Olisiko oikein tai kohtuullista sanoa esim.
2^(1/3) = noin 3^0,2 (2^0,5) /100 ?
Onko tarpeeksi lähellä?
Millä kaavoilla lähtisitte ratkomaan keskustelun otsikon kysymystä?
2^(1/3) = noin 3^0,2 (2^0,5) /100 ?
Onko tarpeeksi lähellä?
Millä kaavoilla lähtisitte ratkomaan keskustelun otsikon kysymystä?
Vastaukset 5
Vanhimmat
Tarkkuus riippuu tilanteesta. Yleisesti ei ole määritelmää sille, milloin arvot ovat suunnilleen yhtäsuuria. Jos haluaa olla tarkka, voi sanoa esimerkiksi arvojen erotuksen itseisarvon olevan alle 0,00005.
Juurten esittäminen toisten juurien avulla ei ole mahdollista. Polynomit voi esittää lineaarisesti riippumattomassa muodossa a*(x-x1)*(x-x2)*... = 0. Jos juuria olisi muita, ei esitystapa olisi yksikäsitteinen.
Sen sijaan yksittäisen juuren saattaa pystyä esittämään tarkalla numeroarvolla tai siitä voi kenties muodostaa sarjakehitelmän.
Aloittajalla itsellään oli ajatuksena se, että algebrasta löytyy kaavoja, kuten kahden neliön erotus.
Entä tuo sarjakehitelmä? Taylorin polynomi, vai joku muu?
Kyse lienee funktion konvergenssista tietyllä välillä ja laskennallisesta kompleksisuudesta. Wiki-sivuilta löytyy kuvaus Taylorin sarjakehitelmästä. Jos laskettavan funktion tarkkuus saadaan rajoitettua, voi sen arvon laskeminen tulla mahdolliseksi pienemmällä vaivalla. Usein voidaan tehdä myös paloittain määrittelyä ja vaikkapa aproksimoida arvoja tietyllä välillä esim. suoralla. Laskenta etenee siis juurta(juuria) kohti tietyllä nopeudella ja valitsemalla aproksimoivan funktion sopivasti, prosessi nopeutuu, mutta samalla voidaan menettää osa juurista. On siis pysyttävä riittävän lähellä juurta(jonka arvoa ei tiedetä tarkasti).
Mielenkiintoinen asia tuo konvergenssi sinällään. Että funktio näyttää viettävän, taipuvan johonkin suuntaan, kuin siellä olisi magneetti, vetämässä puoleensa.
Ajattelin asiaa äskettäin yksinkertaisella tapauksella. Neliöjuuren arvo lähenee yhtä, jos juurrettava luku on ykköstä suurempi, ja pienenee, ykköstä kohti. Mutta samoin lähenee neliöjuuren arvo yhtä, jos juurrettava luku on nollan ja ykkösen välissä, ja kasvaa ykköseen päin. Kuin yhden kohdalla olisi jokin vetovoima, joka saa funktion taipumaan sinne päin. Vai eikö tämä ole sama asia kuin konvergenssi?
Neliöjuuri(x) voitaisiin sanoa toisin:
geometrinen keskiarvo(1,x).
Mielestäni ovat matematiikassa hauskoja, mielenkiintoisia tämän tyyppiset kiertoilmaukset, että miten monilla eri tavoilla sama asia voitaisiin ilmaista.