1.Oletus on, että A on topologisen avaruuden (X,T) suljettu osajoukko. Jos F ( A on suljettu joukossa A, osoita, että F on suljettu joukossa X. Onko seuraava perustelu oikein:
Oletetaan, että F on suljettu.
Joukko on suljettu jos ja vain jos sen komplementti on avoin, eli X\A on avoin, siis X\A € T. Samoin A\F on avoin oletuksen nojalla. Nyt A\F € T_X\A ja T_X\A ( T, joten A\F € T. Siis joukon F komplementti on avoin joukossa X, mistä seuraa, että F on suljettu joukossa X.
2. Olkoon T diskreetti topologia joukolle X, ja olkoon f: X-->Y mikä tahansa funktio. Mikä on funktion f ja avaruuden (X,T) indusoima topologia joukolle Y?
Joukon Y topologia on muotoa
T_y = {V ( Y: f^-1(V) € T}
Nyt, kun kyseessä on diskreetti topologia, johon kuuluu joukon X potenssijoukot, eli kaikki joukot ovat sekä avoimia, että suljettuja, niin nythän kaikki joukon Y alkukuvat kuuluvat joukon X topologiaan? Tällä perusteella sanoisin, että joukolle Y indusoituu myös diskreetti topologia. Onko tämä riittävä perustelu?
Suljetuista joukoista ja indusoiduista topologioista
5
61
Vastaukset
- Anonyymi
Kun kirjoittelet sentään topologiasta olisi syytä jo olla tarkkana. Esim. "Oletetaan, että F on suljettu". Missä topolpgiassa? Tai "joukon X potenssijoukot". Tarkoittanet X:n osajoukkoja? Potenssijoukko on kaikkien osajoukkojen muodostama joukko.
En ole tavannut omissa kirjoissani merkintää F ( A. Mitä se tarkoittaa?
Diskreetissä topologiassa kaikki osajoukot ovat avoimia ja siis myös suljettuja. Y:n osajoukko U on avoin sjvs kun f^-1 (U) on avoin X:ssä.Koska jokainen X:n osajoukko on avoin on minkä tahansa Y:n osajoukon alkukuva siis avoin eli tuo joukko itse on avoin tuossa koindusoidussa topologiassa. Huomaa että myös tyhjän joukon alkukuva on avoin sillä se on tyhjä ja avoin X:n topologiassa. Näin saatu Y:n topologia on tosiaankin diskreetti.- Anonyymi
"Tai "joukon X potenssijoukot". Tarkoittanet X:n osajoukkoja? Potenssijoukko on kaikkien osajoukkojen muodostama joukko."
Kiitos korjauksesta, olen melko keltanokka vielä ja käsitteet ja määritelmät ovat välillä hakusessa.
"En ole tavannut omissa kirjoissani merkintää F ( A. Mitä se tarkoittaa?"
Tässä olen aistivinani pientä kettuilua, mutta merkitsin inkluusiota tuolla sululla. Siis F on A:n osajoukko. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
"Tai "joukon X potenssijoukot". Tarkoittanet X:n osajoukkoja? Potenssijoukko on kaikkien osajoukkojen muodostama joukko."
Kiitos korjauksesta, olen melko keltanokka vielä ja käsitteet ja määritelmät ovat välillä hakusessa.
"En ole tavannut omissa kirjoissani merkintää F ( A. Mitä se tarkoittaa?"
Tässä olen aistivinani pientä kettuilua, mutta merkitsin inkluusiota tuolla sululla. Siis F on A:n osajoukko.Ei ollut kettuilua. Mutta kun käyttää outoa merkintää olisi hyvä määritellä mitä se tarkoittaa.
Kun F on suljettu A:ssa (relatiivitopologiassa) se tarkoittaa sitä, että F on X:n suljetun osajoukon S ja joukon A leikkaus.Koska A on suljettu X:ssä on S:n ja A:n leikkaus suljettu X:ssä joten siis F on suljettu X:ssä.
"Samoin A\F on avoin oletuksen nojalla."
Niin, se on avoin A:ssa. En ihan pysty seuraamaan tuota mitä sen jälkeen tulee, mutta minusta se olisi helpompi näin:
A\F:n avoimuus A:ssa merkitsee, että on olemassa X:n avoin joukko U, jolle
A\F = U ∩ A
Piirrä kuva, josta huomaa, että F = U^C ∩ A, joten kahden X:ssä suljetun joukon leikkauksena X:ssä suljettu.- Anonyymi
Aivan, eli ei se ihan pätevä perustelu vielä ollut. Kiitti vinkistä.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Useita puukotettu Tampereella
Mikäs homma tämä nyt taas on? "Useaa henkilöä on puukotettu Tampereen keskustassa kauppakeskus Ratinan lähistöllä." ht2344502Kuka rääkkää eläimiä Puolangalla?
Poliisi ampui toistakymmentä nälkiintynyttä eläintä Puolangalla Tilalta oli ollut karkuteillä lähes viisikymmentä nälkii752924- 472433
Meneeköhän sulla
oikeasti pinnan alla yhtä huonosti kuin mulla? Tai yhtä huonosti mutta jollain eri tyylillä? Ei olisi pitänyt jättää sua451737- 781409
Lähetä terveisesi kaipaamallesi henkilölle
Vauva-palstalta tuttua kaipaamista uudessa ympäristössä. Kaipuu jatkukoon 💘831212- 201137
PS uusimman gallupin rakettimainen nousija
https://yle.fi/a/74-20170641 Aivan ylivoimaisesti suurin kannatuksen nousu PS:lle. Nousu on alkanut ja jatkuu 2 vuoden137939- 69908
Sellainen tunne sydämessä
Että nainen olet kaivannut minua. Tai sanonko että oikeastaan koet sitä samaa nostalgiaa, kaipuuta ja mukavia muistoja,86874