Lammas on kiinnitetty 1m pitkässä narussa rautakankeen. Se syö ruohoa ympyrän muotoiselta alueelta. Kun lammas on syönyt ruohon, sen kiinnityspaikka siirretään ympyrän kehälle. Kuinka pitkä narun tulee nyt olla, jotta lammas saa syötyä yhtä paljon ruohoa kuin alkutilanteessa?
Lammastehtävä
Anonyymi
22
1215
Vastaukset
- Anonyymi
Riippuu lampaasta. Jos se on ensimmäisessä ympyrässä syönyt niin paljon että jalat ei enää kannata, niin sitten ei narulla ole enää merkitystä.
- Anonyymi
Oisko jatain 19 % pitempi.
- Anonyymi
Itse arvioin, että noin 25-26% pidempi mutta mitään yhtälöä en tähän keksinyt.
- Anonyymi
Johdin yhtälön 1-(r/R)^2 = arccos (R/2r), siitä tuo 19 %.
- Anonyymi
Mitä merkitset tehtävässä R- ja r-kirjaimella?
- Anonyymi
Olkoon rautakanki pisteessä (r,0). Tehtävän r = 1.Lammas syö ympyrän
(x - r)^2 y^2 = r^2 alueen pii*r^2.
Toinen ympyrä olkoon x^2 y^2 = R^2
Nähdään että R < 2r sillä muuten olisi syötävä ala >= pii* 4r^2 - pii*r^2 = pii *sqrt(3r)^2 > alunperin syöty ala pii*r^2.
Nyt voidaan laskea ympyröiden leikkauspisteiden koordinaatit. Näitä pisteitä yhdistää jänne jonka pituus on laskettavissa, olkoon se a.Syntyy kaksi ympyräsegmenttiä, R-säteisen ja r-säteisen ympyrän segmentit. Kummankin segmentin korkeudet h(R) ja h(r) avat nyt laskettavissa. Samoin keskuskulmat alfa(R) ja alfa(r) Näistä voi laskea segmenttien pinta-alat:
S(R) = R^2/2 (pii*alfa(R)/180 - sin(alfa(R)) ja S(r) kun R korvataan kaavassa suureella r. Näiden summa pitää vähentää alasta pii*R^2 ja jäljelle jäävän alueen pinta-alan tulee olla = pii*r^2.
Käytännön laskuja en nyt viitsi tehdä.
Näin se käy, sanoi Billy Pilgrim.- Anonyymi
Lisäys: Segmenttien pinta-alat voi myös laskea kaavalla S(R) = 1/2(l(R)* R - a (R-h(R)) ja vastaavasti S(r). Tässä l(R) on keskuskulmaa alfa(R) vastaavan R-ympyrän kaaren pituus, Samoin kun R -> r.
Geogebralla: https://aijaa.com/bTrOWl minäkin saan että olisi r = 1.25
Koitin myös tehdä ne laskut, mutta sain yhtälön
(pi 2*asin(r/2))/2*r^2 - 2*asin(r/2) 1/2*r*sqrt(1-r^2/4) = pi
joten jokin meni vikaan, koska tuon ratkaisu on r = 1,33569.Geogebra on jotenkin niin jähmeä, että mä tein vielä SageMath:illä:
----
g = Graphics()
r1 = 1
r2 = sqrt(2)
dispText = r"\sqrt{2}"
r2 = 1.25
dispText = str(float(r2))
g = circle((0,0), r1, zorder=1, color='blue')
g = circle((0,0), r1, fill=True, zorder=1, color='blue', alpha=0.4)
y = var('y')
x0 = find_root(sqrt(r1^2-x^2)-sqrt(r2^2-(r1-x)^2), r1-r2, r1)
y0 = sqrt(r1-x0^2)
ang = atan(y0/x0)
if ang<0: ang = pi
A1 = pi*r1^2
A_seg = (ang/(2*pi))*pi*r1^2 - 1/2*r1*(x0)
ang2 = atan(y0/(r1-x0))
A2 = ((2*pi-2*ang2)/(2*pi))*pi*r2^2 - 2*A_seg
print (float(A1))
print (float(A2))
print (round(10^7*(A1-A2))==0)
g = points((x0, y0), pointsize=30, color='red')
g = line([(x0, y0), (r1, 0)], color='green', thickness=3)
g = line([(0,0), (x0, y0)], color='black')
g = points((r1,0), pointsize=20)
g = circle((r1, 0), r2)
g = text(r"$r_2 = " dispText r"$", ((x0 y0)/2 0.1, (x0 y0)/2 0.1), color='black',
fontsize='x-large', horizontal_alignment='left')
g.plot()
----
Mutta jotenkin tuossakin tein laskut väärin! Alunperin sain että r2 pitäs olla sqrt(2) ja siis leikkaus tapahtua kohdassa x=0, mutta se on kanssa väärin.minkkilaukku kirjoitti:
Geogebra on jotenkin niin jähmeä, että mä tein vielä SageMath:illä:
----
g = Graphics()
r1 = 1
r2 = sqrt(2)
dispText = r"\sqrt{2}"
r2 = 1.25
dispText = str(float(r2))
g = circle((0,0), r1, zorder=1, color='blue')
g = circle((0,0), r1, fill=True, zorder=1, color='blue', alpha=0.4)
y = var('y')
x0 = find_root(sqrt(r1^2-x^2)-sqrt(r2^2-(r1-x)^2), r1-r2, r1)
y0 = sqrt(r1-x0^2)
ang = atan(y0/x0)
if ang<0: ang = pi
A1 = pi*r1^2
A_seg = (ang/(2*pi))*pi*r1^2 - 1/2*r1*(x0)
ang2 = atan(y0/(r1-x0))
A2 = ((2*pi-2*ang2)/(2*pi))*pi*r2^2 - 2*A_seg
print (float(A1))
print (float(A2))
print (round(10^7*(A1-A2))==0)
g = points((x0, y0), pointsize=30, color='red')
g = line([(x0, y0), (r1, 0)], color='green', thickness=3)
g = line([(0,0), (x0, y0)], color='black')
g = points((r1,0), pointsize=20)
g = circle((r1, 0), r2)
g = text(r"$r_2 = " dispText r"$", ((x0 y0)/2 0.1, (x0 y0)/2 0.1), color='black',
fontsize='x-large', horizontal_alignment='left')
g.plot()
----
Mutta jotenkin tuossakin tein laskut väärin! Alunperin sain että r2 pitäs olla sqrt(2) ja siis leikkaus tapahtua kohdassa x=0, mutta se on kanssa väärin.Unohtakaa tuo y=var('y') . Eihän siitä haittaa ole mutta ei se tuossa mitään toimita.
minkkilaukku kirjoitti:
Unohtakaa tuo y=var('y') . Eihän siitä haittaa ole mutta ei se tuossa mitään toimita.
SageMäthiä voi suorittaa kätevästi esim. täällä: https://sagecell.sagemath.org/ jos ei omalle koneelle halua asentaa.
Kun minulla oli kaava
A_seg = ang/(2pi)*pi - A_kolmio,
niin tämähän vähennetään kaksi kertaa, mutta unohdin viedä kakkosen myös A_kolmion, eteen eli kerroin 1/2 lähtee pois. Oikea yhtälö on
(pi 2*asin(r/2))/2*r^2 - 2*asin(r/2) r*sqrt(1-r^2/4) = pi
ja se antaa tuloksen
r = 1,2512125.
- Anonyymi
Eikös tämä menisi integroimallakin, jos on jokin hyvä sovellus? En ole kokeillut, koska käsin vaikutti aika työläältä...
- Anonyymi
Käsin integroimalla kannattaa käyttää napakoordinaatistoja, ja suorittaa integrointi kahdessa erillisessä osassa ja laskea sitten yhteen. Laitoin sen tohon paperille, jos se jotakuta kiinnostaa. Napakoordinaatistointegroinnit ei taida olla kuitenkaan lukiokamaa, joten ei tähän tarvitse takertua...tein aikani kuluksi.
https://aijaa.com/WGrG87
aeija
- Anonyymi
Eikös tämä menisi integroimallakin, jos on jokin hyvä sovellus? En ole kokeillut, koska käsin vaikutti aika työläältä...
- Anonyymi
Meneehän se integroimallakin mutta kuten eilen 15:42 esitin voidaan tehtävä ratkaista ihan alkeismenetelmin, mikä tavallaan on tyylikkäämpää. Käytetään tuon kommenttini merkintöjä.
Ympyröiden leikkauspisteet ovat X,Y) ja (X, -Y), missä
X = R^2/(2r) ja Y = R sqrt(1 - (R/(2r))^2). Rittää laskea x-akselin yläåuolella oleva ala A jolloin vähennettävä ala on 2 A.
A = Int(0 <= x <= X, 0 <= y <= sqrt(r^- (x-r)^2)) dx dy Int(X <= x <= R, 0 <= y <= sqrt(R^2 - x^2)) dx dy
Sitten täytyy olla
pii*R^2 - 2 A = pii* r^2.
Siinähän se menetelmä. Laskeskelkoon kuka halua ja käsin tai millä ohjelmalla nyt sitten haluaa.
Mutta näin se käy, sanoi Billy Pilgrim. Sagessahan tosiaan on integrointikin olemassa. Numeerisella nyt ainakin, jotain se herjasi kun koitin ihan vaan
f1(x) = sqrt(1^2-x^2)
f2(x) = sqrt(1.25^2-(1-x)^2)
(f2-f1).integral()
Mutta numeerisesti onnistuu. Tein uuden koodin ja nyt se laskee alat oikein. Koodi osoitteessa: https://repl.it/@minkkilaukku2/lammaslaidunSAGE
- Anonyymi
Insinöörin tyylillä Excelin goalseekillä.
Muutetaan yhteisen jänteen pituutta, lasketaan pintaaloja ja lasketaan sopiva säde. (1,251m) - Anonyymi
Tälläiset yksinkertaiset tehtävät voi ratkaista sekunnissa Pythonilla ihan numeerisesti. Ei tarvita edes mitään kirjasto-ohjelmia. Pienemmän ympyrän (r) keskipiste on origossa ja suuremman (R) y-akselilla pisteessä (0,r). Aluksi lasketaan 1 mm:n erottelulla. Kasvatetaan R:ää kunnes saavutetaan haluttu pinta-ala. Segmenttien pinta-alojen integrointi (1 mm:n viipaleiden summaus) sujuu yhden rivin koodilla for-silmukassa.
Kun on satu selville oikea mm määrä, voidaan tulosta tarkentaa muuttamalla koodi 100 kertaa tarkemmaksi R:n arvoilla 125100...125200. Ja r = 100000.
Ei tarvitse selitellä mitään mistään. Kaikki tulee suoraan oikein riittävällä tarkkuudella.
pi = 3.14159265
r = 1000
for R in range(1100,1500):
__xe = int(R*(1.0-R**2*1.0/(4*r**2))**(1.0/2))
__As = 0.0
__for x in range(0,xe): As = (r**2-x**2)**(1.0/2) (R**2-x**2)**(1.0/2) - r
__A = pi*R**2-2*As
__print( R,int(A),int(A-pi*r**2) )
__if A>pi*r**2: break
#print( R,int(A),int(A-pi*r**2) )- Anonyymi
Onko tuo sinun mielestäsi tehtävän ratkaisemista?
Käytännön laskuissa tietokonetta tuleekin käyttää mutta kun on kyse tällaisesta rehtävästä josta pyydetään matemaattista ratkaisua niin kyllä se ratkaisutapa pitäisi antaa.
Mitä mielenkiintoisyta on tuon liekanarun pituuden numeroarvolla? Se on mielenkiintoista miten tulokseen päästään.
Palstalla alkaa esiintyä turhan usein tuollaisia "ratkaisuja". Yhtä hyvin voisit "kilauttaa kaverille" ja pyytää ratkaisemaan! - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Onko tuo sinun mielestäsi tehtävän ratkaisemista?
Käytännön laskuissa tietokonetta tuleekin käyttää mutta kun on kyse tällaisesta rehtävästä josta pyydetään matemaattista ratkaisua niin kyllä se ratkaisutapa pitäisi antaa.
Mitä mielenkiintoisyta on tuon liekanarun pituuden numeroarvolla? Se on mielenkiintoista miten tulokseen päästään.
Palstalla alkaa esiintyä turhan usein tuollaisia "ratkaisuja". Yhtä hyvin voisit "kilauttaa kaverille" ja pyytää ratkaisemaan!Mikä on ongelmasi? Opettele ensin lukemisen ymmärtämisen perusteet ja unohda kaikki kuvitelmasi ja luulosi ja olettamuksesi. Olet nyt totaalisesti täysin pihalla. Aivan kuten aina ennenkin. Keskity asioihin joista jotain ymmärrät. Opit matemaatiikan perusteet ehkä joskus tai sittet et ikinä. Oppiminen on todella vaikeaa tuolla asenteellasi!
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Mikä on ongelmasi? Opettele ensin lukemisen ymmärtämisen perusteet ja unohda kaikki kuvitelmasi ja luulosi ja olettamuksesi. Olet nyt totaalisesti täysin pihalla. Aivan kuten aina ennenkin. Keskity asioihin joista jotain ymmärrät. Opit matemaatiikan perusteet ehkä joskus tai sittet et ikinä. Oppiminen on todella vaikeaa tuolla asenteellasi!
Millähän tavoin lukujen syöttäminen tietokoneohjelmaan liittyy "matematiikan perusteisiin"?
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 692703
- 632634
- 681782
- 241617
- 201540
Tykkään susta
Elämäni loppuun asti. Olet niin suuresti siihen vaikuttanut. Tykkäsit tai et siitä91470- 151382
- 381233
Onko meillä
Molemmilla nyt hyvät fiilikset😢ei ainakaan mulla mutta eteenpäin on mentävä😏ikävä on, kait se helpottaa ajan myötä. Ko81197- 291131