1.Oletus on, että A on topologisen avaruuden (X,T) suljettu osajoukko. Jos F ( A on suljettu joukossa A, osoita, että F on suljettu joukossa X. Onko seuraava perustelu oikein:
Oletetaan, että F on suljettu.
Joukko on suljettu jos ja vain jos sen komplementti on avoin, eli X\A on avoin, siis X\A € T. Samoin A\F on avoin oletuksen nojalla. Nyt A\F € T_X\A ja T_X\A ( T, joten A\F € T. Siis joukon F komplementti on avoin joukossa X, mistä seuraa, että F on suljettu joukossa X.
2. Olkoon T diskreetti topologia joukolle X, ja olkoon f: X-->Y mikä tahansa funktio. Mikä on funktion f ja avaruuden (X,T) indusoima topologia joukolle Y?
Joukon Y topologia on muotoa
T_y = {V ( Y: f^-1(V) € T}
Nyt, kun kyseessä on diskreetti topologia, johon kuuluu joukon X potenssijoukot, eli kaikki joukot ovat sekä avoimia, että suljettuja, niin nythän kaikki joukon Y alkukuvat kuuluvat joukon X topologiaan? Tällä perusteella sanoisin, että joukolle Y indusoituu myös diskreetti topologia. Onko tämä riittävä perustelu?
Oletetaan, että F on suljettu.
Joukko on suljettu jos ja vain jos sen komplementti on avoin, eli X\A on avoin, siis X\A € T. Samoin A\F on avoin oletuksen nojalla. Nyt A\F € T_X\A ja T_X\A ( T, joten A\F € T. Siis joukon F komplementti on avoin joukossa X, mistä seuraa, että F on suljettu joukossa X.
2. Olkoon T diskreetti topologia joukolle X, ja olkoon f: X-->Y mikä tahansa funktio. Mikä on funktion f ja avaruuden (X,T) indusoima topologia joukolle Y?
Joukon Y topologia on muotoa
T_y = {V ( Y: f^-1(V) € T}
Nyt, kun kyseessä on diskreetti topologia, johon kuuluu joukon X potenssijoukot, eli kaikki joukot ovat sekä avoimia, että suljettuja, niin nythän kaikki joukon Y alkukuvat kuuluvat joukon X topologiaan? Tällä perusteella sanoisin, että joukolle Y indusoituu myös diskreetti topologia. Onko tämä riittävä perustelu?
Vastaukset 5
Vanhimmat
Kun kirjoittelet sentään topologiasta olisi syytä jo olla tarkkana. Esim. "Oletetaan, että F on suljettu". Missä topolpgiassa? Tai "joukon X potenssijoukot". Tarkoittanet X:n osajoukkoja? Potenssijoukko on kaikkien osajoukkojen muodostama joukko.
En ole tavannut omissa kirjoissani merkintää F ( A. Mitä se tarkoittaa?
Diskreetissä topologiassa kaikki osajoukot ovat avoimia ja siis myös suljettuja. Y:n osajoukko U on avoin sjvs kun f^-1 (U) on avoin X:ssä.Koska jokainen X:n osajoukko on avoin on minkä tahansa Y:n osajoukon alkukuva siis avoin eli tuo joukko itse on avoin tuossa koindusoidussa topologiassa. Huomaa että myös tyhjän joukon alkukuva on avoin sillä se on tyhjä ja avoin X:n topologiassa. Näin saatu Y:n topologia on tosiaankin diskreetti.
"Tai "joukon X potenssijoukot". Tarkoittanet X:n osajoukkoja? Potenssijoukko on kaikkien osajoukkojen muodostama joukko."
Kiitos korjauksesta, olen melko keltanokka vielä ja käsitteet ja määritelmät ovat välillä hakusessa.
"En ole tavannut omissa kirjoissani merkintää F ( A. Mitä se tarkoittaa?"
Tässä olen aistivinani pientä kettuilua, mutta merkitsin inkluusiota tuolla sululla. Siis F on A:n osajoukko.
Ei ollut kettuilua. Mutta kun käyttää outoa merkintää olisi hyvä määritellä mitä se tarkoittaa.
Kun F on suljettu A:ssa (relatiivitopologiassa) se tarkoittaa sitä, että F on X:n suljetun osajoukon S ja joukon A leikkaus.Koska A on suljettu X:ssä on S:n ja A:n leikkaus suljettu X:ssä joten siis F on suljettu X:ssä.
"Samoin A\F on avoin oletuksen nojalla."
Niin, se on avoin A:ssa. En ihan pysty seuraamaan tuota mitä sen jälkeen tulee, mutta minusta se olisi helpompi näin:
A\F:n avoimuus A:ssa merkitsee, että on olemassa X:n avoin joukko U, jolle
A\F = U ∩ A
Piirrä kuva, josta huomaa, että F = U^C ∩ A, joten kahden X:ssä suljetun joukon leikkauksena X:ssä suljettu.
Aivan, eli ei se ihan pätevä perustelu vielä ollut. Kiitti vinkistä.