skalaarikentän viivaintegraali

ja vielä,
onko funktio f(x), a<=x<=b sama, kuin vektorifunktio g(t)=tî f(t)ĵ, a<=t<=b.
Ainakin geogebraan piirtää saman kuvan, vaikka ajattelin, että g olisi paikkavektori(parvi?) funktion f kuvaajan pisteisiin.

Olkoon vektorien A ja B sisätulo (pistetulo) (A,B).
1. Jos meillä on funktio f : R^n -> R ja C(t) on käyrä R^n:ssä parametrina t niin
viivaintegraali käyrää C pitkin on

Int (f(C(t)) * l C'(t) l) dt jossa siis funktion arvot otetaan käyrän C pisteissä. Erityisesti, kun f = 1 saadaan käyrän C kaarenpituus Int(l C'(t) l dt.


Kun esim. f (R) = x^2 y^2 ( = (R,R) ) ja C(t) = (x(t), y(t) niin C'(t) = (x'(t),y'(t)) ja viivaintegraali on

Int ((x(t)^2 y(t)^2) l C'(t) l dt.

Olkoon C annettu parametrinään x . C(x) on käyrä y = y(x) eli vektorimuodossa
C(x) = (x, y(x)). Tällöin C'(x) = (1, y'(x)) ja l C'(x) l =sqrt(1 y'(x)^2) .
Viivaintegraali on Int((x^2 y(x)^2) (sqrt(1 y'(x)^2) dx.
Integraalit otetaan siis sen halutun käyränpätkän yli eli parametri käy yli tietyn välin a <= t <= b.


Toinen esimerkki.Lasketaan Int(xyz) yli käyrän C(t)= (cos(t),sin(t),t).0 <= t <= 2 pii.
Tässä siis x(t) = cos(t), y(t) = sin(t) ja z(t) = t. C'(t) = ( - sin(t), cos(t),1) ja siis l C'(t) l = sqrt(sin^2(t) cos^2(t) 1) = sqrt(2).
Int(C:n yli) (xyz)dt = Int(0, 2 pii) (t sin(t) cos(t) sqrt(2) dt = - pii/sqrt(2).

Käyrän kaarenpituus saadaan kun f = 1 (f siis vakiofunktio).

2.Olkoon yleisemmin f: R^n -> R^m ja käyrä jota pitkin integroidaan olkoon C(t) =(x1(t),x2(t),...,xn(t))

f on siis muotoa Y = f(X) eli komponenttimuodossa

y(i) = fi ( x1,...,xn) i = 1,...,m

meillä on siis m kappaletta n:n muuttujan funktioita samassa rytäkässä Y = f(X).

Olkoon R^n :n käyrä jota pitkin integroidaan C(t) = (x1(t),...,xn(t)).
Käyrän tangenttivektori on dC(t)/dt ja yksikkötangenttivektori on

T = (dC/dt) / l dC/dt l. Viivaintegraali C:n yli on
Int(C:n yli) ( (f(C(t)), C'(t) ) dt. Huo maa että tuossa on nyt vektoreiden f(C(t)) ja C'(t) sisätulo kyseessä.

Tuo voidaan kirjoittaa T:n avulla Int((f(C(t),T)) ds missä siis kaarenpituus s on parametrinä:
ds= l C'(t) l dt.
Int((f(C(t)),C'(t))) dt = Int((f(C(t), C'(t) / l C'(t) l) * l C'(t) l))dt = Int((f(C(t),T)) ds

Mutta onko siis käyrä C ja sen parametrisaatio r(t) sama asia?
Jos esimerkiksi käyrä C voidaan esittää parametreinä x=x(t) ja y=y(t). Ja r(t)=x(t)i y(t)j. Jos sijoitan jonkin luvun t, r(t) antaa vektorin käyrän pisteeseen, kun parametrit antavat yksittäisen pisteen?

Opiskelen näitä siis täysin itsenäisesti, niin sorry nää käsitteet on aika vieraita.

Onko esimerkiksi vektori 2i 2j 2k sama asia, kuin piste(2,2,2)? Tai onko käyrä x^2 y^2=1 täsmälleen sama asia kuin vektorifunktio a(t)=(cos(t), sin(t)), 0<=t<=2pii ?

https://fi.wikipedia.org/wiki/Vektori
"Usein nämä vektorit [paikkavektorit] rinnastetaankin koordinaatiston pisteisiin. Kyseessä on kuitenkin tarkkaan ottaen eri asia."
>vektori ei ole piste

https://fi.wikipedia.org/wiki/Skalaarikenttä
"Skalaarifunktion lähtöjoukko on vektoriavaruus, joka on yleensä Euklidinen avaruus, ja jonka vektorit eli pisteet kuvautuvat maalijoukossa skalaareiksi."