1.Oletus on, että A on topologisen avaruuden (X,T) suljettu osajoukko. Jos F ( A on suljettu joukossa A, osoita, että F on suljettu joukossa X. Onko seuraava perustelu oikein:
Oletetaan, että F on suljettu.
Joukko on suljettu jos ja vain jos sen komplementti on avoin, eli X\A on avoin, siis X\A € T. Samoin A\F on avoin oletuksen nojalla. Nyt A\F € T_X\A ja T_X\A ( T, joten A\F € T. Siis joukon F komplementti on avoin joukossa X, mistä seuraa, että F on suljettu joukossa X.
2. Olkoon T diskreetti topologia joukolle X, ja olkoon f: X-->Y mikä tahansa funktio. Mikä on funktion f ja avaruuden (X,T) indusoima topologia joukolle Y?
Joukon Y topologia on muotoa
T_y = {V ( Y: f^-1(V) € T}
Nyt, kun kyseessä on diskreetti topologia, johon kuuluu joukon X potenssijoukot, eli kaikki joukot ovat sekä avoimia, että suljettuja, niin nythän kaikki joukon Y alkukuvat kuuluvat joukon X topologiaan? Tällä perusteella sanoisin, että joukolle Y indusoituu myös diskreetti topologia. Onko tämä riittävä perustelu?
Suljetuista joukoista ja indusoiduista topologioista
5
68
Vastaukset
- Anonyymi
Kun kirjoittelet sentään topologiasta olisi syytä jo olla tarkkana. Esim. "Oletetaan, että F on suljettu". Missä topolpgiassa? Tai "joukon X potenssijoukot". Tarkoittanet X:n osajoukkoja? Potenssijoukko on kaikkien osajoukkojen muodostama joukko.
En ole tavannut omissa kirjoissani merkintää F ( A. Mitä se tarkoittaa?
Diskreetissä topologiassa kaikki osajoukot ovat avoimia ja siis myös suljettuja. Y:n osajoukko U on avoin sjvs kun f^-1 (U) on avoin X:ssä.Koska jokainen X:n osajoukko on avoin on minkä tahansa Y:n osajoukon alkukuva siis avoin eli tuo joukko itse on avoin tuossa koindusoidussa topologiassa. Huomaa että myös tyhjän joukon alkukuva on avoin sillä se on tyhjä ja avoin X:n topologiassa. Näin saatu Y:n topologia on tosiaankin diskreetti.- Anonyymi
"Tai "joukon X potenssijoukot". Tarkoittanet X:n osajoukkoja? Potenssijoukko on kaikkien osajoukkojen muodostama joukko."
Kiitos korjauksesta, olen melko keltanokka vielä ja käsitteet ja määritelmät ovat välillä hakusessa.
"En ole tavannut omissa kirjoissani merkintää F ( A. Mitä se tarkoittaa?"
Tässä olen aistivinani pientä kettuilua, mutta merkitsin inkluusiota tuolla sululla. Siis F on A:n osajoukko. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
"Tai "joukon X potenssijoukot". Tarkoittanet X:n osajoukkoja? Potenssijoukko on kaikkien osajoukkojen muodostama joukko."
Kiitos korjauksesta, olen melko keltanokka vielä ja käsitteet ja määritelmät ovat välillä hakusessa.
"En ole tavannut omissa kirjoissani merkintää F ( A. Mitä se tarkoittaa?"
Tässä olen aistivinani pientä kettuilua, mutta merkitsin inkluusiota tuolla sululla. Siis F on A:n osajoukko.Ei ollut kettuilua. Mutta kun käyttää outoa merkintää olisi hyvä määritellä mitä se tarkoittaa.
Kun F on suljettu A:ssa (relatiivitopologiassa) se tarkoittaa sitä, että F on X:n suljetun osajoukon S ja joukon A leikkaus.Koska A on suljettu X:ssä on S:n ja A:n leikkaus suljettu X:ssä joten siis F on suljettu X:ssä.
"Samoin A\F on avoin oletuksen nojalla."
Niin, se on avoin A:ssa. En ihan pysty seuraamaan tuota mitä sen jälkeen tulee, mutta minusta se olisi helpompi näin:
A\F:n avoimuus A:ssa merkitsee, että on olemassa X:n avoin joukko U, jolle
A\F = U ∩ A
Piirrä kuva, josta huomaa, että F = U^C ∩ A, joten kahden X:ssä suljetun joukon leikkauksena X:ssä suljettu.- Anonyymi
Aivan, eli ei se ihan pätevä perustelu vielä ollut. Kiitti vinkistä.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Sdp on esittänyt maatalous- ja yritystuista leikkaamista
Joihin menee 10 miljardia euroa vuosittain. Minkä vuoksi äärioikeisto änkyttää jostain vuodesta 2026, kun ei demareiden1564628Persut = far-right Finns Party?
Eikös tuo tarkoita, että persut ovat äärioikeistoa? "In 2023, Petteri Orpo, of the National Coalition Party, unseated M194256Sanna Marin pitäisi palauttaa pääministeriksi
Oikeisto "voitti" vaalit valehtelemalla äänistäjille päin naamaa, joten heidät tulisi tuomita menettämään vaalitulos ja973615Ei me olla sielunkumppaneita
jos sellaisia edes on. En tiedä miksi niin kovasti pidin sinusta, varmaan olisi paljonkin hyviä syitä, mutta ehkä olit v423059Kokoomus kannatti aiemmin rahoitusmarkkinaveroa - kanta nyt muuttunut
Kokoomuksen linjanmuutos rahoitusmarkkinaveron suhteen on herättänyt kysymyksiä. Vielä aiemmin puolue antoi ymmärtää kan12463KÄVELYTREFFIT ?
Mikä on tuo konsepti. Ei kävely ole mitkään treffit. Se on hengailua, ilman mitään panostamista toiseen, go with the flo2461817Hevosmies kylän kunnioitettu herra
Hei, eikö olis aika pistää "nuoriso" kuriin? Tiedämme miten teidän "yhteisö" toimii sekä kylän vanhin herra, olet poruka281487Mies pelkää mahdollista raskautta
Millaisia ajatuksia seuraava herättää teissä? Olemme tunteneet miehen kanssa vuosikausia, seurustelleetkin jo pitkään j2571427Kiikkustuoli
Sunnuntai aamun hiljaisuutta ja rauhaisaa oloa. Aloitan taas uuden alustan, jospa edellisessä asiat tulee pohdittu ja sa1801334- 771291