lukujonon raja-arvo

Anonyymi

Laskettava lukujonon raja-arvo on lim n->∞ (-1/2)^n .

Kuvastakin näkee, että arvo lähestyy nollaa, mutta mietin, miten käy, jos päättelyn käy näin:

lim n->∞ (-1/2)^n = lim n->∞(-1)^n * lim n->∞(1/2)^n=lim n->∞ (-1)^n * 0
Onko tämän tulos nolla vai määrittelemätön, kun tuota raja-arvoa lim n->∞ (-1)^n ei ole määritelty?

35

<50

Vastaukset

  • Jos sen noin kirjoittaa, niin tulos on määrittelemätön. Juurikin tuosta syystä että (-1)^n:llä ei ole raja-arvoa.
    Ts. yhtälö
    lim n->∞ (-1/2)^n = lim n->∞(-1)^n * lim n->∞(1/2)^n
    ei ole voimassa, koska lim n->∞(-1)^n on olemassa olematon luku.

    Voit kuitenkin käyttää sellaista yleistä lausetta, että rajoitetun jonon ja nollaan menevän jonon tulojono menee nollaan.
    Todistus tälle lauseelle on helppo (millä täsmällisyys-asteella sitten haluaakaan tehdä), sillä jos a_n on rajoitettu, niin on olemassa M>0 s.e.
    |a_n|<M kaikilla n,
    jolloin
    |a_n * b_n| < M*|b_n|.

    • Entä voisiko perustella, että (-1)^n on oltava joko -1 tai 1 ja molemmissa tapauksissa todeta, että raja-arvo on nolla?


    • Anonyymi kirjoitti:

      Entä voisiko perustella, että (-1)^n on oltava joko -1 tai 1 ja molemmissa tapauksissa todeta, että raja-arvo on nolla?

      Hmmm... millä täsmällisyydellä käsittelet raja-arvoa? Onko epsilon-delta -määritelmä käytössä?

      Jos määritelmän perusteella teet, niin ei sitä oikein tuolla tavalla osissa saa tehdä, vaan pitää käyttää määritelmää.

      Kyllähän tuo tietysti paikkansa pitää, mutta vaatisi toki todistuksen, että jos jono a_n saa vain kahta arvoa, niin sen tulo nollaan menevän jonon b_n kanssa on myös nollaan menevä jono. Ja sekin todistus menee kaikkein helpoimmin sillä, että tällöin jono a_n on rajoitettu.


    • Ei ole epsilon-deltaa, vaan lukion 13. kurssin laajuudessa.

      Tehtävän malliratkaisussa tehty kuten ensimmäisessä viestissä kirjoitin, mutta tulokseksi kirjoitettu suoraan nolla sen kummemmin pohtimatta sitä, että lim n->∞ (-1)^n ei ole olemassa.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Ei ole epsilon-deltaa, vaan lukion 13. kurssin laajuudessa.

      Tehtävän malliratkaisussa tehty kuten ensimmäisessä viestissä kirjoitin, mutta tulokseksi kirjoitettu suoraan nolla sen kummemmin pohtimatta sitä, että lim n->∞ (-1)^n ei ole olemassa.

      Jaa, no se on kyllä selvästi väärin edes kirjoittaa tuo lim n->∞ (-1)^n.

      Se tosiaan on vähän ongelmallista tuossa raja-arvon käsittelyssä kun ei ole täysin tarkkaa määritelmää, jota käyttää.

      Löytyykö sieltä kirjasta sellaista teoreemaa, että jos jono a_n on itseisarvoltaan pienempi kuin jono b_n, ja b_n menee nollaan, niin silloin myös a_n menee nollaan?


    • Päteekö tuo lause myös funktioille?
      Esim. jos funktion f arvojoukko on [a, b] ja lim x->c g(x)=0, niin lim x-> c f(x)*g(x)=0?

      a<=|f(x)|<=b || * |g(x)|
      a*|g(x)|<=|f(x)*g(x)|<=b*|g(x)|
      Nyt kun x->c, niin
      lim x-> c [a*|g(x)|]<=lim x-> c [|f(x)*g(x)|]<=lim x-> c [b*|g(x)|]
      a*0<=lim x-> c [|f(x)*g(x)|]<=b*0
      0<=lim x-> c [|f(x)*g(x)|]<=0,
      joten tästä seuraa, että lim x-> c [|f(x)*g(x)|]=0.

      Onko tämä todistus nyt oikein? Onko itseisarvojen käyttö välttämätöntä? Entä onko yleisesti voimassa, että jos funktion itseisarvo lähestyy nollaa, niin funktio lähestyy nollaa?

      Sitten vielä ihan toinen asia liittyen myös raja-arvoon äärettömyydessä. Onko väärin sijoittaa laskutoimitukseen ääretön? Esim.
      lim x->∞ [1/x]=1/∞=0 ? Omassa lukiokirjassani näin ei ole koskaan kirjoitettu. Entä voiko muutenkin laskea äärettömän kanssa: ∞+2=∞ ?


    • Anonyymi kirjoitti:

      Päteekö tuo lause myös funktioille?
      Esim. jos funktion f arvojoukko on [a, b] ja lim x->c g(x)=0, niin lim x-> c f(x)*g(x)=0?

      a<=|f(x)|<=b || * |g(x)|
      a*|g(x)|<=|f(x)*g(x)|<=b*|g(x)|
      Nyt kun x->c, niin
      lim x-> c [a*|g(x)|]<=lim x-> c [|f(x)*g(x)|]<=lim x-> c [b*|g(x)|]
      a*0<=lim x-> c [|f(x)*g(x)|]<=b*0
      0<=lim x-> c [|f(x)*g(x)|]<=0,
      joten tästä seuraa, että lim x-> c [|f(x)*g(x)|]=0.

      Onko tämä todistus nyt oikein? Onko itseisarvojen käyttö välttämätöntä? Entä onko yleisesti voimassa, että jos funktion itseisarvo lähestyy nollaa, niin funktio lähestyy nollaa?

      Sitten vielä ihan toinen asia liittyen myös raja-arvoon äärettömyydessä. Onko väärin sijoittaa laskutoimitukseen ääretön? Esim.
      lim x->∞ [1/x]=1/∞=0 ? Omassa lukiokirjassani näin ei ole koskaan kirjoitettu. Entä voiko muutenkin laskea äärettömän kanssa: ∞+2=∞ ?

      Kyllä pätee. Todistus on ihan oikein. Tuo "kahden funktion välissä" olevan funktion käyttäytyminen taitaa olla nimeltään kuristusperiaate, eli sen voisi vielä mainita että sitä käytetään jos tosi pedanttinen haluaisi olla.

      Itseisarvot ei ole välttämättömät, jos teet sen noin, että f:n arvojoukko on [a, b]. Siis f on alhaalta ja ylhäältä rajoitettu. Mutta helpottaa merkintöjä jos sanot vaan että f on rajoitettu ja sanot että |f| <M. Voit valita M = max(|a|, |b|).

      "Entä onko yleisesti voimassa, että jos funktion itseisarvo lähestyy nollaa, niin funktio lähestyy nollaa?"
      Kyllä. Tuolla toisissa viesteissä olikin (jonoille) puhetta kuinka johdutaan tutkimaan |f(x)-0| = |f(x)|, sillä määritelmä puhuu juuri tästä lausekkeesta.

      Äärettömän sijoittaminen on vähän kyseenalaista hommaa. Ei ehkä lukiossa kannata jos niin ei ole opetettu, mutta niinhän se käytännössä usein ajatellaan, että koska "alakerta menee äärettömään", niin sinne voidaan sijoittaa ääretön.
      Huomaa kuitenkin että esim. lausekkeet 0/∞, ∞/∞, ∞-∞ eivät ole määriteltyjä.
      Äärettömyyksille (ordinaaliluvut, huomaa on olemassa monia erilaisia äärettömyyksiä) on olemassa oma aritmetiikkansa:
      https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_arithmetic
      Siinä tosiaan ∞+2=∞.


    • minkkilaukku kirjoitti:

      Kyllä pätee. Todistus on ihan oikein. Tuo "kahden funktion välissä" olevan funktion käyttäytyminen taitaa olla nimeltään kuristusperiaate, eli sen voisi vielä mainita että sitä käytetään jos tosi pedanttinen haluaisi olla.

      Itseisarvot ei ole välttämättömät, jos teet sen noin, että f:n arvojoukko on [a, b]. Siis f on alhaalta ja ylhäältä rajoitettu. Mutta helpottaa merkintöjä jos sanot vaan että f on rajoitettu ja sanot että |f| <M. Voit valita M = max(|a|, |b|).

      "Entä onko yleisesti voimassa, että jos funktion itseisarvo lähestyy nollaa, niin funktio lähestyy nollaa?"
      Kyllä. Tuolla toisissa viesteissä olikin (jonoille) puhetta kuinka johdutaan tutkimaan |f(x)-0| = |f(x)|, sillä määritelmä puhuu juuri tästä lausekkeesta.

      Äärettömän sijoittaminen on vähän kyseenalaista hommaa. Ei ehkä lukiossa kannata jos niin ei ole opetettu, mutta niinhän se käytännössä usein ajatellaan, että koska "alakerta menee äärettömään", niin sinne voidaan sijoittaa ääretön.
      Huomaa kuitenkin että esim. lausekkeet 0/∞, ∞/∞, ∞-∞ eivät ole määriteltyjä.
      Äärettömyyksille (ordinaaliluvut, huomaa on olemassa monia erilaisia äärettömyyksiä) on olemassa oma aritmetiikkansa:
      https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_arithmetic
      Siinä tosiaan ∞+2=∞.

      Ai niin se piti vielä mainitsemani, että on ne itseisarvot siinä mielessäkin tarpeelliset, että jos g vaihtelee merkkiään, niin se saattaa tuottaa todistusta tehdessä ongelmia (epäyhtälöt kääntyilee miten sattuu). Helpointa siinä on pitää itseisarvot mukana.


    • minkkilaukku kirjoitti:

      Kyllä pätee. Todistus on ihan oikein. Tuo "kahden funktion välissä" olevan funktion käyttäytyminen taitaa olla nimeltään kuristusperiaate, eli sen voisi vielä mainita että sitä käytetään jos tosi pedanttinen haluaisi olla.

      Itseisarvot ei ole välttämättömät, jos teet sen noin, että f:n arvojoukko on [a, b]. Siis f on alhaalta ja ylhäältä rajoitettu. Mutta helpottaa merkintöjä jos sanot vaan että f on rajoitettu ja sanot että |f| <M. Voit valita M = max(|a|, |b|).

      "Entä onko yleisesti voimassa, että jos funktion itseisarvo lähestyy nollaa, niin funktio lähestyy nollaa?"
      Kyllä. Tuolla toisissa viesteissä olikin (jonoille) puhetta kuinka johdutaan tutkimaan |f(x)-0| = |f(x)|, sillä määritelmä puhuu juuri tästä lausekkeesta.

      Äärettömän sijoittaminen on vähän kyseenalaista hommaa. Ei ehkä lukiossa kannata jos niin ei ole opetettu, mutta niinhän se käytännössä usein ajatellaan, että koska "alakerta menee äärettömään", niin sinne voidaan sijoittaa ääretön.
      Huomaa kuitenkin että esim. lausekkeet 0/∞, ∞/∞, ∞-∞ eivät ole määriteltyjä.
      Äärettömyyksille (ordinaaliluvut, huomaa on olemassa monia erilaisia äärettömyyksiä) on olemassa oma aritmetiikkansa:
      https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_arithmetic
      Siinä tosiaan ∞+2=∞.

      Mietin siis noita itseisarvoja lähinnä siksi, että ei tarvitse miettiä, miten päin itseisarvomerkit kääntyvät, kun kerrotaan epäyhtälöä funktiolla.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Ai niin se piti vielä mainitsemani, että on ne itseisarvot siinä mielessäkin tarpeelliset, että jos g vaihtelee merkkiään, niin se saattaa tuottaa todistusta tehdessä ongelmia (epäyhtälöt kääntyilee miten sattuu). Helpointa siinä on pitää itseisarvot mukana.

      Niin ja tuosta ordinaaliaritemetiikasta, siellä ei jakolaskua ole olemassa, joten 1/∞ ei ole sielläkään olemassa (mikä ääretön ∞ sitten onkaan, niitähän on äärettömästi :D itse asiassa erittäin erittäin paljon), joten sopimus 1/∞ = 0 on puhtaasti sovittu merkintäkysymys. Huom. jos siihen saataisiin jokin "toimiva tapa", niin sehän tarkoittaisi että nollalla olisi käänteisalkio, mikä on tunnestusti mahdotonta (siitä syystä, että 1*0 = 0 mutta jos olisi nollan käänteisalkio, niin saataisiin 1=1/0*0 = 0. Yleisesti myös asetetaan tällaiselle laskennalliselle struktuurille, jossa kaksi laskutoimitusta + ja * ja kaikilla muilla paitsi 0:lla käänteisalkio kertolaskun suhteen (kunnaksi kutsutaan näitä vaatimus, että nolla on eri kuin 1.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Päteekö tuo lause myös funktioille?
      Esim. jos funktion f arvojoukko on [a, b] ja lim x->c g(x)=0, niin lim x-> c f(x)*g(x)=0?

      a<=|f(x)|<=b || * |g(x)|
      a*|g(x)|<=|f(x)*g(x)|<=b*|g(x)|
      Nyt kun x->c, niin
      lim x-> c [a*|g(x)|]<=lim x-> c [|f(x)*g(x)|]<=lim x-> c [b*|g(x)|]
      a*0<=lim x-> c [|f(x)*g(x)|]<=b*0
      0<=lim x-> c [|f(x)*g(x)|]<=0,
      joten tästä seuraa, että lim x-> c [|f(x)*g(x)|]=0.

      Onko tämä todistus nyt oikein? Onko itseisarvojen käyttö välttämätöntä? Entä onko yleisesti voimassa, että jos funktion itseisarvo lähestyy nollaa, niin funktio lähestyy nollaa?

      Sitten vielä ihan toinen asia liittyen myös raja-arvoon äärettömyydessä. Onko väärin sijoittaa laskutoimitukseen ääretön? Esim.
      lim x->∞ [1/x]=1/∞=0 ? Omassa lukiokirjassani näin ei ole koskaan kirjoitettu. Entä voiko muutenkin laskea äärettömän kanssa: ∞+2=∞ ?

      Nyt tuli kyllä virhe tuon "∞+2=∞":n kanssa. Sehän ei ole totta! Jos nyt selkeyden vuoksi oletetaan että puhutaan ensimmäisestä, numeroituvasta äärettömyydestä ω. Objekti ω+2 on eri ordinaaliluku kuin ω.
      Toisin kävisi jos lisätäänkin vasemmalta tuo kakkonen, silloin pätee 2+∞=∞.
      Huomaa siis, että laskutoimitukset eivät ole kommutatiivisia.

      Mutta melko eri juttua tuo ordinaaliaritmetiikka on kuin nämä jonojen raja-arvo jutut, joten sitä ei kannattane tähän liiemmin sotkea. (Vaikka sielläkinhän toki oma topologiansa on ja raja-arvoista puhutaan.)

      Mutta tähän voisikin kyllä asettaa kysymyksen, jos joku viisaampi osaisi vastata: Mikä ordinaaliluku on (jos mikään) tuo ∞, jota reaalifunktio (esim) f(x) = x lähestyy, kun x lähestyy ääretöntä, eli siis itse asiassa itse se x, mitä se lähestyy?


    • minkkilaukku kirjoitti:

      Nyt tuli kyllä virhe tuon "∞+2=∞":n kanssa. Sehän ei ole totta! Jos nyt selkeyden vuoksi oletetaan että puhutaan ensimmäisestä, numeroituvasta äärettömyydestä ω. Objekti ω+2 on eri ordinaaliluku kuin ω.
      Toisin kävisi jos lisätäänkin vasemmalta tuo kakkonen, silloin pätee 2+∞=∞.
      Huomaa siis, että laskutoimitukset eivät ole kommutatiivisia.

      Mutta melko eri juttua tuo ordinaaliaritmetiikka on kuin nämä jonojen raja-arvo jutut, joten sitä ei kannattane tähän liiemmin sotkea. (Vaikka sielläkinhän toki oma topologiansa on ja raja-arvoista puhutaan.)

      Mutta tähän voisikin kyllä asettaa kysymyksen, jos joku viisaampi osaisi vastata: Mikä ordinaaliluku on (jos mikään) tuo ∞, jota reaalifunktio (esim) f(x) = x lähestyy, kun x lähestyy ääretöntä, eli siis itse asiassa itse se x, mitä se lähestyy?

      Laitoin tämän ordinaalikysymyksen MSE:iin: https://math.stackexchange.com/questions/3308496/what-ordinal-number-is-the-usual-real-infty/3308513#3308513

      Tuolla hyvä vastaus, eli ∞ on vain "potentiaalinen äärettömyys" eikä mikään tietty ordinaaliluku, no lukekaa sieltä tarkemmin.


  • (-1)^n on kuitenkin aina itseisarvoltaan rajoitettu, esim pienempi kuin kaksi. Se kerrottun nollaa lähenevällä luvulla lähenee myös nollaa.

  • Tuota kirjan vastausta muokkaamalla saa hyväksyttävän vastauksen:

    lim(-1/2)^n = lim((-1)^n/(2^n)).

    Loppu on päättelyä, joka on myös matemaattinen prosessi, jota ei tarvitse aristaa. Koska 2^n kasvaa kun n kasvaa ja (-1)^n oskilloi [-1,1] väliä, niin raja-arvo on 0.

  • Eikös lukujonon raja-arvo määritellä käyttäen itseisarvoa. Silloin termi (-1/2)^n korvautuu termillä (1/2)^n.

    • Näinhän se on. Jos jonon kaikki alkiot ovat negatiivisia, niin raja-arvo on positiivinen. Vai miten se menikään.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Näinhän se on. Jos jonon kaikki alkiot ovat negatiivisia, niin raja-arvo on positiivinen. Vai miten se menikään.

      l 0 - (- 1/2)^n l = (1/2)^n <r kun n > d(r) = log(2,1/r)
      Tässä siis vanhaa kunnon epsilonia on merkitty r:llä ja delta(epsilon) = d(r).
      Logaritmi on 2-kantainen logaritmi.
      => lim (n -> inf) (- 1/2)^n = 0.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Näinhän se on. Jos jonon kaikki alkiot ovat negatiivisia, niin raja-arvo on positiivinen. Vai miten se menikään.

      Jahas, taas löytyi yksi, jolle pitää vääntää rautalangasta. Jos 0 on raja-arvo, silloin määritelmän nojalla pitää olla:
      lim n->∞ abs((-1/2)^n - 0) = 0 , koska
      abs((-1/2)^n - 0) = abs((-1/2)^n) = (1/2)^n, niin riittää osoittaa, että
      lim n->∞ (1/2)^n = 0


    • Anonyymi kirjoitti:

      Jahas, taas löytyi yksi, jolle pitää vääntää rautalangasta. Jos 0 on raja-arvo, silloin määritelmän nojalla pitää olla:
      lim n->∞ abs((-1/2)^n - 0) = 0 , koska
      abs((-1/2)^n - 0) = abs((-1/2)^n) = (1/2)^n, niin riittää osoittaa, että
      lim n->∞ (1/2)^n = 0

      Jaaha. Taas löytyi yksi, jolle pitää taivuttaa rautalangasta. Lukujonon raja-arvoa ei todellakaan määritellä itseisarvon raja-arvona niinkuin edellä arveltiin. Raja-arvo voi aivan hyvin olla esimerkiksi -5 tai -ääretön.


    • Vaikeuksia luetun ymmärtämisessä? Kirjoitin että raja-arvo määritellään käyttäen itseisarvoa. En että raja-arvo on lukujonon jäsenten itseisarvojen rajka-arvo. Tosin niin on silloin, kun raja-arvo on nolla, kuten tarkasteltavassa tapauksessa. Linkissä kerrotaan aiheesta. Todetaan mm, että määritelmästä näkyy, että lukujono suppenee raja-arvoa nolla kohti täsmälleen silloin, kun sen itseisarvojono suppenee nollaan.
      http://www.math.jyu.fi/matpo/kirja/rfa/index-48.html


    • Anonyymi kirjoitti:

      Vaikeuksia luetun ymmärtämisessä? Kirjoitin että raja-arvo määritellään käyttäen itseisarvoa. En että raja-arvo on lukujonon jäsenten itseisarvojen rajka-arvo. Tosin niin on silloin, kun raja-arvo on nolla, kuten tarkasteltavassa tapauksessa. Linkissä kerrotaan aiheesta. Todetaan mm, että määritelmästä näkyy, että lukujono suppenee raja-arvoa nolla kohti täsmälleen silloin, kun sen itseisarvojono suppenee nollaan.
      http://www.math.jyu.fi/matpo/kirja/rfa/index-48.html

      Vaikeuksia luetun ymmärtämisessä? En tiedä kuinka mones pelle olet raja-arvoa määritelemässä mutta lukujonon raja-arvoa ei todellakaan lasketa sen alkioiden itseisarvoista niinkuin joku arveli.


  • Ettekö tosiaan ymmärtäneet ommenttiani / 14:34?

    Lukujonon u(n) raja-arvo on U sjvs kun l U - u(n) l < epsilon kun n > n(epsilon).
    Käytin vain merkintää epsilon = r ja n(epsilon) = delta(epsilon) = d(r).

    Voiko täträ aloittajan esimerkkiä enää yksinkertaisemmin käsitellä? Mutta silti "kommenttia pukkaa"!

    • Tuolla taas aloittaja kirjoitti, että kyseessä on lukion kurssi, jossa ei epsilon-delta-tekniikkaa käytetä.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Tuolla taas aloittaja kirjoitti, että kyseessä on lukion kurssi, jossa ei epsilon-delta-tekniikkaa käytetä.

      Mitenkäs se raja-arvo voidaan määritellä ilman epsilon-delta-tekniikkaa?


    • Joissain lukion matematiikan kirjoissa näköjään opetetaan muuntamaan lukujono vastaavaksi funktioksi. Po. tapauksessa se ei käy suoraan, koska (-1/2)^x ei ole määritelty koko reaalilukualueella.


  • Ilmeisesti tuo epsilon-delta tms tekniikan soveltaminen tulee vasta syventävillä kursseilla, esim MAA 13. Alemmilla kursseilla lukujonot tyypillisesti muunnetaan muotoon, josta voidaan päätellä raja-arvo. Esim. po tehtävässä voitaisiin tehdä oletus, että raja-arvo on 0, ja sitten tarkastella lukujonon jäsenen ja oetetun raja-arvon "etäisyyttä" l (-1/2)^n - 0 l = (1/2)^n, minkä voidaan osoittaa menevän nollaan esim. vertaamalla jonoon 1/n, kun n menee äärettömään.

    • Juuri tuon "etäisyyden" minä kommentissani annoin. Mutta mitä muuta se, että jokin suure, esim. tässä 1/2^n, menee nollaan, voi tarkoittaa kuin sitä, että otettiinpa kuinka pieni luku (epsilon) tahansa niin tuo suure on sitä pienempi kunhan n on riittävän súuri (> n(epsilon))

      Eihän raja-arvosta tai siitä, että lähestytään tuota raja-arvoa, voi puhua, jos ei ole määritelty mitä tämä tarkoittaa.

      Ihan vastaava on esim. derivaatta. Se on tietty raja-arvo mutta ei merkitse mitään jos ei tiedetä, mitä käsite "raja-arvo" tarkoittaa.

      En tiedä kouluopetuksesta mutta ihmettelen jos näitä asioita käsiteltäisiin ilman määritelmiä. Varsinkin kun tuossa raja-arvon määäritelmässä ei ole mitään vaikeaa. Selvempi asia se lopulta on kuin jokin epääräinen "menee nollaan" tai "lähestyy arvoa U".


    • Esim. matematiikan taito 9 määritellään seuraavasti: "Lukujono (an) suppenee kohti raja-arvoa a, jos sen termit an saadaan mielivaltaisen lähelle lukua a, kun n valitaan riittävän suureksi." Eli jää kvalitatiiviseksi, pitää vain jollain tavoin osoittaa, että an-a lähestyy nollaa, kun n kasvaa suureksi.


    • Eikö tuo määritelmä ole väärin. Valitaan jonoksi a_n=1 kun n on pariton ja a_n=0 kun n on parillinen. Nyt valitaan riittävän suuri luku n, vaikka 1, jolloin raja-arvo on 1. Tai n=0, jolloin raja-arvo on 0.

      Oleellista raja-arvon määritelmässä on että, jos valitaan positiivinen luku epsilon , niin että jostain indeksistä alkaen kaikilla sitä suuremmilla indekseillä an eroaa a:sta korkeintaa epsilonin verran. Tämän nojalla esimerkissäni antamallani jonolla ei ole raja-arvoa, mikä nähdään vaikkapa valitsemalla epsilon = 1/3.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Esim. matematiikan taito 9 määritellään seuraavasti: "Lukujono (an) suppenee kohti raja-arvoa a, jos sen termit an saadaan mielivaltaisen lähelle lukua a, kun n valitaan riittävän suureksi." Eli jää kvalitatiiviseksi, pitää vain jollain tavoin osoittaa, että an-a lähestyy nollaa, kun n kasvaa suureksi.

      Tuo saaminen on mielenkiintoinen asia. Minun ex. vaimoni aina toisinaan sai.
      Tosin matematiikan kanssa saamisella ei ole mitään tekemistä.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Eikö tuo määritelmä ole väärin. Valitaan jonoksi a_n=1 kun n on pariton ja a_n=0 kun n on parillinen. Nyt valitaan riittävän suuri luku n, vaikka 1, jolloin raja-arvo on 1. Tai n=0, jolloin raja-arvo on 0.

      Oleellista raja-arvon määritelmässä on että, jos valitaan positiivinen luku epsilon , niin että jostain indeksistä alkaen kaikilla sitä suuremmilla indekseillä an eroaa a:sta korkeintaa epsilonin verran. Tämän nojalla esimerkissäni antamallani jonolla ei ole raja-arvoa, mikä nähdään vaikkapa valitsemalla epsilon = 1/3.

      Tuossa määritelmässä tarkoitetaan yksikäsitteistä lukua a, ja että kaikki lukujonon jäsenet lähestyvät sitä suurilla n arvoilla. Kvalitatiivisesti ilmaistuna sama kuin e,n-määritelmä.
      Esim. lukujonon n/(n+1) raja-arvo ratkaistaan lukion perusmatematiikassa käsittääkseni siten, että muunnetaan muotoon 1/(1+1/n), ja todetaan 1/v lähestyvän 0 suurilla n arvoilla, jolloin lukujono -> 1.


    • Juuri näin. Lukiomatematiikassa ei ole aikoihin esitetty e,d-määritelmiä, vaan raja-arvon määritelmä yritetään havainnollistaa yksinkertaisten esimerkkien ja kuvaajien avulla. Tämän jälkeen annetaan tiettyjen perusjonotyyppien raja-arvot (n^r, q^n, log n jne.) sekä raja-arvojen tavallisimmat laskusäännöt.

      Harjoitustehtävissä sitten annetut jonolausekkeet sievennetään sellaiseen muotoon, joista raja-arvot voidaan päätellä yllä mainittujen tietojen avulla.

      Alkuperäisessä kysymyksessä ei siis ole muuta tehtävää, kuin todeta, että koska |-1/2| < 1, niin perustietojen nojalla (-1/2)^n --> 0.


    • Vai että "perustietojen nojalla" !

      Raja-arvot siis näköjään kouluissa voidaan päätellä ilman että on määritelty, mitä käsite "raja-arvo" tarkoittaa!

      Ei tuo määrittely olisi mitenkään vaikeaa. Vaikkapa tasogeometriassa on paljoin hankalampia juttuja joita kai kuitenkin kouluissa käsitellään.

      Ei ihme jos puhutaan koululaisten matemaattisen tason laskusta

      Long live the marching morons!


    • Tuollahan oli erään lukion matematiikan kirjan määritelmä: "Lukujono (an) suppenee kohti raja-arvoa a, jos sen termit an saadaan mielivaltaisen lähelle lukua a, kun n valitaan riittävän suureksi."
      Luulisin, että tuo raja-arvon määritelmä on tavalliselle lukiolaiselle paljon selkeämpi kuin jokin e,n-määritelmä, johion ehtii tutustua yliopistossa, jos jatkaa matematiikan opintoja.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Eikö tuo määritelmä ole väärin. Valitaan jonoksi a_n=1 kun n on pariton ja a_n=0 kun n on parillinen. Nyt valitaan riittävän suuri luku n, vaikka 1, jolloin raja-arvo on 1. Tai n=0, jolloin raja-arvo on 0.

      Oleellista raja-arvon määritelmässä on että, jos valitaan positiivinen luku epsilon , niin että jostain indeksistä alkaen kaikilla sitä suuremmilla indekseillä an eroaa a:sta korkeintaa epsilonin verran. Tämän nojalla esimerkissäni antamallani jonolla ei ole raja-arvoa, mikä nähdään vaikkapa valitsemalla epsilon = 1/3.

      Näinhän se on. Jos halutaan selvittää annetun lukujonon raja-arvo, niin voidaan valita mielivaltaisesti joku lukujono ja selvittää sen raja-arvo. Kätevää ja helppoa kuin heinänteko.


Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastaista viestiä.