ongelmallisia tehtäviä liittyen analyyttiseen geometriaan

Anonyymi

Hei! Yritän tällä hetkellä siis kerrata pitkän matikan 5 kurssia ja olen törmännyt muutamaan tehtävään joita en osaa ratkaista, vaikka miten päin olen niitä yrittänyt laskea. Ja tosiaan itsenäisesti olen kertailemassa pitkää matikkaa, joten opettajalta en apua voi kysyä.

1. Määritä ympyrän 𝑥^2 𝑦^2-6x 4y=51 kehältä se piste, joka on lähimpänä suoraa
𝑦 = −2𝑥 28.

2. Suojakatoksen aukko on paraabelin muotoinen. Sen korkeus on 9m ja leveys maanpinnalla 12m. Mahtuuko aukosta sisään kuution muotoinen laatikko, jonka sivujen pituus on 4,5m? (Tässä maalaisjärjellä päättelin, että pitäisi kai laskea paraabelin leveys korkeudella 4,5m, mutta jos joku osaisi antaa vinkkiä kuinka se lasketaan)

3. Paraabelin yhtälö on y=-x^2 4. Määritä pisteen (0,8) kautta paraabelille piirrettyjen tangenttien yhtälöt. (Yritin katsoa apua ympyrän tangentin määrityksestä, mutta tökkäsi siihen, kun esimerkissä käytettiin ympyrän keskipistettä apuna)

11

126

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Piirrä ensin kuvat paperille, niin ei tarvitse miettiä mitään.

      • Anonyymi

        Olen tosiaan piirtänyt kuvia tilanteista sekä paperille että koneelle, mutta haluaisin nimenomaan neuvoja siihen, että kuinka ratkaista nämä laskennallisesti.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Olen tosiaan piirtänyt kuvia tilanteista sekä paperille että koneelle, mutta haluaisin nimenomaan neuvoja siihen, että kuinka ratkaista nämä laskennallisesti.

        Lisää kuviin muutama viiva ja laske "laskennallisesti". Jos kuvat piirtää tarkasti millimetripaperille, niin voit esim. 2 tehtävässä kokeilla missä asennossa paperista leikkaamasi 4,5 cm:n neliö parhaiten mahtuu aukosta sisään. Voi olla, että tarvitaan ihan käytännön kokememuksen tuomaa oikeaa maalaisjärkeäkin. Ja mielikuvitusta!

        Oleta tehtävien olevan helppoja lukiotason tehtäviä.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Lisää kuviin muutama viiva ja laske "laskennallisesti". Jos kuvat piirtää tarkasti millimetripaperille, niin voit esim. 2 tehtävässä kokeilla missä asennossa paperista leikkaamasi 4,5 cm:n neliö parhaiten mahtuu aukosta sisään. Voi olla, että tarvitaan ihan käytännön kokememuksen tuomaa oikeaa maalaisjärkeäkin. Ja mielikuvitusta!

        Oleta tehtävien olevan helppoja lukiotason tehtäviä.

        Tehtävässä 2 kysytään todennäköiseti 6,5 m sivuisen kuution mahtumista. Tai vaihtoestoisesti: Jos aukossa olisi pariovet ja vain toinen ovi olisi auki, mahtuuko 4,5 m sivuinen kuutio sisään? 4,3 m kuutio mahtuisi tuolloinkin sisään ihan helposti maata pitkin vaakasuorassa asennossa.

        Kysyjälle: Osaatko laatia yksinkertaisen paraabelin yhtälön?


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Tehtävässä 2 kysytään todennäköiseti 6,5 m sivuisen kuution mahtumista. Tai vaihtoestoisesti: Jos aukossa olisi pariovet ja vain toinen ovi olisi auki, mahtuuko 4,5 m sivuinen kuutio sisään? 4,3 m kuutio mahtuisi tuolloinkin sisään ihan helposti maata pitkin vaakasuorassa asennossa.

        Kysyjälle: Osaatko laatia yksinkertaisen paraabelin yhtälön?

        Maksimissaan saa toinen pariovi kiinni mahtumaan 2*sqrt(10)-2 = 4,3246 m kuution. Ei mahdu 4,5 m:n kuutio millään. Mitähän alkuperäisessä muokkaamattomassa tehtävässä oikein kysyttiin?


    • 1.
      Lähimpänä olevassa pisteessä ympyrän tangentti on yhdensuuntainen suoran kanssa. Siitä saat ehdon, josta ratkeaa kaksi pistettä: lähin ja kaukaisin. Voit todeta sen kumpi on lähempänä laskemalla etäisyydet tai katsomalla kuvasta.

      2.
      Saat paraabelin y=ax^2 bx c leveyden korkeudella h ratkaisemalla ax^2 bx c >= h. Ratkaisu on väli, jonka pituus on tuo kyseinen leveys.

      3.
      Tangentin t yhtälö on suora muotoa y = kx b (Oletetaan nyt että pystysuora suora ei tule kyseeseen). Merkitse pistettä, jossa tämä suora osuu paraabelille (x_1, x_1^2). Saat k:n ja b:n (ja x_1:n) ratkaistua, kun tiedät, että t kulkee pisteiden kautta ja on tangenttiaalinen paraabelille eli sen kulmakerroin on sama kuin tangentin kulmakerroin pisteessä x_1 (sen kertoimen saat derivoimalla).

      • Anonyymi

        Tehtävässä kaksi kannattaa ratkaista suoraan maksimi kuution koko eli asettaa paraabelissa

        y = 0,25*x^2 9

        y:n arvo 2*x:ksi. Saadaan x = 2*sqrt(13) - 4 = 3,2111. Eli maksimaalisen kuution sivun pituus on 6,4222 m. Ei mahdu isompi, vaikka kuinka yrittäisi käännellä. Tuo on myös todistettavissa. Ei ole ihan itsestään selvää. Kaivamalla pieni ura maahan, saadaan helposti myös 6,5 m kuutio sisään suojaan sateelta. Vaatii vähän laskemista.


    • Anonyymi

      Kolmas ja eka tehtävä ovat sikäli samatyylisiä, että molemmissa haetaan suoran ja käyrän leikkauspistettä.

      Kolmannessa sen tangentin yhtälö on y=k*x 8, koska kulki pisteen (0,8) kautta.
      Paraabeli kun oli y=-x^2 4, niin haetaan näiden leikkauspiste. Siitä tulee toisen asteen yhtälö, ja nyt kun on tangentista kysymys , niin on oltava D=0, siitä seuraa, että k=±4. Kysytyt tangentit y=±4x 8

      Eka on vähän hankalampi. Siinä pitää ensin ympyrän yhtälö saattaa keskipistemuotoon: (x-3)^2-9 (y 2)^2-4=51, josta nähdään että keskipiste on
      (3, -2)

      Suoran yhtälöstä 2x y-28=0, saadaan suoran normaalivektoriksi n= 2i j

      Ympyrän keskipisteen ja kysytyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö y 2=k(x-3)
      johon saadaa k=½ tuosta normaalivektorista.

      Nyt on saatu "normaalisuoran" yhtälö y 2=½(x-3), se menee kohtisuoraan annetulle suoralle ja ympyrän ja annetun suoran välinen lyhin etäisyys on sillä "normaalisuoralla".

      Ja taas sitten ympyrän (x-3)^2-9 (y 2)^2-4=51, ja tuon "normaalisuoran" y 2=½(x-3) leikkauspiste. Se on tuosta hyvinkin helppo laskea:

      (x-3)^2 1/4(x-3)^2=64=>5/4(x-3)^2=64=> x=3 16/sqrt5, ja y =8/sqrt5-2

    • Anonyymi

      Paraabeli on y = - 1/4 x^2 9
      Kun y = 4,5 on 4,5 = - 1/4 x^2 9 eli x = /- 3 sqrt(2) joten aukon leveys on tällä korkeudella 6 sqrt(2) = 8,485...

    • Anonyymi

      Tehtävä 1. Meillä on funktiot f(x,y) = (x-3)^2 (y 2)^2 ja g(x,y) = 2x y. Kyse on niiden tasaarvokäyristä

      (1) f(x,y) = 64
      ja
      (2) g(x,y) = 28.
      Näiden normaalit ovat grad(f) = 2(x-3) i 2(y 2) j ja grad(g) = 2i j
      l grad(f) l = sqrt(4(x-3)^2 4(y 2)^2) = 16 (yhtälö 1)
      l grad(g) l = sqrt(5)
      joten yksikkönormaalit ovat
      n1 = (x-3)/8 i (y 2)/8 j
      n2 = 2/sqrt(5) i 1/sqrt(5) j
      Täytyy olla n1 = n2 joten x = 3 16/sqrt(5) ja y = - 2 8/sqrt(5)
      Tämä piste toteuttaa yhtälön (1) ja on siis tuon ympyrän piste ja kysytty suoraa (2) lähinnä oleva piste.
      2(3 16/sqrt(5)) 8/sqrt(5) - 2 = 4 8 sqrt(5)
      Tuon ympyrän (1) suoraa (2) lähinnä olevan pisteen ja suoran (2) etäisyys d on
      sama kuin suorien (2) ja
      (3) 2x y = 4 8 sqrt(5)
      etäisyys eli
      d = l28-4-8 sqrt(5) l / sqrt(5) = 24/sqrt(5) - 8.

    • Anonyymi

      Tehtävä 3.
      x^2 y = 4. Pisteessä (x,y) on yksikkönormaali n1 = 2x/sqrt(1 4x^2) i 1/sqrt(1 4x^2) j
      ja yksikkötangentti t = 1/sqrt(1 4x^2) i - 2x/sqrt(1 4x^2)j
      Sen suoran joka kulkee pisteen (0,8) kautta ja sivuaa paraabelia pisteessä (x0,y0) kulmakerroin on - 2 x0 ja yhtälö on y = - 2 x0 x 8.Paraabelilla ja suoralla voi olla vain yksi leikkauspiste (suora sivuaa) joten
      - 2 x0 x 8 = 4 - x^2
      x^2 - 2 x0 x 4 = 0
      Diskriminantti = 0 joten 4 x0^2 - 16 = 0 ja x0 = /- 2.
      Tarkastetaan: y - 0 = (8-0)/(0 2) * (x 2)
      y = 4x 8 = - x^2 4, x^2 4x 4 = 0
      => x = - 2 ja y = 0
      y - 0 = (8-0)/(0-2) (x-2)
      y = - 4x 8 = - x^2 4
      x^2 - 4x 4 = 0 ja x = 2. y= 0.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Ja taas ammuttu kokkolassa

      Kokkolaisilta pitäisi kerätä pois kaikki ampumaset, keittiöveitset ja kaikki mikä vähänkään paukku ja on terävä.
      Kokkola
      57
      5469
    2. Mitä siellä ABC on tapahtunut

      Tavallista isompi operaatio näkyy olevan kyseessä.
      Alajärvi
      91
      4281
    3. Helena Koivu on äiti

      Mitä hyötyä on Mikko Koivulla kohdella LASTENSA äitiä huonosti . Vie lapset tutuista ympyröistä pois . Lasten kodista.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      372
      2540
    4. Ovatko naiset lopettaneet sen vähäisenkin vaivannäön Tinderissa?

      Meinaan vaan profiileja selatessa nykyään valtaosalla ei ole minkäänlaista kirjoitettua tekstiä siellä. Juuri ja juuri s
      Nettideittailu
      70
      1065
    5. Suomi vietiin Natoon väärin perustein. Viides artikla on hölynpölyä. Yksin jäämme.

      Kuka vielä uskoo, että viides artikla takaa Suomelle avun, jos Suomeen hyökätään. Liikuttavasti täällä on uskottu ja ved
      Maailman menoa
      330
      1028
    6. Et ilmeisesti aio enää ikinä olla tekemisissä

      Että näinkö se menee
      Ikävä
      61
      833
    7. Sydämeni on sinun luona

      Koko ajan. Oli ympärilläni ketä oli niin sinä olet vain ajatuksissa ja tunteissa. En halua muiden kosketusta kuin sinun
      Ikävä
      46
      806
    8. Kuvaile elämäsi naista

      Millainen hän on? Mikä tekee hänestä sinulle erityisen?
      Ikävä
      28
      793
    9. Trump ja Venäjä

      Huomasitteko muuten... Käytännössä ainoat valtiot, joille Trump EI eilen asettanut typeriä tariffejaan, olivat Venäjä ja
      Maailman menoa
      102
      789
    10. Jatkuva stressitila

      On sinun vuoksesi kun en tiedä missä mennään mutta tunteeni tiedän ainoastaan
      Ikävä
      52
      779
    Aihe