Taylorin sarja

Anonyymi

"Avoimella välillä ]a-r, a r[ jatkuvasti derivoituva reaaliarvoinen funktio f voidaan kirjoittaa Taylorin sarjaksi."

Jos Taylorin sarjaa tälle funktiolle f merkitään P(x), niin tarkoittaako se, että
P(x)=f(x), mutta ainoastaan välillä a-r<x<a r, vai ihan koko f:n lähtöjoukossa?

Esimerkiksi jos kirjoitan sarjan funktiolle f(x)=1/x käyttäen kohtaa a=1, niin onko P(x)=f(x) ainoastaan välillä 0<x<2 ?

Onko tuo jatkuva derivoituvuus riittävä ehto sille, että voidaan kirjoittaa Taylorin sarjaksi? Ja onko funktio siis jatkuvasti derivoituva, jos se on derivoituva kaikissa välin pisteissä?

23

916

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Jos sinulla ei ole sopivaa kirjallisuutta niin katso netistä. Etsi vaikkapa Calculus Fennicus. Siellä asioita selitetään selvällä suomenkielellä. Ei tuollaisia kannata täältä keskustelupalstalta kysyä. Tuskin kukaan viitsii tarvittavan pitkää kunnollista selitystä kirjoittaa. Huru-ukkojen höpövastauksia kyllä saattaa tulla.

    • Anonyymi

      "Ja onko funktio siis jatkuvasti derivoituva, jos se on derivoituva kaikissa välin pisteissä?"

      Wiki: Jos funktion ( n :s) derivaatta on olemassa ja jatkuva, niin funktion sanotaan olevan ( n kertaa) jatkuvasti derivoituva.

      Taylorin sarjassa tarvitaan nuo derivaatat.

    • Anonyymi

      Kun funktio f(x) kehitetään Taylorin sarjaksi P(x) pisteessä x0, niin P(x0) = f(x0) eli pisteessä x0 sarjakehitelmä antaa tarkan tuloksen. Mitä kauemmaksi pisteestä x0 mennään, sitä suuremmaksi käy kehitelmän virhe ( /P(x)-f(x)/ ). Virhettä voidaan pienentää lisäämällä kehitelmään mukaan otettavien termien lukumäärää. Virheen suuruutta voidaan arvioida laskemalla ensimmäisen pois pudotettavan termin arvo kehitelmästä.

      • Anonyymi

        Tässä nyt tuli sitä varoittamaani höpöhöpöä. Jos funktiolla on Taylorin sarjakehitelmä joka suppenee funktion arvoon niin kyllä se pätee muuallakin kuin tuossa pisteessä x0. Esim. jos jos kehitetään e^x pisteessä x0 = 0 niin

        e^x = 1 x x^2/2! x^3/3! ...
        on pätevä e^x-funktion esitys kaikilla arvoilla x.
        Jos otetaan vain äärellinen määrä termejä sarjasta niin täytyy tutkia jäännöstermiä.

        Suosittelen edelleen kunnon kirjallisuutta.

        Erittäin perusteellinen selvitys olisi Ernst Lindelöfin Differentiaali- ja integraalilasku 1 - teoksessa mutta ehkä et sitä saa käsiisi. Siinä lähdetään Lagrangesta liikkeelle ja selostetaan tarkkaan Taylorin polynomi, Taylorin kehitelmä, erilaiset jäännöstermit ym.

        Mutta katso nyt edes tuoa Calculus Fennicaa netistä.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Tässä nyt tuli sitä varoittamaani höpöhöpöä. Jos funktiolla on Taylorin sarjakehitelmä joka suppenee funktion arvoon niin kyllä se pätee muuallakin kuin tuossa pisteessä x0. Esim. jos jos kehitetään e^x pisteessä x0 = 0 niin

        e^x = 1 x x^2/2! x^3/3! ...
        on pätevä e^x-funktion esitys kaikilla arvoilla x.
        Jos otetaan vain äärellinen määrä termejä sarjasta niin täytyy tutkia jäännöstermiä.

        Suosittelen edelleen kunnon kirjallisuutta.

        Erittäin perusteellinen selvitys olisi Ernst Lindelöfin Differentiaali- ja integraalilasku 1 - teoksessa mutta ehkä et sitä saa käsiisi. Siinä lähdetään Lagrangesta liikkeelle ja selostetaan tarkkaan Taylorin polynomi, Taylorin kehitelmä, erilaiset jäännöstermit ym.

        Mutta katso nyt edes tuoa Calculus Fennicaa netistä.

        Ääretön sarja on tietenkin pätevä. Harvoin sitä kukan jaksaa ottaa. Että missä oli höpöä.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Ääretön sarja on tietenkin pätevä. Harvoin sitä kukan jaksaa ottaa. Että missä oli höpöä.

        Sanoit, että sarja antaa tarkan tuloksen pisteessä x0 mutta ei enää muualla. Tämä on höpöä kuten esimerkkini osoitti. Eri asia on, jos termejä otetaan vain äärellinen määrä. Saman asian toistamiseksihan tämä menee!

        Tämä on juuri sellainen kysymys johon aloittajan kannattaa perehtyä paremmin kuin tällaisilla palstoilla.

        Aiheetta enää yhtään enempään tästä asiasta

        Anonyymi/13:31


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Sanoit, että sarja antaa tarkan tuloksen pisteessä x0 mutta ei enää muualla. Tämä on höpöä kuten esimerkkini osoitti. Eri asia on, jos termejä otetaan vain äärellinen määrä. Saman asian toistamiseksihan tämä menee!

        Tämä on juuri sellainen kysymys johon aloittajan kannattaa perehtyä paremmin kuin tällaisilla palstoilla.

        Aiheetta enää yhtään enempään tästä asiasta

        Anonyymi/13:31

        Tarkoitin, että P(x) on se funktio, jossa on haluttu äärellinen määrä termejä otettu mukaan. Sorry, tällainen maallikon epätäsmällinen/omatekoinen ilmaisu.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Tarkoitin, että P(x) on se funktio, jossa on haluttu äärellinen määrä termejä otettu mukaan. Sorry, tällainen maallikon epätäsmällinen/omatekoinen ilmaisu.

        Esimerkiksi e^rt = (e^r)^t. Pankkiiripiireissä se korvataan yleensä ottamalla e^r sarjakehitelmästä vain alku eli saadaan (1 r)^t, joka on kohtuullisen hyvä, kun r on pieni.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Tässä nyt tuli sitä varoittamaani höpöhöpöä. Jos funktiolla on Taylorin sarjakehitelmä joka suppenee funktion arvoon niin kyllä se pätee muuallakin kuin tuossa pisteessä x0. Esim. jos jos kehitetään e^x pisteessä x0 = 0 niin

        e^x = 1 x x^2/2! x^3/3! ...
        on pätevä e^x-funktion esitys kaikilla arvoilla x.
        Jos otetaan vain äärellinen määrä termejä sarjasta niin täytyy tutkia jäännöstermiä.

        Suosittelen edelleen kunnon kirjallisuutta.

        Erittäin perusteellinen selvitys olisi Ernst Lindelöfin Differentiaali- ja integraalilasku 1 - teoksessa mutta ehkä et sitä saa käsiisi. Siinä lähdetään Lagrangesta liikkeelle ja selostetaan tarkkaan Taylorin polynomi, Taylorin kehitelmä, erilaiset jäännöstermit ym.

        Mutta katso nyt edes tuoa Calculus Fennicaa netistä.

        Sitä minäkin ihmettelen, kun tuo alkuperäinen viesti kertoi oikeastaan saman asian kuin höpöhöpöttäjän. Mutta on kai niin, että joillakin on tarve olla eri mieltä, vaikka mitää aihetta siihen ei olisi.


    • Anonyymi

      Avauksessa esitetyn funktion f(x)=1/x sarjakehitelmä on mielenkiintoinen tapaus.

    • Anonyymi

      Kiitos viesteistä! Latasin tuon Calculus Fennicuksen, onpa kattava!

      Mutta tämä siis vielä jäi auki, että jos f on ainoastaan välillä ]a-r, a r[ jatkuvasti derivoituva, niin onko sen Taylorin sarja (päättymätön summa) P(x) yhtäpitävä f(x):n kanssa ainoastaan välillä ]a-r, a r[ ?

      • Kyllä, tämä pitää paikkansa. Se johtuu siitä, että Taylorin sarjan suppenemissäde on tuolloin korkeintaan r. Se ei voi olla yli r, sillä (esim.) a r on "ongelmapiste" oletuksen mukaan. Siis: Taylorin sarja ei voi olla f(x):n kanssa yhtäpitävä välin ulkopuolella, koska se ei edes suppene [a-r, a r]:n ulkopuolella. Välin päätepisteistä ei tosin yleisesti voida sanoa mitään.


      • minkkilaukku kirjoitti:

        Kyllä, tämä pitää paikkansa. Se johtuu siitä, että Taylorin sarjan suppenemissäde on tuolloin korkeintaan r. Se ei voi olla yli r, sillä (esim.) a r on "ongelmapiste" oletuksen mukaan. Siis: Taylorin sarja ei voi olla f(x):n kanssa yhtäpitävä välin ulkopuolella, koska se ei edes suppene [a-r, a r]:n ulkopuolella. Välin päätepisteistä ei tosin yleisesti voida sanoa mitään.

        Sori, nyt ajattelin väärin. Voi Taylorin sarjan suppenemissäde olla suurempikin kuin r tuossa tapauksessa, mutta silloin sarja ei voi olla f:n kanssa yhtäpitävä. Ota se standardiesimerkki f(x) = e^(-1/x), kun x>0 ja f(x) = 0 kun x<=0. Sen origossa otettu Taylorin sarjahan on identtisesti nolla, koska kaikki derivaatat nollia joten suppenee tietysti kaikilla x, mutta tässä tapauksessa sarja ei suppenekaan f:ään.
        Jos sarja olisi f:än kanssa yhtäpitävä yli r:n suuruisella välillä, niin silloin f:n pitäisi olla analyyttinen (eli erityisesti jatkuvasti derivoituva) myös pisteessä a r.


      • Anonyymi
        minkkilaukku kirjoitti:

        Sori, nyt ajattelin väärin. Voi Taylorin sarjan suppenemissäde olla suurempikin kuin r tuossa tapauksessa, mutta silloin sarja ei voi olla f:n kanssa yhtäpitävä. Ota se standardiesimerkki f(x) = e^(-1/x), kun x>0 ja f(x) = 0 kun x<=0. Sen origossa otettu Taylorin sarjahan on identtisesti nolla, koska kaikki derivaatat nollia joten suppenee tietysti kaikilla x, mutta tässä tapauksessa sarja ei suppenekaan f:ään.
        Jos sarja olisi f:än kanssa yhtäpitävä yli r:n suuruisella välillä, niin silloin f:n pitäisi olla analyyttinen (eli erityisesti jatkuvasti derivoituva) myös pisteessä a r.

        Kiitos, tästä oli apua!

        Mutta mistä siis tulee se, että funktion tulee olla jatkuvasti derivoituva kohdan a molemmin puolin symmetrisesti avoimella välillä ]a-r, a r[?

        Katsoin Dr Peyamin todistuksen youtubesta, https://www.youtube.com/watch?v=jShliXdt9Ek . Eikö riittäisi, että funktio f on äärettömästi derivoituva millä vain halutulla välillä, johon a kuuluu?


      • Anonyymi kirjoitti:

        Kiitos, tästä oli apua!

        Mutta mistä siis tulee se, että funktion tulee olla jatkuvasti derivoituva kohdan a molemmin puolin symmetrisesti avoimella välillä ]a-r, a r[?

        Katsoin Dr Peyamin todistuksen youtubesta, https://www.youtube.com/watch?v=jShliXdt9Ek . Eikö riittäisi, että funktio f on äärettömästi derivoituva millä vain halutulla välillä, johon a kuuluu?

        Symmetrisyys tulee juuri siitä miten potenssisarja suppenee: sillä on suppenemissäde, jonka ulkopuolella se ei suppene. Nyt jos f yhtyy Taylorin sarjaansa P jollain välillä, niin f:n pitää olla äärettömästi derivoituva, koska potenssisarja on sitä. Mutta jos f:llä on "epäsiisteyspiste" a r:ssä, niin tästä eteenpäinhän ei voi enää käydä niin, että f yhtyisi sarjaan ja sarja suppenisi, siis P:n täytyy hajaantua tai ei enää esittää f:ää kun tähän pisteeseen "törmätään".
        Tuohan siinä voi tosiaan myös tapahtua, että P "lopettaa esittämästä f:ää", jos f ei ole analyyttinen. Laitetaan esim. paloittain määriteltynä "eri funktiot", tämän voi myös silottaa äärettömästi derivoituvaksi.
        Mutta analyyttiselle funktiolle, jolla on epäsiisteyspiste, täytyy tapahtua P:n hajaantuminen. Ja symmetrisesti se siis hajaantuu myös toisella puolella.

        Katso Calculus Fennicuksen sivun 456 ja 457 esimerkit 5 ja 6. Tuo esimerkki 6 onkin mielenkiintoinen. Funktio 1/(1 4x^2) on kaikilla reaaliluvuilla siisti, mutta silti sen origossa kehitetty Taylorin sarja suppenee vain välillä (-1/2, 1/2). Mitä pahaa on puolikkaan päässä origosta!?!?!? :D Noh, jätetään tämä hautumaan...


    • Anonyymi

      Polynomifunktion
      f(x)=a0 a1x a2x^2
      Taylorin sarja x=0 ympäristössä on
      f(x)=a0 a1x a2x^2
      Mitään jäännösvirhettä ei jää millää x:n arvolla.

      • Anonyymi

        Funktion f(x)=1/x Taylorin sarjakehitelmä ykkösen ympäristössä on
        P(x) = SUM( (-1)^n * (x-1)^n ) ; n=0, ääretön

        Jos x > 2, niin P(x) divergoi, mutta f(x) lähestyy nollaa, kun x kasvaa rajatta.


      • Anonyymi

        Edellä esitettiin jo e^x kehitelmä:
        e^x = 1 x x^2/2! x^3/3! ...

        Sarjasta voidaan laskea e:n arvo mielivaltaisen tarkasti
        e^1 = e = 1 1 1/2! 1/3! ... = 2,666 ....

        Sarjan seuraava termi on 1/4! = 0,0417 ja sitä seuraava 1/5!=0,00833. Kun nämä otetaan mukaan saadaan e=2,7166. Laskimesta e:n arvo yhdeksällä desimaalilla on e=2,7182 81828.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Edellä esitettiin jo e^x kehitelmä:
        e^x = 1 x x^2/2! x^3/3! ...

        Sarjasta voidaan laskea e:n arvo mielivaltaisen tarkasti
        e^1 = e = 1 1 1/2! 1/3! ... = 2,666 ....

        Sarjan seuraava termi on 1/4! = 0,0417 ja sitä seuraava 1/5!=0,00833. Kun nämä otetaan mukaan saadaan e=2,7166. Laskimesta e:n arvo yhdeksällä desimaalilla on e=2,7182 81828.

        Laskimen tarkkuuteen tarvitaan 13 termiä. Sitten "bitit loppuvat" jo excelistäkin.


    • Anonyymi

      Tuossa Dr Peyamin todistuksessa (https://www.youtube.com/watch?v=jShliXdt9Ek ) lähdetään johtamaan Taylorin sarjan sääntöä seuraavasti:

      f(x)=f(a) f(x)-f(a)
      =f(a) int(f'(x))
      =f(a) int(f'(a) f'(x)-f'(a))
      =f(a) int(f'(a)) int(f'(x)-f'(a))
      =f(a) f'(a)/1!*(x-a)^1 int(int(f''(x)))

      int(...)=määrätty integraali välillä [a, x] x:n suhteen

      Toistamalla tätä päättelyä päädytään tulokseen
      f(x)=f(a) summa(f^(n)(a)/n!*(x-a)^n), jossa summataan termejä f^(n)(a)/n!*(x-a)^n käyden läpi luvut n ykkösestä äärettömään.

      Eikö tuon perusteella kaikki funktiot f, jotka ovat äärettömästi derivoituvia halutulla avoimella välillä sisältäen kohdan x=a, voida kirjoittaa päättymättömänä Taylorin sarjana? Vai miksi tuota funktiota f(x)=exp(-1/x) kun x>0, f(x)=0 muulloin; ei voida kirjoittaa sarjaksi koko määrittelyjoukossaan? Eikö se kuitenkin ole derivoituva kaikilla x? Tehdäänkö tuossa todistuksessa jokin 'kielletty' operaatio, jota se ei täytä?

      • Ei siinä tehdä mitään kiellettyä. Jäännöstermi (se mitä videossa kutsutaan JUNK) menee nollaan, kun x -> a. Mutta jotta saatu sarja esittäisi f(x):ää, niin täytyy käydä niin, että se menee x:ssä nollaan, kun n menee äärettömään. Nämä ovat kaksi eri asiaa.
        Funktiolle f(x)=exp(-1/x) origossa kehitetyn sarjan jäännöstermi on kaikilla n:n arvoilla f(x), koska kaikki derivaatat origossa ovat nollia. Jäännös ei siis mene nollaan, kun n menee äärettömään, jos x>0, koska f(x) != 0 tuolloin.

        Äärettömästi derivoituvuus ei siis riitä siihen, että reaalifunktio voitaisiin lokaalisti kirjoittaa potenssisarjana. Tätä varten on keksitty eri termi: Analyyttinen funktio: https://fi.wikipedia.org/wiki/Analyyttinen_funktio

        PS. en välittäisi tuosta Wikipedian lauseesta "Toinen tapa määritellä analyyttinen funktio on todeta, että funktio on analyyttinen, jos se on differentioituva jokaisessa joukon {\displaystyle G}G pisteessä." Potenssisarjaesityksen lokaali olemassa olo on se mitä analyyttisyydellä tarkoitetaan.


      • Anonyymi
        minkkilaukku kirjoitti:

        Ei siinä tehdä mitään kiellettyä. Jäännöstermi (se mitä videossa kutsutaan JUNK) menee nollaan, kun x -> a. Mutta jotta saatu sarja esittäisi f(x):ää, niin täytyy käydä niin, että se menee x:ssä nollaan, kun n menee äärettömään. Nämä ovat kaksi eri asiaa.
        Funktiolle f(x)=exp(-1/x) origossa kehitetyn sarjan jäännöstermi on kaikilla n:n arvoilla f(x), koska kaikki derivaatat origossa ovat nollia. Jäännös ei siis mene nollaan, kun n menee äärettömään, jos x>0, koska f(x) != 0 tuolloin.

        Äärettömästi derivoituvuus ei siis riitä siihen, että reaalifunktio voitaisiin lokaalisti kirjoittaa potenssisarjana. Tätä varten on keksitty eri termi: Analyyttinen funktio: https://fi.wikipedia.org/wiki/Analyyttinen_funktio

        PS. en välittäisi tuosta Wikipedian lauseesta "Toinen tapa määritellä analyyttinen funktio on todeta, että funktio on analyyttinen, jos se on differentioituva jokaisessa joukon {\displaystyle G}G pisteessä." Potenssisarjaesityksen lokaali olemassa olo on se mitä analyyttisyydellä tarkoitetaan.

        Kiitos paljon!


    • Anonyymi

      Vielä tuosta jäännöstermistä.

      Jos johdan kaavaa tuolla Dr. Peyamin tavalla (olettaen, että f on jatkuva ja äärettömästi derivoituva avoimella välillä, johon a kuuluu):
      f(x)=f(a) f(x)-f(a)
      =f(a) int(f'(x))
      =f(a) int(f'(a) f'(x)-f'(a))
      =f(a) int(f'(a)) int(f'(x)-f'(a))
      =f(a) f'(a)/1!*(x-a)^1 int(int(f''(x)))
      ...
      =astetta n oleva Taylorin polynomi n 1 kertaa integroituna n 1. derivaattaa x:n yli välillä a...x.

      Jäännöstermi on siis n 1 kertaa integraali (siis integroidaan n 1 kertaa) n 1. derivaatan yli välillä a...x.

      Koska n 1. derivaatta on jatkuva välillä [a, x], voidaan hyödyntää integraalilaskennan väliarvolausetta. Integraali (yhden kerran) n 1. derivaatan yli välillä a...x on (x-a)*f^(n 1)(c), jossa c on jokin luku väliltä [a, x] (tai [x, a]). Kun tätä termiä integroidaan vielä n kertaa välillä a...x saadaan jäännöstermiksi f^(n 1)(c)*(x-a)^(n 1)/(n 1)! (eli se tulos mikä haluttiinkin).

      Useimmissa teksteissä kuitenkin luku c on avoimelta väliltä ]a, x[ tai jotenkin epämääräisesti sanottu vain, että luku on a:n ja x:n välillä. Tuliko tässä jokin virhe, vai voiko c olla myös a tai x?

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Sinkun läheisyyspula FWB uhka vai mahdollisuus?

      Aloin tässä vakavasti harkitsemaan FwB-miehen ”ottamisen” mahdollisuutta. Tosiaan itsellä alkaa kohtapuolin olemaan viik
      Sinkut
      206
      2272
    2. Voiko noin komea mies olla epävarma?

      Jotenkin mahdoton ajatus, mut nyt ymmärtäisin sen käytöksen mua kohtaan, jos näin on 🤔
      Ikävä
      164
      2088
    3. Luovuttaisit jo

      Tekee pahaa katsoa näitä keskusteluja, joissa kaipaat minua niin paljon. En ole susta kiinnostunut, joten voisitko lopet
      Ikävä
      169
      1582
    4. Jos Martina nai Aussi miehen

      Tekeekö saman homman, kun meni Eskon kanssa naimisiin, veti pullollisen valkoviiniä aamupalaksi, ja oli kännissä omissa
      Kotimaiset julkkisjuorut
      345
      1503
    5. Aamun ajatuksia

      Meillä oli vahva yhteys. Sitä ei voi selittää, sen vain tunsi. Olen ikävöinyt sinua siitä asti, kun tiemme tavallaan erk
      Ikävä
      105
      1415
    6. R.I.P. taas nuori urheilija - menehtyi 37-vuotiaana.

      Petri Koivisto vartioi Oulun Kärppien ja Espoon Bluesin maalia. https://www.is.fi/sm-liiga/art-2000010252054.html
      Maailman menoa
      25
      1147
    7. No oletko nyt

      Nainen tyytyväinen kun ei olla kohta enää missään tekemisissä? Minä en mutta ei sillä väliä. Vanhemmalle naiselle
      Ikävä
      53
      1138
    8. Vaitiolo velvollisuus!

      Meinasin jo mennä sanomaan,kaksi hoitajaa keskusteli kovaäänisesti kahvilassa hoitokodin asioita kuinka kurjaa,on saatto
      Karstula
      19
      989
    9. Ethän sinä

      vaan luule, että oon varattu🤔
      Ikävä
      37
      965
    10. Mitä ihminen tekee, olipa se sitten fyysistä tai henkistä, sama energia tulee lopulta takaisin

      Monien kansojen tiedossa on karman laki, vaikka he eivät tietäisikään, että kyse on karman laista. Mitä ihminen tekee,
      Hindulaisuus
      109
      805
    Aihe