Olkoon skalaarikenttä f : R^n -> R ja r(t) : [a, b] -> R^n käyrän C parametrisaatio.
Lasketaan siis f:n viivaintegraali käyrää C pitkin.
>Onko tuo r(t) siis vektorifunktio (paikkavektori käyrän C pisteeseen)? Wikipediassa (https://fi.wikipedia.org/wiki/Viivaintegraali) tuo r(t) on tummennettu, ikään kuin se olisi vektori.
Esimerkiksi jos f(x,y)=x^2 y^2; miten tulkitaan Wikipediaan kirjoitettu f(r(t)), jos r(t) on vektorifunktio?
Lasketaan siis f:n viivaintegraali käyrää C pitkin.
>Onko tuo r(t) siis vektorifunktio (paikkavektori käyrän C pisteeseen)? Wikipediassa (https://fi.wikipedia.org/wiki/Viivaintegraali) tuo r(t) on tummennettu, ikään kuin se olisi vektori.
Esimerkiksi jos f(x,y)=x^2 y^2; miten tulkitaan Wikipediaan kirjoitettu f(r(t)), jos r(t) on vektorifunktio?
Vastaukset 9
Vanhimmat
ja vielä,
onko funktio f(x), a<=x<=b sama, kuin vektorifunktio g(t)=tî f(t)ĵ, a<=t<=b.
Ainakin geogebraan piirtää saman kuvan, vaikka ajattelin, että g olisi paikkavektori(parvi?) funktion f kuvaajan pisteisiin.
Jos meillä on funktio y = y(x) niin sen kuvaaja on käyrä (x,y(x)) = x i y(x) j kun käyrän parametrina on x.
Kts. alla olevaa pitempää kommenttiani.
Älä sotke käsitteinä funktiota ja sen kuvaajaa (graph) keskenään.
Olkoon vektorien A ja B sisätulo (pistetulo) (A,B).
1. Jos meillä on funktio f : R^n -> R ja C(t) on käyrä R^n:ssä parametrina t niin
viivaintegraali käyrää C pitkin on
Int (f(C(t)) * l C'(t) l) dt jossa siis funktion arvot otetaan käyrän C pisteissä. Erityisesti, kun f = 1 saadaan käyrän C kaarenpituus Int(l C'(t) l dt.
Kun esim. f (R) = x^2 y^2 ( = (R,R) ) ja C(t) = (x(t), y(t) niin C'(t) = (x'(t),y'(t)) ja viivaintegraali on
Int ((x(t)^2 y(t)^2) l C'(t) l dt.
Olkoon C annettu parametrinään x . C(x) on käyrä y = y(x) eli vektorimuodossa
C(x) = (x, y(x)). Tällöin C'(x) = (1, y'(x)) ja l C'(x) l =sqrt(1 y'(x)^2) .
Viivaintegraali on Int((x^2 y(x)^2) (sqrt(1 y'(x)^2) dx.
Integraalit otetaan siis sen halutun käyränpätkän yli eli parametri käy yli tietyn välin a <= t <= b.
Toinen esimerkki.Lasketaan Int(xyz) yli käyrän C(t)= (cos(t),sin(t),t).0 <= t <= 2 pii.
Tässä siis x(t) = cos(t), y(t) = sin(t) ja z(t) = t. C'(t) = ( - sin(t), cos(t),1) ja siis l C'(t) l = sqrt(sin^2(t) cos^2(t) 1) = sqrt(2).
Int(C:n yli) (xyz)dt = Int(0, 2 pii) (t sin(t) cos(t) sqrt(2) dt = - pii/sqrt(2).
Käyrän kaarenpituus saadaan kun f = 1 (f siis vakiofunktio).
2.Olkoon yleisemmin f: R^n -> R^m ja käyrä jota pitkin integroidaan olkoon C(t) =(x1(t),x2(t),...,xn(t))
f on siis muotoa Y = f(X) eli komponenttimuodossa
y(i) = fi ( x1,...,xn) i = 1,...,m
meillä on siis m kappaletta n:n muuttujan funktioita samassa rytäkässä Y = f(X).
Olkoon R^n :n käyrä jota pitkin integroidaan C(t) = (x1(t),...,xn(t)).
Käyrän tangenttivektori on dC(t)/dt ja yksikkötangenttivektori on
T = (dC/dt) / l dC/dt l. Viivaintegraali C:n yli on
Int(C:n yli) ( (f(C(t)), C'(t) ) dt. Huo maa että tuossa on nyt vektoreiden f(C(t)) ja C'(t) sisätulo kyseessä.
Tuo voidaan kirjoittaa T:n avulla Int((f(C(t),T)) ds missä siis kaarenpituus s on parametrinä:
ds= l C'(t) l dt.
Int((f(C(t)),C'(t))) dt = Int((f(C(t), C'(t) / l C'(t) l) * l C'(t) l))dt = Int((f(C(t),T)) ds
Lisään vielä että että tuossa 2-kohdassa siis (f,T) on f:n komponentti käyrän C tangentin suuntaan.f ja T otetaan käyrän pisteessä C(t).
Mutta onko siis käyrä C ja sen parametrisaatio r(t) sama asia?
Jos esimerkiksi käyrä C voidaan esittää parametreinä x=x(t) ja y=y(t). Ja r(t)=x(t)i y(t)j. Jos sijoitan jonkin luvun t, r(t) antaa vektorin käyrän pisteeseen, kun parametrit antavat yksittäisen pisteen?
Käyrän parametri, esim. t, saa arvot jollain välillä a <= t <= b. Käyrä C(t) on tämän välin kuva R^2:ssa kuvauksessa t -> C(t) = (x(t),y(t)) . Kts. myös kommenttini /08:59.
Opiskelen näitä siis täysin itsenäisesti, niin sorry nää käsitteet on aika vieraita.
Onko esimerkiksi vektori 2i 2j 2k sama asia, kuin piste(2,2,2)? Tai onko käyrä x^2 y^2=1 täsmälleen sama asia kuin vektorifunktio a(t)=(cos(t), sin(t)), 0<=t<=2pii ?
https://fi.wikipedia.org/wiki/Vektori
"Usein nämä vektorit [paikkavektorit] rinnastetaankin koordinaatiston pisteisiin. Kyseessä on kuitenkin tarkkaan ottaen eri asia."
>vektori ei ole piste
https://fi.wikipedia.org/wiki/Skalaarikenttä
"Skalaarifunktion lähtöjoukko on vektoriavaruus, joka on yleensä Euklidinen avaruus, ja jonka vektorit eli pisteet kuvautuvat maalijoukossa skalaareiksi."
En nyt lähde "juurta jaksaen" selostamaan, mitä eroa pisteellä ja paikkavektorilla on. Sinulle riittää tähän hätään ajatella niin, että pisteen P, jonka koordinaatit ovat (2,2,2), paikkavktori on
R(P) = 2 i 2 j 2k.
Toisaalta vektorit eivät ole muuta kuin lukukolmikkoja. Jos merkitään i = (1,0,0) , j = (0,1,0) ja k = (0,0,1) niin
2i 2j 2k = 2*(1,0,0) 2* (0,1,0) 2*(0,0,1) = (2,2,2).
Olkoon f: R^3 -> R. Tällöin f(A) = jokin reaaliluku kun A on R^3:n vektori. Esim. olkoon
f(x i y j z k) = x^2 y^2 z^2.Tuo f voidaan tuolla toisella vektorimerkinnällä,
lukukolmikolla, kirjoittaa myös f((x,y,z)) = x^2 y^2 z^2. Funktion muuttujana on tuo vektori (x,y,z) ja arvona reaaliluku x^2 y^2 z^2. Joten f kuvaa R^3 -> R.
Sitten tuo käyrä. Sen nyhtälö on tuo x^2 y^2 = 1. Mutta differentiaaligeometriassa käyrät esitetään kuvauksina, tässä tapauksessa f: R -> R^2. Jos parametriksi valitaan x niin käyrä on
C(x) = x i sqrt(1 - x^2) j.
Jos valitaan parametriksi t, missä x = cos(t) ja y = sin(t) niin käyrä on
C(t) = cos(t) i sin(t) j mikä tuolla toisella vektorimerkinnällä on
C(t) = (cos(t), sin(t) )
Lisäkommentti vielä minulta: Netistä löytyy ilmaiseksi luettavissa oleva Calculus Fennicus, suomenkielinen esitys monesta matematiikan asiasta. Katsopa sieltä näitä juttuja.