Tasossa on n ympyrää. Jokaisen säde on 1 eivätkä ne leikkaa toisiaan. Valitaan piste P satunnaisesti joltain näistä ympyröistä (tasajaukauma, voi ajatella että ensin valitaan ympyrä s.e. jokaisella tn. 1/n tulla valituksi ja sitten kulma tasajakaumasta [0, 2pi]).
Mikä on todennäköisyys, että P:stä ei näy mikään toinen ympyrä? Näkyvyys tarkoittaa, että pisteestä on suora näköyhteys toiseen ympyrään eli voidaan piirtää jana, joka ei leikkaa mitään matkallaan vaan ainoastaan päätepisteet ovat ympyrän kaarilla. Toisin sanottuna piste X näkyy pisteestä P, jos avoin jana PX ei leikkaa mitään ympyrää. Ympyrä näkyy, jos jokin sen piste näkyy.
Sillä ei oikeastaan ole väliä puhutaanko tässä täytyistä ympyröistä (kiekoista) vai ei, sillä jos jana leikkaa kiekkoa sisältä, niin sen täytyy myös leikata ulkokuorta osuakseen toiseen ympyrään, sillä ympyrät ovat pistevieraita. Eikä sillä ole väliä näkyykö ympyrä omista pisteistään, sillä puhutaan joka tapauksessa muiden ympyröiden näkymisestä. (Ympyrän sisäpuolelle ei kannata ikinä lähteä, sillä joutuu kuitenkin leikkaamaan sitä ulkokuorta jossakin toisessa pisteessä.)
Yleistyksiä:
3-ulotteinen versio (ja mikseipä useampikin ulotteinenkin)
eri säteisiä ympyröitä
Ympyröiden näkymättömyys
4
<50
Vastaukset
- Anonyymi
Ajattelit varmaan että taso ei ole ääretön ja että pisteen valitseminen ympyrältä tarkoittaa pisteen valitsemista ympyrän kehältä.
Jos taso olisi äärettömän suuri niin keskimäärin ympyrät olisivat äärettömän kaukana toisistaan ja todennäköisyys sille että pisteestä ulospäin ympyrän kehältä näkyvään puoliavaruuteen piirretyn puolisuoran tielle sattuu toinen ympyrä olisi nolla.Ympyröiden sijaintia ei arvota satunnaisesti vaan se on jokin ennalta kiinnitetty. Siitä ei sanottu mitään, koska... noh, testatkaa, niin ehkä huomaatte. :D
Eikä myöskään siis arvota mitään suoran suuntaa johon P:stä lähdetään, vaan kysytään että näkyykö P:stä mikään toinen ympyrä eli onko olemassa sellaista suuntaa. Jos ei, niin sitten P on suotuisa. Jos P:stä näkyy joku toinen ympyrä, niin P on epäsuotuisa. Esim. jos meillä on kaksi ympyrää, niin niiden "toisiaan kohti olevilla puolilla" on näköyhteys keskenään sijaitsipa ympyrät kuinka kaukana toisistaan tahansa.
Tässä ratkaisuehdotus: https://membolicsythod.home.blog/2019/07/02/ympyrat-tasossa/
Onhan siinä vielä hommaa perustella jokainen noista todistuksen vaiheista mutta mielestäni ne pitäisi jokainen olla kyllä ihan oikein(?)
Kolmedeelle (eli kaksdee pallon pinnoille) olisi Gauss-Bonnet, mitenkäs korkeammissa ulottuvuuksissa? Taidetaan sielläkin saada sama todennäköisyys 1/n?- Anonyymi
Merkitään konveksiverhoa C_0:lla ja sen reunaa C:llä ja ympyröiden (ulko-)tangenttipisteiden joukkoa T:llä.
Väite:
Olkoon p piste ympyrältä Y_p. Tällöin
p ∈ C\T ⇔ p:stä ei näy mikään toinen ympyrä
Todistus:
"→":
Olkoon p ∈ C\T. Tehdään antiteesi: p:stä näkyykin ympyrän Y_q piste q. Tällöin, koska p ∉ T, niin myös ympyrän Y_p p:n jokin avoin ympäristö U (eli osa Y_p:n kaarta, jossa p on sisäpisteenä) näkyy q:sta (jana pq ei voi olla tangenttijana, joten siinä on "kääntämisen varaa", tai oikeastaan: q voidaan valita s.e. se ei ole myöskään tangenttipiste koska p:n puolella on sitä kääntämisen varaa.). Mutta tämä tarkoittaa, että p on C:n sisäpiste, sillä kaikki janat qr, r ∈ U sisältyvät konveksiverhoon C_0 ja lisäksi tietenkin Y_p ⊆ C. Ristiriita oletuksen p ∈ C kanssa.
"←":
Oletetaan, että pisteestä p ei näy mikään toinen ympyrä. Tällöin koko ympyrälle Y_p pisteeseen p piirretyn tangentin ulkopuoli (se puoli, jolla ympyrä ei ole) on ympyrävapaa, muutenhan sieltä löytyisi näkyvä ympyrä. Kutsutaan tätä avointa, ympyrävapaata puolitasoa H:ksi. Koska sen komplementti H^C on konveksi ja C ⊆ H^C, niin H:n täytyy sisältyä C_0^C:iin (sillä konveksiverho on pienin konveksi joukko, joka sisältää joukon). Mutta piste p on H:n reunalla, joten sen täytyy olla myös C_0:n reunalla (muista: p on C_0:n piste). Lisäksi ei voi olla p ∈ T, sillä muuten siitä näkyisi joku toinen ympyrä (joko se kenen kanssa tangenttirelaatio on tai sitten joku joka tulee siihen tielle estämään tämän näkyvyyden).
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 2713904
- 1342940
Onko vinkkejä ikävän lopettamiseen?
Onko hyviä vinkkejä, miten pääsisi ikävästä eroon? Järkeviä pliis!572145En mä mies tiedä
Missä mennään, mitä me toisillemme ollaan. Pyörit mielessä, mutta kuitenkin pelkään jotain. Pelkään myös sitä, että olin381633Jokos olet nainen
Päässyt sinuiksi tämän palstan kanssa ja huomannut miten turhaa tänne on mitään kirjoitella. Yhteys meillä kyllä löytyy1141420- 571399
Tiedätkö nainen
Että sinulla on loistava tunneäly. Osaat käsitellä niitä, osaat analysoida ja järkeillä asioita ja et alkaa mielipuolen681329Huomenna taitaa
Päästä selvittelee ja kyselee vähän asiota. Sun verisukulaisten kanssa🤣 naiselle231307- 431137
Toimivan parisuhteen kaukaisuus.
Täällähän jotkut haaveilee parisuhteesta, kuka mitenkin. Mutta itse näen toimivan parisuhteen todella kaukaisena utopi1551064