että klaava tulee kolmannella heitolla on P(kruuna)*P(kruuna)*P(klaava) * P(X)*P(X)*.... missä P(X) = 1 eli 1/8. Tuo alkeistapus on kuitenkin numeroituva karteesinen tulo.

Aloittajan esimerkissä tiedetään, että pelataan korkeintaan kolme ottelua (tasapeliä ei ollut). Tn-avaruus on kolmen avaruuden karteesinen tulo.Nämä avaruudet ovat taas samoja(X) ja niissä on alkeistapahtumat A ja B ja niillä tietyt tn:t. Esim. tuloksen AB tn = P(AxBxX) = P(A) * P(B).Tapauksen A,B,A tn on P(AxBxA) = P(A)*P(B)*P(A). Nyt siis nuo tn:t konsruoidaan X-avaruuden tn:en P(A) ja P(B) avulla.
1 VASTAUS:
"Otetaan nyt vain äärellinen tnavaruus X jonka alkioita ovat a,b,c,...z ja näiden tn:t P(a),P(b),..."

Ja mikäs on vialla siinä että otetaan

X = {AA, BB, ABA, BAB, ABB, BAA}?

" jos alkeistapaukset ovat nuo AA, AB, ABA jne. niin miten niiden tn:t muodostetaan."

Mitenkäs kolikonheiton todennäköisyydet 1/2 ja 1/2 muodostetaan? Sopimalla, että ne ovat ne. Ja sitten se joko kuvaa tilannetta tai ei. Tässä tennisesimerkissä, jos esim. A väsyttää itsensä ensimmäisessä erässä kamppailessaan siinä voiton, voi olla, että hän on sitten huonompi toisessa erässä ja AB.. on todennäköisempi kuin AA. Tai aurinko paistaa eri tavalla silmään. Samalla tavalla se on kolikonheitossa: sehän voi olla vaikka minkälainen tila-avaruus pyörähdyksineen ja momentteineen se miten sitä kolikkoa oikeasti heitetään, mutta sitten se redusoituu symmetrian perusteella tuohon 50-50 sopimukseen.

Joten minä ainakin pidän vastaukseni samana, että kyllä, otosavaruus voi olla tuo {AA, BB, ABA, BAB, ABB, BAA}.
+Lisää kommentti
Sillä ei ole ns. paskankaan merkitystä, kestääkö peli 1 minuutin tai 1 päivän. Erävoitot ratkaisevat ja se, millä kombinaatioilla voitto on saavutettavissa.
Joku neropatti voi keksiä kolikonheiton simuloimaan erän ratkaisua, mutta ei se vaikuta mitään, jos kerran tenniksen säännöt ovat ne mitkä ovat.
Ainoat mahdollisuudet ovat AA, BB, ABB, ABA, BAB, BAA aivan riippumatta siitä kuinka pitkiä pelit ovat.
Se, onko tn. sama eri peleissä tai erissä, tuskin kuulluu todennäköisyyslaskentaan. Voihan peli olla viritetty tai sovittu. Tai jotain muuta. Mikä on todennäköisyys sille että tuomari on lahjottu?
2 VASTAUSTA:
Kirjoittajien kommentit perustuvat täyteen asian ymmärtämättömyyteen.

Olisin luullut, että ainakin minkkilaukku olisi tajunnut selitykseni. Mutta ei. Tai sitten ei vain halua myöntää, mikä oikeastaan vielä pahempi.

Juuri se, että esim. kolikonheitossa tnavaruuden X alkeistapausten tn:t ovat mitä ovat (esim. 1/2 ja 1/2) määräävät karteesisen tuloavaruuden X x X x... tn:t.

Kyllä tämä tuloavaruus on ainut oikea tapa käsitellä asiaa.

Ei maha mittään!

En viitsi kommentoida enempää.
Voihan tennispelin ratkaista kolikonheitollakin ja sitten mennä juomaan kaljaa.
Pelitulokset AAA ja BBB ovat kuuluisan tyhjän joukon karteesittomia alkioita.
+Lisää kommentti
Tuo eräs anonyymi on kritiikissään täysin oikeassa ja minkkilaukku heikoilla jäillä. Kyllä asia esitetään siihen tapaan kuin tuo anonyymi sanoi kaikissa kunnollisissa alan oppikirjoissa. Jo Kolmogorov uraa uurtavassa kirjassaan kertoo "sylinterijoukoista", samoin vaikkapa uusi perusteellinen Kallenberg etc.etc.

Feller : An Introduction to Probality Theory and its applications,Volume 1, selostaa asiaa esitellessään käsitettä " independent trials" ja mainitsee ihan kursivoituna, että
"infinite product spaces are the natural habitat of probability theory".
Feller esittää asia monen sivun verran, vähemmän lakonisesti kuin mitä monissa täysin matemaattisissa esityksissä on tapana.

Ja tämä tuloavaruus on juuri oikea selitys aloittajalle noihin "alkioiden pituuksiin".

Eräs toinen anonyymi.
5 VASTAUSTA:
Eli kolmas erä on aina pakko pelata? Vai sovitaanko sitä että ne alkiot AAA ja AAB ovat jotenkin "linkitetty toisiinsa"?
Anonyymi kirjoitti:
Eli kolmas erä on aina pakko pelata? Vai sovitaanko sitä että ne alkiot AAA ja AAB ovat jotenkin "linkitetty toisiinsa"?
Et näköjään ymmärrä noita tulotodennäköisyyden ja sylinterijoukon käsitteitä. Koetahan nyt miettiä ihan itse!Esimerkkejä oli tarpeeksi.
Anonyymi kirjoitti:
Et näköjään ymmärrä noita tulotodennäköisyyden ja sylinterijoukon käsitteitä. Koetahan nyt miettiä ihan itse!Esimerkkejä oli tarpeeksi.
Et näköjään osaa olla asiasta mitään mieltä.
Tenniskenttä ei muuten ole sylinterin muotoinen.
Menikö minun selitykseni sigma-algebrasta oikein (toisessa viestissäni)? Eli ei otetakaan sinne tuloavaruuteen sitä tulosigma-algebrata vaan sellainen, jossa "ennalta katkenneet ottelut" täytyy olla joukossa yhtäaikaa? Eli että sellainen sigma-algebra sopisi tähän tennistilanteeseen?
Koska eihän esimerkiksi funktio X = 1_"A voitti kolmannen erän" ole satunnaismuuttuja: sitä ei voida mitata mikäli kolmatta erää ei pelattu.
Joten se sigma-algebra ei voi olla 2^({A, B}^3).

En kyllä edellenkään ymmärrä miksi tuloavaruus olisi ainoa oikea tapa mallintaa tätä. Eikö se voisi mennä niin, että yksi kokonainen peli (kaksi tai kolme erää) on se perustapas? Ja sitten peleistä otetaan tuloavaruus, jos niiden putkia tutkitaan?
minkkilaukku kirjoitti:
Menikö minun selitykseni sigma-algebrasta oikein (toisessa viestissäni)? Eli ei otetakaan sinne tuloavaruuteen sitä tulosigma-algebrata vaan sellainen, jossa "ennalta katkenneet ottelut" täytyy olla joukossa yhtäaikaa? Eli että sellainen sigma-algebra sopisi tähän tennistilanteeseen?
Koska eihän esimerkiksi funktio X = 1_"A voitti kolmannen erän" ole satunnaismuuttuja: sitä ei voida mitata mikäli kolmatta erää ei pelattu.
Joten se sigma-algebra ei voi olla 2^({A, B}^3).

En kyllä edellenkään ymmärrä miksi tuloavaruus olisi ainoa oikea tapa mallintaa tätä. Eikö se voisi mennä niin, että yksi kokonainen peli (kaksi tai kolme erää) on se perustapas? Ja sitten peleistä otetaan tuloavaruus, jos niiden putkia tutkitaan?
Esimerkiksi täällä: http://purpledreams.com/~mike/math_studies_11/probability_02.pdf

on tuossa esimerkissä 2 juuri tämä sama tilanne ja siellä kyllä sanotaan ihan, että:
"Note: The sample space is S = {JJ, JPJ, JPP, PJJ, PJP, PP}".

Tämä olisi vähän niinkuin dynaaminen puu eikä mikään paikoilleen jämähtänyt tuloavaruus!
+Lisää kommentti

Vastaa alkuperäiseen viestiin

Otosavaruuden alkioiden "pituus"

Aloittelijan tyhmä kysymys: Jos satunnaiskoe on tennisottelun pelaaminen paras kolmesta systeemillä, mikä on silloin otosavaruus? Onko se {AA, BB, ABA, BAB, ABB, BAA}, missä esimerkiksi alkeistapaus BAA tarkoittaa, että pelaaja B voittaa 1. erän, pelaaja A 2. erän ja pelaaja A lopulta 3. erän. Lähinnä mietityttää se, voiko otosavaruuden alkiolla olla eri "pituus" (vertaa esim. AA ja ABA), tällaista ei ole ennen tullut vastaan?

5000 merkkiä jäljellä

Rekisteröidy, jos haluat käyttää nimimerkkiä.

Peruuta