Hei! Yritän tällä hetkellä siis kerrata pitkän matikan 5 kurssia ja olen törmännyt muutamaan tehtävään joita en osaa ratkaista, vaikka miten päin olen niitä yrittänyt laskea. Ja tosiaan itsenäisesti olen kertailemassa pitkää matikkaa, joten opettajalta en apua voi kysyä.
1. Määritä ympyrän 𝑥^2 𝑦^2-6x 4y=51 kehältä se piste, joka on lähimpänä suoraa
𝑦 = −2𝑥 28.
2. Suojakatoksen aukko on paraabelin muotoinen. Sen korkeus on 9m ja leveys maanpinnalla 12m. Mahtuuko aukosta sisään kuution muotoinen laatikko, jonka sivujen pituus on 4,5m? (Tässä maalaisjärjellä päättelin, että pitäisi kai laskea paraabelin leveys korkeudella 4,5m, mutta jos joku osaisi antaa vinkkiä kuinka se lasketaan)
3. Paraabelin yhtälö on y=-x^2 4. Määritä pisteen (0,8) kautta paraabelille piirrettyjen tangenttien yhtälöt. (Yritin katsoa apua ympyrän tangentin määrityksestä, mutta tökkäsi siihen, kun esimerkissä käytettiin ympyrän keskipistettä apuna)
ongelmallisia tehtäviä liittyen analyyttiseen geometriaan
11
214
Vastaukset 11
- Anonyymi
Piirrä ensin kuvat paperille, niin ei tarvitse miettiä mitään.
- Anonyymi
Olen tosiaan piirtänyt kuvia tilanteista sekä paperille että koneelle, mutta haluaisin nimenomaan neuvoja siihen, että kuinka ratkaista nämä laskennallisesti.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Olen tosiaan piirtänyt kuvia tilanteista sekä paperille että koneelle, mutta haluaisin nimenomaan neuvoja siihen, että kuinka ratkaista nämä laskennallisesti.
Lisää kuviin muutama viiva ja laske "laskennallisesti". Jos kuvat piirtää tarkasti millimetripaperille, niin voit esim. 2 tehtävässä kokeilla missä asennossa paperista leikkaamasi 4,5 cm:n neliö parhaiten mahtuu aukosta sisään. Voi olla, että tarvitaan ihan käytännön kokememuksen tuomaa oikeaa maalaisjärkeäkin. Ja mielikuvitusta!
Oleta tehtävien olevan helppoja lukiotason tehtäviä. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Lisää kuviin muutama viiva ja laske "laskennallisesti". Jos kuvat piirtää tarkasti millimetripaperille, niin voit esim. 2 tehtävässä kokeilla missä asennossa paperista leikkaamasi 4,5 cm:n neliö parhaiten mahtuu aukosta sisään. Voi olla, että tarvitaan ihan käytännön kokememuksen tuomaa oikeaa maalaisjärkeäkin. Ja mielikuvitusta!
Oleta tehtävien olevan helppoja lukiotason tehtäviä.Tehtävässä 2 kysytään todennäköiseti 6,5 m sivuisen kuution mahtumista. Tai vaihtoestoisesti: Jos aukossa olisi pariovet ja vain toinen ovi olisi auki, mahtuuko 4,5 m sivuinen kuutio sisään? 4,3 m kuutio mahtuisi tuolloinkin sisään ihan helposti maata pitkin vaakasuorassa asennossa.
Kysyjälle: Osaatko laatia yksinkertaisen paraabelin yhtälön? - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tehtävässä 2 kysytään todennäköiseti 6,5 m sivuisen kuution mahtumista. Tai vaihtoestoisesti: Jos aukossa olisi pariovet ja vain toinen ovi olisi auki, mahtuuko 4,5 m sivuinen kuutio sisään? 4,3 m kuutio mahtuisi tuolloinkin sisään ihan helposti maata pitkin vaakasuorassa asennossa.
Kysyjälle: Osaatko laatia yksinkertaisen paraabelin yhtälön?Maksimissaan saa toinen pariovi kiinni mahtumaan 2*sqrt(10)-2 = 4,3246 m kuution. Ei mahdu 4,5 m:n kuutio millään. Mitähän alkuperäisessä muokkaamattomassa tehtävässä oikein kysyttiin?
1.
Lähimpänä olevassa pisteessä ympyrän tangentti on yhdensuuntainen suoran kanssa. Siitä saat ehdon, josta ratkeaa kaksi pistettä: lähin ja kaukaisin. Voit todeta sen kumpi on lähempänä laskemalla etäisyydet tai katsomalla kuvasta.
2.
Saat paraabelin y=ax^2 bx c leveyden korkeudella h ratkaisemalla ax^2 bx c >= h. Ratkaisu on väli, jonka pituus on tuo kyseinen leveys.
3.
Tangentin t yhtälö on suora muotoa y = kx b (Oletetaan nyt että pystysuora suora ei tule kyseeseen). Merkitse pistettä, jossa tämä suora osuu paraabelille (x_1, x_1^2). Saat k:n ja b:n (ja x_1:n) ratkaistua, kun tiedät, että t kulkee pisteiden kautta ja on tangenttiaalinen paraabelille eli sen kulmakerroin on sama kuin tangentin kulmakerroin pisteessä x_1 (sen kertoimen saat derivoimalla).- Anonyymi
Tehtävässä kaksi kannattaa ratkaista suoraan maksimi kuution koko eli asettaa paraabelissa
y = 0,25*x^2 9
y:n arvo 2*x:ksi. Saadaan x = 2*sqrt(13) - 4 = 3,2111. Eli maksimaalisen kuution sivun pituus on 6,4222 m. Ei mahdu isompi, vaikka kuinka yrittäisi käännellä. Tuo on myös todistettavissa. Ei ole ihan itsestään selvää. Kaivamalla pieni ura maahan, saadaan helposti myös 6,5 m kuutio sisään suojaan sateelta. Vaatii vähän laskemista.
- Anonyymi
Kolmas ja eka tehtävä ovat sikäli samatyylisiä, että molemmissa haetaan suoran ja käyrän leikkauspistettä.
Kolmannessa sen tangentin yhtälö on y=k*x 8, koska kulki pisteen (0,8) kautta.
Paraabeli kun oli y=-x^2 4, niin haetaan näiden leikkauspiste. Siitä tulee toisen asteen yhtälö, ja nyt kun on tangentista kysymys , niin on oltava D=0, siitä seuraa, että k=±4. Kysytyt tangentit y=±4x 8
Eka on vähän hankalampi. Siinä pitää ensin ympyrän yhtälö saattaa keskipistemuotoon: (x-3)^2-9 (y 2)^2-4=51, josta nähdään että keskipiste on
(3, -2)
Suoran yhtälöstä 2x y-28=0, saadaan suoran normaalivektoriksi n= 2i j
Ympyrän keskipisteen ja kysytyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö y 2=k(x-3)
johon saadaa k=½ tuosta normaalivektorista.
Nyt on saatu "normaalisuoran" yhtälö y 2=½(x-3), se menee kohtisuoraan annetulle suoralle ja ympyrän ja annetun suoran välinen lyhin etäisyys on sillä "normaalisuoralla".
Ja taas sitten ympyrän (x-3)^2-9 (y 2)^2-4=51, ja tuon "normaalisuoran" y 2=½(x-3) leikkauspiste. Se on tuosta hyvinkin helppo laskea:
(x-3)^2 1/4(x-3)^2=64=>5/4(x-3)^2=64=> x=3 16/sqrt5, ja y =8/sqrt5-2 - Anonyymi
Paraabeli on y = - 1/4 x^2 9
Kun y = 4,5 on 4,5 = - 1/4 x^2 9 eli x = /- 3 sqrt(2) joten aukon leveys on tällä korkeudella 6 sqrt(2) = 8,485... - Anonyymi
Tehtävä 1. Meillä on funktiot f(x,y) = (x-3)^2 (y 2)^2 ja g(x,y) = 2x y. Kyse on niiden tasaarvokäyristä
(1) f(x,y) = 64
ja
(2) g(x,y) = 28.
Näiden normaalit ovat grad(f) = 2(x-3) i 2(y 2) j ja grad(g) = 2i j
l grad(f) l = sqrt(4(x-3)^2 4(y 2)^2) = 16 (yhtälö 1)
l grad(g) l = sqrt(5)
joten yksikkönormaalit ovat
n1 = (x-3)/8 i (y 2)/8 j
n2 = 2/sqrt(5) i 1/sqrt(5) j
Täytyy olla n1 = n2 joten x = 3 16/sqrt(5) ja y = - 2 8/sqrt(5)
Tämä piste toteuttaa yhtälön (1) ja on siis tuon ympyrän piste ja kysytty suoraa (2) lähinnä oleva piste.
2(3 16/sqrt(5)) 8/sqrt(5) - 2 = 4 8 sqrt(5)
Tuon ympyrän (1) suoraa (2) lähinnä olevan pisteen ja suoran (2) etäisyys d on
sama kuin suorien (2) ja
(3) 2x y = 4 8 sqrt(5)
etäisyys eli
d = l28-4-8 sqrt(5) l / sqrt(5) = 24/sqrt(5) - 8. - Anonyymi
Tehtävä 3.
x^2 y = 4. Pisteessä (x,y) on yksikkönormaali n1 = 2x/sqrt(1 4x^2) i 1/sqrt(1 4x^2) j
ja yksikkötangentti t = 1/sqrt(1 4x^2) i - 2x/sqrt(1 4x^2)j
Sen suoran joka kulkee pisteen (0,8) kautta ja sivuaa paraabelia pisteessä (x0,y0) kulmakerroin on - 2 x0 ja yhtälö on y = - 2 x0 x 8.Paraabelilla ja suoralla voi olla vain yksi leikkauspiste (suora sivuaa) joten
- 2 x0 x 8 = 4 - x^2
x^2 - 2 x0 x 4 = 0
Diskriminantti = 0 joten 4 x0^2 - 16 = 0 ja x0 = /- 2.
Tarkastetaan: y - 0 = (8-0)/(0 2) * (x 2)
y = 4x 8 = - x^2 4, x^2 4x 4 = 0
=> x = - 2 ja y = 0
y - 0 = (8-0)/(0-2) (x-2)
y = - 4x 8 = - x^2 4
x^2 - 4x 4 = 0 ja x = 2. y= 0.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 741153
Tässä ovat Elämäni biisi -vieraat lauantai 3.10. - Yksi vieras on todellinen suomalaisten suosikki
Jos menisit Elämäni biisiin, mikä olisi elämäsi biisi ja miksi? Elämäni biisi tulee suorana lähetyksenä Tampereelta. K15986En voi kertoa meistä kenellekään
Minulla on ikävä sinua mies.. Oon yrittänyt taas unohtaa, mutta silti tulet mieleeni lähes päivittäin. Eihän meitä voi o61940- 65841
- 60760
- 57720
- 61644
SuMetKu konkursissa
Asiakastiedon sivulla oli, SuMetKu asetettu konkurssiin. Tulihan se seinä vastaan lopultakin suuruudenhulluudessa.24630Kadutko mies sitä miten reagoit?
..siihen sotkuun, jonka jälkeen mikään ei ole ollut kuin ennen. 🥺49627- 133606
- 67606
Suutuin lähinnä itselleni
Kun irl juttujen takia näyttää erittäin epätodennäköiseltä, että olisin millään tavoin toivottu henkilö sulle.34591- 50559
Miksi meille jäi
Niin huonot välit vaikka meistä kumpikaan ei ole tunteilleen mitään voinut. Ehkä se kohtalo on sitä mieltä ettei kuitenk35519- 29515
- 33510
- 18494
- 72486
- 40467
- 24449