ongelmallisia tehtäviä liittyen analyyttiseen geometriaan

Anonyymi

Hei! Yritän tällä hetkellä siis kerrata pitkän matikan 5 kurssia ja olen törmännyt muutamaan tehtävään joita en osaa ratkaista, vaikka miten päin olen niitä yrittänyt laskea. Ja tosiaan itsenäisesti olen kertailemassa pitkää matikkaa, joten opettajalta en apua voi kysyä.

1. Määritä ympyrän 𝑥^2 𝑦^2-6x 4y=51 kehältä se piste, joka on lähimpänä suoraa
𝑦 = −2𝑥 28.

2. Suojakatoksen aukko on paraabelin muotoinen. Sen korkeus on 9m ja leveys maanpinnalla 12m. Mahtuuko aukosta sisään kuution muotoinen laatikko, jonka sivujen pituus on 4,5m? (Tässä maalaisjärjellä päättelin, että pitäisi kai laskea paraabelin leveys korkeudella 4,5m, mutta jos joku osaisi antaa vinkkiä kuinka se lasketaan)

3. Paraabelin yhtälö on y=-x^2 4. Määritä pisteen (0,8) kautta paraabelille piirrettyjen tangenttien yhtälöt. (Yritin katsoa apua ympyrän tangentin määrityksestä, mutta tökkäsi siihen, kun esimerkissä käytettiin ympyrän keskipistettä apuna)

11

128

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Piirrä ensin kuvat paperille, niin ei tarvitse miettiä mitään.

      • Anonyymi

        Olen tosiaan piirtänyt kuvia tilanteista sekä paperille että koneelle, mutta haluaisin nimenomaan neuvoja siihen, että kuinka ratkaista nämä laskennallisesti.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Olen tosiaan piirtänyt kuvia tilanteista sekä paperille että koneelle, mutta haluaisin nimenomaan neuvoja siihen, että kuinka ratkaista nämä laskennallisesti.

        Lisää kuviin muutama viiva ja laske "laskennallisesti". Jos kuvat piirtää tarkasti millimetripaperille, niin voit esim. 2 tehtävässä kokeilla missä asennossa paperista leikkaamasi 4,5 cm:n neliö parhaiten mahtuu aukosta sisään. Voi olla, että tarvitaan ihan käytännön kokememuksen tuomaa oikeaa maalaisjärkeäkin. Ja mielikuvitusta!

        Oleta tehtävien olevan helppoja lukiotason tehtäviä.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Lisää kuviin muutama viiva ja laske "laskennallisesti". Jos kuvat piirtää tarkasti millimetripaperille, niin voit esim. 2 tehtävässä kokeilla missä asennossa paperista leikkaamasi 4,5 cm:n neliö parhaiten mahtuu aukosta sisään. Voi olla, että tarvitaan ihan käytännön kokememuksen tuomaa oikeaa maalaisjärkeäkin. Ja mielikuvitusta!

        Oleta tehtävien olevan helppoja lukiotason tehtäviä.

        Tehtävässä 2 kysytään todennäköiseti 6,5 m sivuisen kuution mahtumista. Tai vaihtoestoisesti: Jos aukossa olisi pariovet ja vain toinen ovi olisi auki, mahtuuko 4,5 m sivuinen kuutio sisään? 4,3 m kuutio mahtuisi tuolloinkin sisään ihan helposti maata pitkin vaakasuorassa asennossa.

        Kysyjälle: Osaatko laatia yksinkertaisen paraabelin yhtälön?


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Tehtävässä 2 kysytään todennäköiseti 6,5 m sivuisen kuution mahtumista. Tai vaihtoestoisesti: Jos aukossa olisi pariovet ja vain toinen ovi olisi auki, mahtuuko 4,5 m sivuinen kuutio sisään? 4,3 m kuutio mahtuisi tuolloinkin sisään ihan helposti maata pitkin vaakasuorassa asennossa.

        Kysyjälle: Osaatko laatia yksinkertaisen paraabelin yhtälön?

        Maksimissaan saa toinen pariovi kiinni mahtumaan 2*sqrt(10)-2 = 4,3246 m kuution. Ei mahdu 4,5 m:n kuutio millään. Mitähän alkuperäisessä muokkaamattomassa tehtävässä oikein kysyttiin?


    • 1.
      Lähimpänä olevassa pisteessä ympyrän tangentti on yhdensuuntainen suoran kanssa. Siitä saat ehdon, josta ratkeaa kaksi pistettä: lähin ja kaukaisin. Voit todeta sen kumpi on lähempänä laskemalla etäisyydet tai katsomalla kuvasta.

      2.
      Saat paraabelin y=ax^2 bx c leveyden korkeudella h ratkaisemalla ax^2 bx c >= h. Ratkaisu on väli, jonka pituus on tuo kyseinen leveys.

      3.
      Tangentin t yhtälö on suora muotoa y = kx b (Oletetaan nyt että pystysuora suora ei tule kyseeseen). Merkitse pistettä, jossa tämä suora osuu paraabelille (x_1, x_1^2). Saat k:n ja b:n (ja x_1:n) ratkaistua, kun tiedät, että t kulkee pisteiden kautta ja on tangenttiaalinen paraabelille eli sen kulmakerroin on sama kuin tangentin kulmakerroin pisteessä x_1 (sen kertoimen saat derivoimalla).

      • Anonyymi

        Tehtävässä kaksi kannattaa ratkaista suoraan maksimi kuution koko eli asettaa paraabelissa

        y = 0,25*x^2 9

        y:n arvo 2*x:ksi. Saadaan x = 2*sqrt(13) - 4 = 3,2111. Eli maksimaalisen kuution sivun pituus on 6,4222 m. Ei mahdu isompi, vaikka kuinka yrittäisi käännellä. Tuo on myös todistettavissa. Ei ole ihan itsestään selvää. Kaivamalla pieni ura maahan, saadaan helposti myös 6,5 m kuutio sisään suojaan sateelta. Vaatii vähän laskemista.


    • Anonyymi

      Kolmas ja eka tehtävä ovat sikäli samatyylisiä, että molemmissa haetaan suoran ja käyrän leikkauspistettä.

      Kolmannessa sen tangentin yhtälö on y=k*x 8, koska kulki pisteen (0,8) kautta.
      Paraabeli kun oli y=-x^2 4, niin haetaan näiden leikkauspiste. Siitä tulee toisen asteen yhtälö, ja nyt kun on tangentista kysymys , niin on oltava D=0, siitä seuraa, että k=±4. Kysytyt tangentit y=±4x 8

      Eka on vähän hankalampi. Siinä pitää ensin ympyrän yhtälö saattaa keskipistemuotoon: (x-3)^2-9 (y 2)^2-4=51, josta nähdään että keskipiste on
      (3, -2)

      Suoran yhtälöstä 2x y-28=0, saadaan suoran normaalivektoriksi n= 2i j

      Ympyrän keskipisteen ja kysytyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö y 2=k(x-3)
      johon saadaa k=½ tuosta normaalivektorista.

      Nyt on saatu "normaalisuoran" yhtälö y 2=½(x-3), se menee kohtisuoraan annetulle suoralle ja ympyrän ja annetun suoran välinen lyhin etäisyys on sillä "normaalisuoralla".

      Ja taas sitten ympyrän (x-3)^2-9 (y 2)^2-4=51, ja tuon "normaalisuoran" y 2=½(x-3) leikkauspiste. Se on tuosta hyvinkin helppo laskea:

      (x-3)^2 1/4(x-3)^2=64=>5/4(x-3)^2=64=> x=3 16/sqrt5, ja y =8/sqrt5-2

    • Anonyymi

      Paraabeli on y = - 1/4 x^2 9
      Kun y = 4,5 on 4,5 = - 1/4 x^2 9 eli x = /- 3 sqrt(2) joten aukon leveys on tällä korkeudella 6 sqrt(2) = 8,485...

    • Anonyymi

      Tehtävä 1. Meillä on funktiot f(x,y) = (x-3)^2 (y 2)^2 ja g(x,y) = 2x y. Kyse on niiden tasaarvokäyristä

      (1) f(x,y) = 64
      ja
      (2) g(x,y) = 28.
      Näiden normaalit ovat grad(f) = 2(x-3) i 2(y 2) j ja grad(g) = 2i j
      l grad(f) l = sqrt(4(x-3)^2 4(y 2)^2) = 16 (yhtälö 1)
      l grad(g) l = sqrt(5)
      joten yksikkönormaalit ovat
      n1 = (x-3)/8 i (y 2)/8 j
      n2 = 2/sqrt(5) i 1/sqrt(5) j
      Täytyy olla n1 = n2 joten x = 3 16/sqrt(5) ja y = - 2 8/sqrt(5)
      Tämä piste toteuttaa yhtälön (1) ja on siis tuon ympyrän piste ja kysytty suoraa (2) lähinnä oleva piste.
      2(3 16/sqrt(5)) 8/sqrt(5) - 2 = 4 8 sqrt(5)
      Tuon ympyrän (1) suoraa (2) lähinnä olevan pisteen ja suoran (2) etäisyys d on
      sama kuin suorien (2) ja
      (3) 2x y = 4 8 sqrt(5)
      etäisyys eli
      d = l28-4-8 sqrt(5) l / sqrt(5) = 24/sqrt(5) - 8.

    • Anonyymi

      Tehtävä 3.
      x^2 y = 4. Pisteessä (x,y) on yksikkönormaali n1 = 2x/sqrt(1 4x^2) i 1/sqrt(1 4x^2) j
      ja yksikkötangentti t = 1/sqrt(1 4x^2) i - 2x/sqrt(1 4x^2)j
      Sen suoran joka kulkee pisteen (0,8) kautta ja sivuaa paraabelia pisteessä (x0,y0) kulmakerroin on - 2 x0 ja yhtälö on y = - 2 x0 x 8.Paraabelilla ja suoralla voi olla vain yksi leikkauspiste (suora sivuaa) joten
      - 2 x0 x 8 = 4 - x^2
      x^2 - 2 x0 x 4 = 0
      Diskriminantti = 0 joten 4 x0^2 - 16 = 0 ja x0 = /- 2.
      Tarkastetaan: y - 0 = (8-0)/(0 2) * (x 2)
      y = 4x 8 = - x^2 4, x^2 4x 4 = 0
      => x = - 2 ja y = 0
      y - 0 = (8-0)/(0-2) (x-2)
      y = - 4x 8 = - x^2 4
      x^2 - 4x 4 = 0 ja x = 2. y= 0.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Riitta-Liisa ja Toni Roponen: Ero! Riitta-Liisa Roponen kertoo asiasta Instagramissa.

      Riitta-Liisa ja Toni Roponen eroavat. Riitta-Liisa Roponen kertoo asiasta Instagramissa. – Talvi on ollut elämäni synk
      Maailman menoa
      85
      3270
    2. Sinä vain tulit elämääni

      Ja joku tarkoitus sillä on ollut. Näyttämään mitä olen ja kuinka arvokas voisin olla. Se muutti ja käänsi elämäni suunna
      Ikävä
      92
      1869
    3. Tiesitkö mies

      Kuinka paljon mulla oli tunteita sua kohtaan? Jos et tiennyt,olisiko tietäminen vaikuttanut tapahtumiin? Ihmettelen kyll
      Ikävä
      87
      1703
    4. Nuorempi mies

      Olen tänään ajatellut sua paljon, miten toimittaisiin makuuhuoneessa jne! 😏🔥
      Ikävä
      141
      1552
    5. Millaisia ajatuksia on kaivatusta ja tilanteestanne tänään?

      Kerro omista mietteistäsi tai lähetä terveisiä. Ehkä hän lukee ja lähettää sinulle takaisin omia mietteitään.
      Ikävä
      65
      1458
    6. Miksi teillä meni...

      ...välit poikki kaivattusi kanssa?
      Ikävä
      162
      1423
    7. Mies, mitä minun pitäisi tehdä

      Niin, mitä naisen siis pitäisi tehdä, että lähestyisit ja tekisit aloitteen? Mikä on riittävä kiinnostuksen osoitus juur
      Ikävä
      94
      1345
    8. Toivottavasti et mussukka elättele toiveita meikäläisen suhteen

      Tiedän mitä olet touhunnut joten aivan turha haaveilla mistään enää 👍
      Ikävä
      167
      1341
    9. Jos siis saamme

      Sen keskusteluyhteyden niin olisitko jo sinäkin rehellinen ❤️🙏 ne jää meidän välisiksi kaikki. Tarvitsemme toisiamme, j
      Ikävä
      100
      1284
    10. Onko sinulla

      Joku nyt huonosti? :(
      Ikävä
      86
      1247
    Aihe