Kaikkihan tuntevat Lagrangen neljän neliön lauseen: https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange's_four-square_theorem , jonka mukaan jokainen luonnollinen luku voidaan kirjoittaa neljän neliön summana. Mutta siinä neliöt saavat olla myös nollia. Entä jos vaaditaan, että kaikki neljä neliötä ovat positiivisia. Mitä lukuja ei tällöin pystytä esittämään?
Olen löytänyt kolme eri "tyyppiä" lukuja joita ei pysty esittämään (en nyt paljasta mitä ne ovat, niin jää keksimisen ilo). Lisäksi joitain alkupään lukuja ei näytä pystyvän. Mutta en kylläkään osaa todistaa onko näiden kolmen tyypin lisäksi äärettömästi jotain muita lukuja vai onko nuo alkupään "poikkeamat" vain poikkeamia.
Neljän positiivisen neliön summa
3
72
Vastaukset
Joo, noinhan se meneekin. Viimenen kohta tulee tosiaan siitä kun neljän neliön summa voi olla 0 (mod 8) vain jos jokainen neliö on 0 tai 4 (mod 8) eli jokainen luku, josta neliö otetaan on parillinen ja näin 4:lla voidaan jakaa ja löydetään pienempi.
Itse perustelin nuo, että muotoa
2^(2k 1)
2^(4k 1)*7
2^(4k-1)*3
eivät ole neljän positiivisen neliön summia, käyttämällä Jacobin neljän neliön lausetta: https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi's_four-square_theorem , joka kertoo kuinka monella tavalla luvun n voi esittää neljän neliön summana (kun sallitaan myös 0 ja lisäksi lasketaan mukaan kaikki eri järjestykset ja lukujen merkit (eli negatiivisetkin sallitaan)). Tätä lukumäärää merkitään r_4(n):llä.
Tein niin että löysin tarpeeksi esityksiä, joissa on nolla mukana, jotta niistä jo tulee tuo Jacobin kertoma määrä. Tällöinhän kokonaan positiivisia ei voi enää olla.
Eka:
2^(2k 1) = (2^k)^2 (2^k)^2
tälläisia esityksiä on 4C2 * 2^2 = 24 (valitaan kaksi paikkaa neljästä, joihin 2^k pistetään ja sitten /- kummallekin. Mutta Jacobin mukaan r_4(2^(2k 1)) = 24 * (1).
Toka:
2^(4k-1) * 7
= 2^(4k-2) * (1 4 9)
= 2^(2k-1)^2 2^(2k)^2 (3^(2k-1))^2
tässä taas on 4 * 3! * 2^3 = 192 = 24*(1 7) = r_4(2^(4k-1) * 7) esitystä.
Vastaavasti kolmas tapaus, siihen tulee kolme positiivista, joista kaksi on yhtäsuuria.
Jännästi muuten ilmaantuu nuo luvut 3 ja 7, jotka kahden ja kolmen neliön tapauksissa on niitä "ongelmallisia" lukuja esityksen olemassaololle.minkkilaukku kirjoitti:
Joo, noinhan se meneekin. Viimenen kohta tulee tosiaan siitä kun neljän neliön summa voi olla 0 (mod 8) vain jos jokainen neliö on 0 tai 4 (mod 8) eli jokainen luku, josta neliö otetaan on parillinen ja näin 4:lla voidaan jakaa ja löydetään pienempi.
Itse perustelin nuo, että muotoa
2^(2k 1)
2^(4k 1)*7
2^(4k-1)*3
eivät ole neljän positiivisen neliön summia, käyttämällä Jacobin neljän neliön lausetta: https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi's_four-square_theorem , joka kertoo kuinka monella tavalla luvun n voi esittää neljän neliön summana (kun sallitaan myös 0 ja lisäksi lasketaan mukaan kaikki eri järjestykset ja lukujen merkit (eli negatiivisetkin sallitaan)). Tätä lukumäärää merkitään r_4(n):llä.
Tein niin että löysin tarpeeksi esityksiä, joissa on nolla mukana, jotta niistä jo tulee tuo Jacobin kertoma määrä. Tällöinhän kokonaan positiivisia ei voi enää olla.
Eka:
2^(2k 1) = (2^k)^2 (2^k)^2
tälläisia esityksiä on 4C2 * 2^2 = 24 (valitaan kaksi paikkaa neljästä, joihin 2^k pistetään ja sitten /- kummallekin. Mutta Jacobin mukaan r_4(2^(2k 1)) = 24 * (1).
Toka:
2^(4k-1) * 7
= 2^(4k-2) * (1 4 9)
= 2^(2k-1)^2 2^(2k)^2 (3^(2k-1))^2
tässä taas on 4 * 3! * 2^3 = 192 = 24*(1 7) = r_4(2^(4k-1) * 7) esitystä.
Vastaavasti kolmas tapaus, siihen tulee kolme positiivista, joista kaksi on yhtäsuuria.
Jännästi muuten ilmaantuu nuo luvut 3 ja 7, jotka kahden ja kolmen neliön tapauksissa on niitä "ongelmallisia" lukuja esityksen olemassaololle.Tuli virhe riville
= 2^(2k-1)^2 2^(2k)^2 (3^(2k-1))^2
pitäisi olla
= 2^(2k-1)^2 (2^(2k))^2 (3*2^(2k-1))^2
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Minä itkin kotona kun tajusin että
Pelkuruuteni takia kun en lähestynyt vaikka järjestit otollisen hetken ja myöhemmin huomasin lasittuneen katseesi miten111685Muistutus t-Naiselle.
Olet ilkeä ja narsistinen k-pää. Annat itsestäsi kiltin kuvan ulospäin kelataksesi ihmiset ansaan. Sitten päsmäröit, hau1511332Ylen jälkiviisaat estotonta Kamala Harris suitsutusta
Kolme samanmielistä naikkosta hehkutti Kamala Harrisia ja haukkui Trumpia estottomasti. Nyt oli tarkoituksella valittu2831237Oho! Varmistusta odotellaan.
Pitäneekö paikkansa? "🇺🇦Ukrainian drones hit a 🇷🇺Russian Tu-22M3 bomber at the Olenya airfield,"1121072Mää oikeasti vielä kuolen
Tämän tilanteen takia. Minä tosissani yritin ja tiedän että tämä tilanne sattuu sinuunkin. Molemmat taidetaan olla niin42917Oiskohan se aika
Selvittää pää vihdoin ja viimein. Minun kaivattu ei todellakaan käy täällä ja piste. Ei ole mitään järkeä enää tuhlata t4865Kun Suomen uutisiin ei voi luottaa?
Kertoisitteko te uutismaailmasn perehtyneet ASIANTUNTIJAT nyt sitten sen, mihin voi?229824- 20749
- 24739
- 39722