Neljän positiivisen neliön summa

Kaikkihan tuntevat Lagrangen neljän neliön lauseen: https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange's_four-square_theorem , jonka mukaan jokainen luonnollinen luku voidaan kirjoittaa neljän neliön summana. Mutta siinä neliöt saavat olla myös nollia. Entä jos vaaditaan, että kaikki neljä neliötä ovat positiivisia. Mitä lukuja ei tällöin pystytä esittämään?

Olen löytänyt kolme eri "tyyppiä" lukuja joita ei pysty esittämään (en nyt paljasta mitä ne ovat, niin jää keksimisen ilo). Lisäksi joitain alkupään lukuja ei näytä pystyvän. Mutta en kylläkään osaa todistaa onko näiden kolmen tyypin lisäksi äärettömästi jotain muita lukuja vai onko nuo alkupään "poikkeamat" vain poikkeamia.

3

207

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
      • Joo, noinhan se meneekin. Viimenen kohta tulee tosiaan siitä kun neljän neliön summa voi olla 0 (mod 8) vain jos jokainen neliö on 0 tai 4 (mod 8) eli jokainen luku, josta neliö otetaan on parillinen ja näin 4:lla voidaan jakaa ja löydetään pienempi.

        Itse perustelin nuo, että muotoa
        2^(2k 1)
        2^(4k 1)*7
        2^(4k-1)*3
        eivät ole neljän positiivisen neliön summia, käyttämällä Jacobin neljän neliön lausetta: https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi's_four-square_theorem , joka kertoo kuinka monella tavalla luvun n voi esittää neljän neliön summana (kun sallitaan myös 0 ja lisäksi lasketaan mukaan kaikki eri järjestykset ja lukujen merkit (eli negatiivisetkin sallitaan)). Tätä lukumäärää merkitään r_4(n):llä.

        Tein niin että löysin tarpeeksi esityksiä, joissa on nolla mukana, jotta niistä jo tulee tuo Jacobin kertoma määrä. Tällöinhän kokonaan positiivisia ei voi enää olla.

        Eka:
        2^(2k 1) = (2^k)^2 (2^k)^2
        tälläisia esityksiä on 4C2 * 2^2 = 24 (valitaan kaksi paikkaa neljästä, joihin 2^k pistetään ja sitten /- kummallekin. Mutta Jacobin mukaan r_4(2^(2k 1)) = 24 * (1).

        Toka:
        2^(4k-1) * 7
        = 2^(4k-2) * (1 4 9)
        = 2^(2k-1)^2 2^(2k)^2 (3^(2k-1))^2

        tässä taas on 4 * 3! * 2^3 = 192 = 24*(1 7) = r_4(2^(4k-1) * 7) esitystä.

        Vastaavasti kolmas tapaus, siihen tulee kolme positiivista, joista kaksi on yhtäsuuria.

        Jännästi muuten ilmaantuu nuo luvut 3 ja 7, jotka kahden ja kolmen neliön tapauksissa on niitä "ongelmallisia" lukuja esityksen olemassaololle.


      • minkkilaukku kirjoitti:

        Joo, noinhan se meneekin. Viimenen kohta tulee tosiaan siitä kun neljän neliön summa voi olla 0 (mod 8) vain jos jokainen neliö on 0 tai 4 (mod 8) eli jokainen luku, josta neliö otetaan on parillinen ja näin 4:lla voidaan jakaa ja löydetään pienempi.

        Itse perustelin nuo, että muotoa
        2^(2k 1)
        2^(4k 1)*7
        2^(4k-1)*3
        eivät ole neljän positiivisen neliön summia, käyttämällä Jacobin neljän neliön lausetta: https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi's_four-square_theorem , joka kertoo kuinka monella tavalla luvun n voi esittää neljän neliön summana (kun sallitaan myös 0 ja lisäksi lasketaan mukaan kaikki eri järjestykset ja lukujen merkit (eli negatiivisetkin sallitaan)). Tätä lukumäärää merkitään r_4(n):llä.

        Tein niin että löysin tarpeeksi esityksiä, joissa on nolla mukana, jotta niistä jo tulee tuo Jacobin kertoma määrä. Tällöinhän kokonaan positiivisia ei voi enää olla.

        Eka:
        2^(2k 1) = (2^k)^2 (2^k)^2
        tälläisia esityksiä on 4C2 * 2^2 = 24 (valitaan kaksi paikkaa neljästä, joihin 2^k pistetään ja sitten /- kummallekin. Mutta Jacobin mukaan r_4(2^(2k 1)) = 24 * (1).

        Toka:
        2^(4k-1) * 7
        = 2^(4k-2) * (1 4 9)
        = 2^(2k-1)^2 2^(2k)^2 (3^(2k-1))^2

        tässä taas on 4 * 3! * 2^3 = 192 = 24*(1 7) = r_4(2^(4k-1) * 7) esitystä.

        Vastaavasti kolmas tapaus, siihen tulee kolme positiivista, joista kaksi on yhtäsuuria.

        Jännästi muuten ilmaantuu nuo luvut 3 ja 7, jotka kahden ja kolmen neliön tapauksissa on niitä "ongelmallisia" lukuja esityksen olemassaololle.

        Tuli virhe riville
        = 2^(2k-1)^2 2^(2k)^2 (3^(2k-1))^2
        pitäisi olla
        = 2^(2k-1)^2 (2^(2k))^2 (3*2^(2k-1))^2


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Tukalaa kuumuutta

      Tietäisitpä vaan kuinka kuumana olen käynyt viime päivät. Eikä johdu helteestä, vaan sinusta. Mitäköhän taikoja olet teh
      Ikävä
      42
      2732
    2. Mansikkatiloilla hyväksikäytetään ukrainalaisia

      Työolot ovat surkeita ja palkka kelvoton. https://yle.fi/a/74-20172942
      Maailman menoa
      343
      2474
    3. Sinä, ihastukseni

      Mitä haluaisit tehdä kanssani ensimmäisenä?
      Ihastuminen
      35
      2154
    4. Ensi kesänä

      Näin kesän viimeisenä minuutteina ajattelen sinua. Olisiko seuraava kesä "meidän" kesä? Tänä vuonna ei onnistuttu, mutta
      Ikävä
      47
      1906
    5. Tiedät ettei tule toimimaan.

      Mielenterveys ei kummallakaan kestä.
      Ikävä
      24
      1685
    6. Okei, myönnetään,

      Oisit sä saanut ottaa ne housutkin pois, mutta ehkä joskus jossain toisaalla. 😘
      Ikävä
      25
      1589
    7. Onko kaivatullasi

      himmeä kuuppa?
      Ikävä
      44
      1470
    8. Sokea "ystävälle"

      Oletko oikeasti noin sokea?
      Ikävä
      100
      1429
    9. En ymmärrä käytöstäsi

      Se on ollut eräänlaista hyväksikäyttöä. Että seura kyllä kelpaa palstan välityksellä silloin kun ei ole parempaakaan tek
      Ikävä
      139
      1385
    10. On jo heinäkuun viimeinen päivä.

      En taida nähdä sinua koskaan.
      Rakkaus ja rakastaminen
      36
      1176
    Aihe