Neljän positiivisen neliön summa

Kaikkihan tuntevat Lagrangen neljän neliön lauseen: https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange's_four-square_theorem , jonka mukaan jokainen luonnollinen luku voidaan kirjoittaa neljän neliön summana. Mutta siinä neliöt saavat olla myös nollia. Entä jos vaaditaan, että kaikki neljä neliötä ovat positiivisia. Mitä lukuja ei tällöin pystytä esittämään?

Olen löytänyt kolme eri "tyyppiä" lukuja joita ei pysty esittämään (en nyt paljasta mitä ne ovat, niin jää keksimisen ilo). Lisäksi joitain alkupään lukuja ei näytä pystyvän. Mutta en kylläkään osaa todistaa onko näiden kolmen tyypin lisäksi äärettömästi jotain muita lukuja vai onko nuo alkupään "poikkeamat" vain poikkeamia.

3

219

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
      • Joo, noinhan se meneekin. Viimenen kohta tulee tosiaan siitä kun neljän neliön summa voi olla 0 (mod 8) vain jos jokainen neliö on 0 tai 4 (mod 8) eli jokainen luku, josta neliö otetaan on parillinen ja näin 4:lla voidaan jakaa ja löydetään pienempi.

        Itse perustelin nuo, että muotoa
        2^(2k 1)
        2^(4k 1)*7
        2^(4k-1)*3
        eivät ole neljän positiivisen neliön summia, käyttämällä Jacobin neljän neliön lausetta: https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi's_four-square_theorem , joka kertoo kuinka monella tavalla luvun n voi esittää neljän neliön summana (kun sallitaan myös 0 ja lisäksi lasketaan mukaan kaikki eri järjestykset ja lukujen merkit (eli negatiivisetkin sallitaan)). Tätä lukumäärää merkitään r_4(n):llä.

        Tein niin että löysin tarpeeksi esityksiä, joissa on nolla mukana, jotta niistä jo tulee tuo Jacobin kertoma määrä. Tällöinhän kokonaan positiivisia ei voi enää olla.

        Eka:
        2^(2k 1) = (2^k)^2 (2^k)^2
        tälläisia esityksiä on 4C2 * 2^2 = 24 (valitaan kaksi paikkaa neljästä, joihin 2^k pistetään ja sitten /- kummallekin. Mutta Jacobin mukaan r_4(2^(2k 1)) = 24 * (1).

        Toka:
        2^(4k-1) * 7
        = 2^(4k-2) * (1 4 9)
        = 2^(2k-1)^2 2^(2k)^2 (3^(2k-1))^2

        tässä taas on 4 * 3! * 2^3 = 192 = 24*(1 7) = r_4(2^(4k-1) * 7) esitystä.

        Vastaavasti kolmas tapaus, siihen tulee kolme positiivista, joista kaksi on yhtäsuuria.

        Jännästi muuten ilmaantuu nuo luvut 3 ja 7, jotka kahden ja kolmen neliön tapauksissa on niitä "ongelmallisia" lukuja esityksen olemassaololle.


      • minkkilaukku kirjoitti:

        Joo, noinhan se meneekin. Viimenen kohta tulee tosiaan siitä kun neljän neliön summa voi olla 0 (mod 8) vain jos jokainen neliö on 0 tai 4 (mod 8) eli jokainen luku, josta neliö otetaan on parillinen ja näin 4:lla voidaan jakaa ja löydetään pienempi.

        Itse perustelin nuo, että muotoa
        2^(2k 1)
        2^(4k 1)*7
        2^(4k-1)*3
        eivät ole neljän positiivisen neliön summia, käyttämällä Jacobin neljän neliön lausetta: https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi's_four-square_theorem , joka kertoo kuinka monella tavalla luvun n voi esittää neljän neliön summana (kun sallitaan myös 0 ja lisäksi lasketaan mukaan kaikki eri järjestykset ja lukujen merkit (eli negatiivisetkin sallitaan)). Tätä lukumäärää merkitään r_4(n):llä.

        Tein niin että löysin tarpeeksi esityksiä, joissa on nolla mukana, jotta niistä jo tulee tuo Jacobin kertoma määrä. Tällöinhän kokonaan positiivisia ei voi enää olla.

        Eka:
        2^(2k 1) = (2^k)^2 (2^k)^2
        tälläisia esityksiä on 4C2 * 2^2 = 24 (valitaan kaksi paikkaa neljästä, joihin 2^k pistetään ja sitten /- kummallekin. Mutta Jacobin mukaan r_4(2^(2k 1)) = 24 * (1).

        Toka:
        2^(4k-1) * 7
        = 2^(4k-2) * (1 4 9)
        = 2^(2k-1)^2 2^(2k)^2 (3^(2k-1))^2

        tässä taas on 4 * 3! * 2^3 = 192 = 24*(1 7) = r_4(2^(4k-1) * 7) esitystä.

        Vastaavasti kolmas tapaus, siihen tulee kolme positiivista, joista kaksi on yhtäsuuria.

        Jännästi muuten ilmaantuu nuo luvut 3 ja 7, jotka kahden ja kolmen neliön tapauksissa on niitä "ongelmallisia" lukuja esityksen olemassaololle.

        Tuli virhe riville
        = 2^(2k-1)^2 2^(2k)^2 (3^(2k-1))^2
        pitäisi olla
        = 2^(2k-1)^2 (2^(2k))^2 (3*2^(2k-1))^2


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Keskisarja loisti A-studiossa, vauhkoontunut Sofia Virta munasi itsensä

      Keskisarja taas puhui 100% faktaa maahanmuuttoon liittyen. Kokoomuksen Kaumalta tuli pari hyvää puheenvuoroa, joskin muu
      Maailman menoa
      661
      3470
    2. Janni Tikkanen ohjattiin miesten pukuhuoneeseen

      Vai olisko sittenkin Janne Tikkanen? Jos siellä jalkojen välissä on miesten killukkeet, mieshän tämä Janni on. Ja kuuluu
      Kajaani
      100
      2728
    3. Sä olet epävakaa

      tai ainakin yrität onnistuneesti vaikuttaa siltä. Ei sun kanssa uskalla ruveta yhtään mihinkään, menis hommat ojasta all
      Ikävä
      21
      1721
    4. Rakastan ja ikävöin sinua

      Ei helpota tämä ikävä millään. Pelkäsin että tämä ajanjakso tulee olemaan juuri näin vaikea. Siksi halusin ennen tätä pä
      Ikävä
      77
      1612
    5. Mieti miten paljon yritin

      Löytää yhteyttä kanssasi uudelleen sen väärinymmärryksen jälkeen. Koen etten tullut puoleltasi hyvin kohdelluksi mies😔
      Ikävä
      51
      1565
    6. Vihjeketju naisille

      Kirjoita tähän vihjeesi kaivatullesi.
      Ikävä
      80
      1530
    7. Tiedän ettet tehnyt tahallasi pahaa

      Asiat tapahtuivat, ristiriidat ovat meitä vahvempia. Olemmeko me niin vahvoja, että selviämme tästäkin vielä? Aika paljo
      Ikävä
      110
      1510
    8. Teräväkielinen Virta jauhotti totaalisesti sössöttävän Keskisarjan

      Harvoin on noin suvereenia jauhotusta A-studiossa nähty. Ja minä äänestän demareita, joita ei oltu paikalle edes kutsut
      Maailman menoa
      364
      1475
    9. Kurkkiiko myyrä jo

      Milloin tulee kolostaan?
      Ikävä
      28
      1359
    10. Haluatko tietää totuuden?

      Olen kyllästynyt sinuun. Et herätä enää mielenkiintoa. Samat jutut x 100. Kuten narskuilla aina. Samalla tunnen myötätun
      Ikävä
      90
      1253
    Aihe