1.Oletus on, että A on topologisen avaruuden (X,T) suljettu osajoukko. Jos F ( A on suljettu joukossa A, osoita, että F on suljettu joukossa X. Onko seuraava perustelu oikein:
Oletetaan, että F on suljettu.
Joukko on suljettu jos ja vain jos sen komplementti on avoin, eli X\A on avoin, siis X\A € T. Samoin A\F on avoin oletuksen nojalla. Nyt A\F € T_X\A ja T_X\A ( T, joten A\F € T. Siis joukon F komplementti on avoin joukossa X, mistä seuraa, että F on suljettu joukossa X.
2. Olkoon T diskreetti topologia joukolle X, ja olkoon f: X-->Y mikä tahansa funktio. Mikä on funktion f ja avaruuden (X,T) indusoima topologia joukolle Y?
Joukon Y topologia on muotoa
T_y = {V ( Y: f^-1(V) € T}
Nyt, kun kyseessä on diskreetti topologia, johon kuuluu joukon X potenssijoukot, eli kaikki joukot ovat sekä avoimia, että suljettuja, niin nythän kaikki joukon Y alkukuvat kuuluvat joukon X topologiaan? Tällä perusteella sanoisin, että joukolle Y indusoituu myös diskreetti topologia. Onko tämä riittävä perustelu?
Suljetuista joukoista ja indusoiduista topologioista
5
74
Vastaukset
- Anonyymi
Kun kirjoittelet sentään topologiasta olisi syytä jo olla tarkkana. Esim. "Oletetaan, että F on suljettu". Missä topolpgiassa? Tai "joukon X potenssijoukot". Tarkoittanet X:n osajoukkoja? Potenssijoukko on kaikkien osajoukkojen muodostama joukko.
En ole tavannut omissa kirjoissani merkintää F ( A. Mitä se tarkoittaa?
Diskreetissä topologiassa kaikki osajoukot ovat avoimia ja siis myös suljettuja. Y:n osajoukko U on avoin sjvs kun f^-1 (U) on avoin X:ssä.Koska jokainen X:n osajoukko on avoin on minkä tahansa Y:n osajoukon alkukuva siis avoin eli tuo joukko itse on avoin tuossa koindusoidussa topologiassa. Huomaa että myös tyhjän joukon alkukuva on avoin sillä se on tyhjä ja avoin X:n topologiassa. Näin saatu Y:n topologia on tosiaankin diskreetti.- Anonyymi
"Tai "joukon X potenssijoukot". Tarkoittanet X:n osajoukkoja? Potenssijoukko on kaikkien osajoukkojen muodostama joukko."
Kiitos korjauksesta, olen melko keltanokka vielä ja käsitteet ja määritelmät ovat välillä hakusessa.
"En ole tavannut omissa kirjoissani merkintää F ( A. Mitä se tarkoittaa?"
Tässä olen aistivinani pientä kettuilua, mutta merkitsin inkluusiota tuolla sululla. Siis F on A:n osajoukko. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
"Tai "joukon X potenssijoukot". Tarkoittanet X:n osajoukkoja? Potenssijoukko on kaikkien osajoukkojen muodostama joukko."
Kiitos korjauksesta, olen melko keltanokka vielä ja käsitteet ja määritelmät ovat välillä hakusessa.
"En ole tavannut omissa kirjoissani merkintää F ( A. Mitä se tarkoittaa?"
Tässä olen aistivinani pientä kettuilua, mutta merkitsin inkluusiota tuolla sululla. Siis F on A:n osajoukko.Ei ollut kettuilua. Mutta kun käyttää outoa merkintää olisi hyvä määritellä mitä se tarkoittaa.
Kun F on suljettu A:ssa (relatiivitopologiassa) se tarkoittaa sitä, että F on X:n suljetun osajoukon S ja joukon A leikkaus.Koska A on suljettu X:ssä on S:n ja A:n leikkaus suljettu X:ssä joten siis F on suljettu X:ssä.
"Samoin A\F on avoin oletuksen nojalla."
Niin, se on avoin A:ssa. En ihan pysty seuraamaan tuota mitä sen jälkeen tulee, mutta minusta se olisi helpompi näin:
A\F:n avoimuus A:ssa merkitsee, että on olemassa X:n avoin joukko U, jolle
A\F = U ∩ A
Piirrä kuva, josta huomaa, että F = U^C ∩ A, joten kahden X:ssä suljetun joukon leikkauksena X:ssä suljettu.- Anonyymi
Aivan, eli ei se ihan pätevä perustelu vielä ollut. Kiitti vinkistä.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Olen väsynyt tähän
En osaa lopettaa ja koen huonoa omaatuntoa tästä. Kaikki on muutenkin turhaa ja tekemisesi sattuvat. Tunteita on vain hy465670Duunarit hylkäsivät vasemmistoliiton, siitä tuli feministinaisten puolue
Pääluottamusmies Jari Myllykoski liittyi vasemmistoliittoon, koska se oli duunarien puolue. Sitä samaa puoluetta ei enää2405491Oppiiko vasemmistolaiset valehtelun jo kotonaan?
Sillä vasemmistolaiset/äärivasemmistolaiset valehtelee ja keksii asioita omasta päästään todella paljon. Esim. joku vas2332979Muistakaa persut, että TE petitte, ei kokoomus
Miksikö kukaan ei arvostele kokoomusta? No sen vuoksi, että kokoomus noudattaa vaalilupauksiaan. Sen sijaan TE persut,792731Seuraava hallituspohja - Kokoomus, kepu, persut + KD
Kokoomus saa ainakin 20% kannatuksen ensi vaaleissa, keskusta sanoisin noin 15%, persut todennäköisesti enemmän, ehkä 171482486- 692121
Outo ilmiö - vasemmistolaiset eivät kirjoita mitään kokoomuksesta
joka sentään johtaa hallitusta, ja jonka talouspolitiikkaa noudatetaan. Nämä muutamat vasemmistolaiset jotka täällä aina492026- 701860
- 2121778
Miksi et voi tutustua minuun irl?
Vastaa yleisellä tasolla/ympäripyöreästi, jos pelkäät tunnistamisia.1871389