Taylorin sarja

Anonyymi

"Avoimella välillä ]a-r, a+r[ jatkuvasti derivoituva reaaliarvoinen funktio f voidaan kirjoittaa Taylorin sarjaksi."

Jos Taylorin sarjaa tälle funktiolle f merkitään P(x), niin tarkoittaako se, että
P(x)=f(x), mutta ainoastaan välillä a-r<x<a+r, vai ihan koko f:n lähtöjoukossa?

Esimerkiksi jos kirjoitan sarjan funktiolle f(x)=1/x käyttäen kohtaa a=1, niin onko P(x)=f(x) ainoastaan välillä 0<x<2 ?

Onko tuo jatkuva derivoituvuus riittävä ehto sille, että voidaan kirjoittaa Taylorin sarjaksi? Ja onko funktio siis jatkuvasti derivoituva, jos se on derivoituva kaikissa välin pisteissä?

23

151

    Vastaukset

    • Jos sinulla ei ole sopivaa kirjallisuutta niin katso netistä. Etsi vaikkapa Calculus Fennicus. Siellä asioita selitetään selvällä suomenkielellä. Ei tuollaisia kannata täältä keskustelupalstalta kysyä. Tuskin kukaan viitsii tarvittavan pitkää kunnollista selitystä kirjoittaa. Huru-ukkojen höpövastauksia kyllä saattaa tulla.

    • "Ja onko funktio siis jatkuvasti derivoituva, jos se on derivoituva kaikissa välin pisteissä?"

      Wiki: Jos funktion ( n :s) derivaatta on olemassa ja jatkuva, niin funktion sanotaan olevan ( n kertaa) jatkuvasti derivoituva.

      Taylorin sarjassa tarvitaan nuo derivaatat.

    • Kun funktio f(x) kehitetään Taylorin sarjaksi P(x) pisteessä x0, niin P(x0) = f(x0) eli pisteessä x0 sarjakehitelmä antaa tarkan tuloksen. Mitä kauemmaksi pisteestä x0 mennään, sitä suuremmaksi käy kehitelmän virhe ( /P(x)-f(x)/ ). Virhettä voidaan pienentää lisäämällä kehitelmään mukaan otettavien termien lukumäärää. Virheen suuruutta voidaan arvioida laskemalla ensimmäisen pois pudotettavan termin arvo kehitelmästä.

      • Tässä nyt tuli sitä varoittamaani höpöhöpöä. Jos funktiolla on Taylorin sarjakehitelmä joka suppenee funktion arvoon niin kyllä se pätee muuallakin kuin tuossa pisteessä x0. Esim. jos jos kehitetään e^x pisteessä x0 = 0 niin

        e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! +...
        on pätevä e^x-funktion esitys kaikilla arvoilla x.
        Jos otetaan vain äärellinen määrä termejä sarjasta niin täytyy tutkia jäännöstermiä.

        Suosittelen edelleen kunnon kirjallisuutta.

        Erittäin perusteellinen selvitys olisi Ernst Lindelöfin Differentiaali- ja integraalilasku 1 - teoksessa mutta ehkä et sitä saa käsiisi. Siinä lähdetään Lagrangesta liikkeelle ja selostetaan tarkkaan Taylorin polynomi, Taylorin kehitelmä, erilaiset jäännöstermit ym.

        Mutta katso nyt edes tuoa Calculus Fennicaa netistä.


      • Anonyymi kirjoitti:

        Tässä nyt tuli sitä varoittamaani höpöhöpöä. Jos funktiolla on Taylorin sarjakehitelmä joka suppenee funktion arvoon niin kyllä se pätee muuallakin kuin tuossa pisteessä x0. Esim. jos jos kehitetään e^x pisteessä x0 = 0 niin

        e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! +...
        on pätevä e^x-funktion esitys kaikilla arvoilla x.
        Jos otetaan vain äärellinen määrä termejä sarjasta niin täytyy tutkia jäännöstermiä.

        Suosittelen edelleen kunnon kirjallisuutta.

        Erittäin perusteellinen selvitys olisi Ernst Lindelöfin Differentiaali- ja integraalilasku 1 - teoksessa mutta ehkä et sitä saa käsiisi. Siinä lähdetään Lagrangesta liikkeelle ja selostetaan tarkkaan Taylorin polynomi, Taylorin kehitelmä, erilaiset jäännöstermit ym.

        Mutta katso nyt edes tuoa Calculus Fennicaa netistä.

        Ääretön sarja on tietenkin pätevä. Harvoin sitä kukan jaksaa ottaa. Että missä oli höpöä.


      • Anonyymi kirjoitti:

        Ääretön sarja on tietenkin pätevä. Harvoin sitä kukan jaksaa ottaa. Että missä oli höpöä.

        Sanoit, että sarja antaa tarkan tuloksen pisteessä x0 mutta ei enää muualla. Tämä on höpöä kuten esimerkkini osoitti. Eri asia on, jos termejä otetaan vain äärellinen määrä. Saman asian toistamiseksihan tämä menee!

        Tämä on juuri sellainen kysymys johon aloittajan kannattaa perehtyä paremmin kuin tällaisilla palstoilla.

        Aiheetta enää yhtään enempään tästä asiasta

        Anonyymi/13:31


      • Anonyymi kirjoitti:

        Sanoit, että sarja antaa tarkan tuloksen pisteessä x0 mutta ei enää muualla. Tämä on höpöä kuten esimerkkini osoitti. Eri asia on, jos termejä otetaan vain äärellinen määrä. Saman asian toistamiseksihan tämä menee!

        Tämä on juuri sellainen kysymys johon aloittajan kannattaa perehtyä paremmin kuin tällaisilla palstoilla.

        Aiheetta enää yhtään enempään tästä asiasta

        Anonyymi/13:31

        Tarkoitin, että P(x) on se funktio, jossa on haluttu äärellinen määrä termejä otettu mukaan. Sorry, tällainen maallikon epätäsmällinen/omatekoinen ilmaisu.


      • Anonyymi kirjoitti:

        Tarkoitin, että P(x) on se funktio, jossa on haluttu äärellinen määrä termejä otettu mukaan. Sorry, tällainen maallikon epätäsmällinen/omatekoinen ilmaisu.

        Esimerkiksi e^rt = (e^r)^t. Pankkiiripiireissä se korvataan yleensä ottamalla e^r sarjakehitelmästä vain alku eli saadaan (1+r)^t, joka on kohtuullisen hyvä, kun r on pieni.


      • Anonyymi kirjoitti:

        Tässä nyt tuli sitä varoittamaani höpöhöpöä. Jos funktiolla on Taylorin sarjakehitelmä joka suppenee funktion arvoon niin kyllä se pätee muuallakin kuin tuossa pisteessä x0. Esim. jos jos kehitetään e^x pisteessä x0 = 0 niin

        e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! +...
        on pätevä e^x-funktion esitys kaikilla arvoilla x.
        Jos otetaan vain äärellinen määrä termejä sarjasta niin täytyy tutkia jäännöstermiä.

        Suosittelen edelleen kunnon kirjallisuutta.

        Erittäin perusteellinen selvitys olisi Ernst Lindelöfin Differentiaali- ja integraalilasku 1 - teoksessa mutta ehkä et sitä saa käsiisi. Siinä lähdetään Lagrangesta liikkeelle ja selostetaan tarkkaan Taylorin polynomi, Taylorin kehitelmä, erilaiset jäännöstermit ym.

        Mutta katso nyt edes tuoa Calculus Fennicaa netistä.

        Sitä minäkin ihmettelen, kun tuo alkuperäinen viesti kertoi oikeastaan saman asian kuin höpöhöpöttäjän. Mutta on kai niin, että joillakin on tarve olla eri mieltä, vaikka mitää aihetta siihen ei olisi.


    • Avauksessa esitetyn funktion f(x)=1/x sarjakehitelmä on mielenkiintoinen tapaus.

    • Kiitos viesteistä! Latasin tuon Calculus Fennicuksen, onpa kattava!

      Mutta tämä siis vielä jäi auki, että jos f on ainoastaan välillä ]a-r, a+r[ jatkuvasti derivoituva, niin onko sen Taylorin sarja (päättymätön summa) P(x) yhtäpitävä f(x):n kanssa ainoastaan välillä ]a-r, a+r[ ?

      • Kyllä, tämä pitää paikkansa. Se johtuu siitä, että Taylorin sarjan suppenemissäde on tuolloin korkeintaan r. Se ei voi olla yli r, sillä (esim.) a+r on "ongelmapiste" oletuksen mukaan. Siis: Taylorin sarja ei voi olla f(x):n kanssa yhtäpitävä välin ulkopuolella, koska se ei edes suppene [a-r, a+r]:n ulkopuolella. Välin päätepisteistä ei tosin yleisesti voida sanoa mitään.


      • minkkilaukku kirjoitti:

        Kyllä, tämä pitää paikkansa. Se johtuu siitä, että Taylorin sarjan suppenemissäde on tuolloin korkeintaan r. Se ei voi olla yli r, sillä (esim.) a+r on "ongelmapiste" oletuksen mukaan. Siis: Taylorin sarja ei voi olla f(x):n kanssa yhtäpitävä välin ulkopuolella, koska se ei edes suppene [a-r, a+r]:n ulkopuolella. Välin päätepisteistä ei tosin yleisesti voida sanoa mitään.

        Sori, nyt ajattelin väärin. Voi Taylorin sarjan suppenemissäde olla suurempikin kuin r tuossa tapauksessa, mutta silloin sarja ei voi olla f:n kanssa yhtäpitävä. Ota se standardiesimerkki f(x) = e^(-1/x), kun x>0 ja f(x) = 0 kun x<=0. Sen origossa otettu Taylorin sarjahan on identtisesti nolla, koska kaikki derivaatat nollia joten suppenee tietysti kaikilla x, mutta tässä tapauksessa sarja ei suppenekaan f:ään.
        Jos sarja olisi f:än kanssa yhtäpitävä yli r:n suuruisella välillä, niin silloin f:n pitäisi olla analyyttinen (eli erityisesti jatkuvasti derivoituva) myös pisteessä a+r.


      • minkkilaukku kirjoitti:

        Sori, nyt ajattelin väärin. Voi Taylorin sarjan suppenemissäde olla suurempikin kuin r tuossa tapauksessa, mutta silloin sarja ei voi olla f:n kanssa yhtäpitävä. Ota se standardiesimerkki f(x) = e^(-1/x), kun x>0 ja f(x) = 0 kun x<=0. Sen origossa otettu Taylorin sarjahan on identtisesti nolla, koska kaikki derivaatat nollia joten suppenee tietysti kaikilla x, mutta tässä tapauksessa sarja ei suppenekaan f:ään.
        Jos sarja olisi f:än kanssa yhtäpitävä yli r:n suuruisella välillä, niin silloin f:n pitäisi olla analyyttinen (eli erityisesti jatkuvasti derivoituva) myös pisteessä a+r.

        Kiitos, tästä oli apua!

        Mutta mistä siis tulee se, että funktion tulee olla jatkuvasti derivoituva kohdan a molemmin puolin symmetrisesti avoimella välillä ]a-r, a+r[?

        Katsoin Dr Peyamin todistuksen youtubesta, https://www.youtube.com/watch?v=jShliXdt9Ek . Eikö riittäisi, että funktio f on äärettömästi derivoituva millä vain halutulla välillä, johon a kuuluu?


      • Anonyymi kirjoitti:

        Kiitos, tästä oli apua!

        Mutta mistä siis tulee se, että funktion tulee olla jatkuvasti derivoituva kohdan a molemmin puolin symmetrisesti avoimella välillä ]a-r, a+r[?

        Katsoin Dr Peyamin todistuksen youtubesta, https://www.youtube.com/watch?v=jShliXdt9Ek . Eikö riittäisi, että funktio f on äärettömästi derivoituva millä vain halutulla välillä, johon a kuuluu?

        Symmetrisyys tulee juuri siitä miten potenssisarja suppenee: sillä on suppenemissäde, jonka ulkopuolella se ei suppene. Nyt jos f yhtyy Taylorin sarjaansa P jollain välillä, niin f:n pitää olla äärettömästi derivoituva, koska potenssisarja on sitä. Mutta jos f:llä on "epäsiisteyspiste" a+r:ssä, niin tästä eteenpäinhän ei voi enää käydä niin, että f yhtyisi sarjaan ja sarja suppenisi, siis P:n täytyy hajaantua tai ei enää esittää f:ää kun tähän pisteeseen "törmätään".
        Tuohan siinä voi tosiaan myös tapahtua, että P "lopettaa esittämästä f:ää", jos f ei ole analyyttinen. Laitetaan esim. paloittain määriteltynä "eri funktiot", tämän voi myös silottaa äärettömästi derivoituvaksi.
        Mutta analyyttiselle funktiolle, jolla on epäsiisteyspiste, täytyy tapahtua P:n hajaantuminen. Ja symmetrisesti se siis hajaantuu myös toisella puolella.

        Katso Calculus Fennicuksen sivun 456 ja 457 esimerkit 5 ja 6. Tuo esimerkki 6 onkin mielenkiintoinen. Funktio 1/(1+4x^2) on kaikilla reaaliluvuilla siisti, mutta silti sen origossa kehitetty Taylorin sarja suppenee vain välillä (-1/2, 1/2). Mitä pahaa on puolikkaan päässä origosta!?!?!? :D Noh, jätetään tämä hautumaan...


    • Polynomifunktion
      f(x)=a0+a1x+a2x^2
      Taylorin sarja x=0 ympäristössä on
      f(x)=a0+a1x+a2x^2
      Mitään jäännösvirhettä ei jää millää x:n arvolla.

      • Funktion f(x)=1/x Taylorin sarjakehitelmä ykkösen ympäristössä on
        P(x) = SUM( (-1)^n * (x-1)^n ) ; n=0, ääretön

        Jos x > 2, niin P(x) divergoi, mutta f(x) lähestyy nollaa, kun x kasvaa rajatta.


      • Edellä esitettiin jo e^x kehitelmä:
        e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

        Sarjasta voidaan laskea e:n arvo mielivaltaisen tarkasti
        e^1 = e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! +... = 2,666 +....

        Sarjan seuraava termi on 1/4! = 0,0417 ja sitä seuraava 1/5!=0,00833. Kun nämä otetaan mukaan saadaan e=2,7166. Laskimesta e:n arvo yhdeksällä desimaalilla on e=2,7182 81828.


      • Anonyymi kirjoitti:

        Edellä esitettiin jo e^x kehitelmä:
        e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

        Sarjasta voidaan laskea e:n arvo mielivaltaisen tarkasti
        e^1 = e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! +... = 2,666 +....

        Sarjan seuraava termi on 1/4! = 0,0417 ja sitä seuraava 1/5!=0,00833. Kun nämä otetaan mukaan saadaan e=2,7166. Laskimesta e:n arvo yhdeksällä desimaalilla on e=2,7182 81828.

        Laskimen tarkkuuteen tarvitaan 13 termiä. Sitten "bitit loppuvat" jo excelistäkin.


    • Tuossa Dr Peyamin todistuksessa (https://www.youtube.com/watch?v=jShliXdt9Ek ) lähdetään johtamaan Taylorin sarjan sääntöä seuraavasti:

      f(x)=f(a)+f(x)-f(a)
      =f(a)+int(f'(x))
      =f(a)+int(f'(a)+f'(x)-f'(a))
      =f(a)+int(f'(a))+int(f'(x)-f'(a))
      =f(a)+f'(a)/1!*(x-a)^1+int(int(f''(x)))

      int(...)=määrätty integraali välillä [a, x] x:n suhteen

      Toistamalla tätä päättelyä päädytään tulokseen
      f(x)=f(a)+summa(f^(n)(a)/n!*(x-a)^n), jossa summataan termejä f^(n)(a)/n!*(x-a)^n käyden läpi luvut n ykkösestä äärettömään.

      Eikö tuon perusteella kaikki funktiot f, jotka ovat äärettömästi derivoituvia halutulla avoimella välillä sisältäen kohdan x=a, voida kirjoittaa päättymättömänä Taylorin sarjana? Vai miksi tuota funktiota f(x)=exp(-1/x) kun x>0, f(x)=0 muulloin; ei voida kirjoittaa sarjaksi koko määrittelyjoukossaan? Eikö se kuitenkin ole derivoituva kaikilla x? Tehdäänkö tuossa todistuksessa jokin 'kielletty' operaatio, jota se ei täytä?

      • Ei siinä tehdä mitään kiellettyä. Jäännöstermi (se mitä videossa kutsutaan JUNK) menee nollaan, kun x -> a. Mutta jotta saatu sarja esittäisi f(x):ää, niin täytyy käydä niin, että se menee x:ssä nollaan, kun n menee äärettömään. Nämä ovat kaksi eri asiaa.
        Funktiolle f(x)=exp(-1/x) origossa kehitetyn sarjan jäännöstermi on kaikilla n:n arvoilla f(x), koska kaikki derivaatat origossa ovat nollia. Jäännös ei siis mene nollaan, kun n menee äärettömään, jos x>0, koska f(x) != 0 tuolloin.

        Äärettömästi derivoituvuus ei siis riitä siihen, että reaalifunktio voitaisiin lokaalisti kirjoittaa potenssisarjana. Tätä varten on keksitty eri termi: Analyyttinen funktio: https://fi.wikipedia.org/wiki/Analyyttinen_funktio

        PS. en välittäisi tuosta Wikipedian lauseesta "Toinen tapa määritellä analyyttinen funktio on todeta, että funktio on analyyttinen, jos se on differentioituva jokaisessa joukon {\displaystyle G}G pisteessä." Potenssisarjaesityksen lokaali olemassa olo on se mitä analyyttisyydellä tarkoitetaan.


      • minkkilaukku kirjoitti:

        Ei siinä tehdä mitään kiellettyä. Jäännöstermi (se mitä videossa kutsutaan JUNK) menee nollaan, kun x -> a. Mutta jotta saatu sarja esittäisi f(x):ää, niin täytyy käydä niin, että se menee x:ssä nollaan, kun n menee äärettömään. Nämä ovat kaksi eri asiaa.
        Funktiolle f(x)=exp(-1/x) origossa kehitetyn sarjan jäännöstermi on kaikilla n:n arvoilla f(x), koska kaikki derivaatat origossa ovat nollia. Jäännös ei siis mene nollaan, kun n menee äärettömään, jos x>0, koska f(x) != 0 tuolloin.

        Äärettömästi derivoituvuus ei siis riitä siihen, että reaalifunktio voitaisiin lokaalisti kirjoittaa potenssisarjana. Tätä varten on keksitty eri termi: Analyyttinen funktio: https://fi.wikipedia.org/wiki/Analyyttinen_funktio

        PS. en välittäisi tuosta Wikipedian lauseesta "Toinen tapa määritellä analyyttinen funktio on todeta, että funktio on analyyttinen, jos se on differentioituva jokaisessa joukon {\displaystyle G}G pisteessä." Potenssisarjaesityksen lokaali olemassa olo on se mitä analyyttisyydellä tarkoitetaan.

        Kiitos paljon!


    • Vielä tuosta jäännöstermistä.

      Jos johdan kaavaa tuolla Dr. Peyamin tavalla (olettaen, että f on jatkuva ja äärettömästi derivoituva avoimella välillä, johon a kuuluu):
      f(x)=f(a)+f(x)-f(a)
      =f(a)+int(f'(x))
      =f(a)+int(f'(a)+f'(x)-f'(a))
      =f(a)+int(f'(a))+int(f'(x)-f'(a))
      =f(a)+f'(a)/1!*(x-a)^1+int(int(f''(x)))
      ...
      =astetta n oleva Taylorin polynomi + n+1 kertaa integroituna n+1. derivaattaa x:n yli välillä a...x.

      Jäännöstermi on siis n+1 kertaa integraali (siis integroidaan n+1 kertaa) n+1. derivaatan yli välillä a...x.

      Koska n+1. derivaatta on jatkuva välillä [a, x], voidaan hyödyntää integraalilaskennan väliarvolausetta. Integraali (yhden kerran) n+1. derivaatan yli välillä a...x on (x-a)*f^(n+1)(c), jossa c on jokin luku väliltä [a, x] (tai [x, a]). Kun tätä termiä integroidaan vielä n kertaa välillä a...x saadaan jäännöstermiksi f^(n+1)(c)*(x-a)^(n+1)/(n+1)! (eli se tulos mikä haluttiinkin).

      Useimmissa teksteissä kuitenkin luku c on avoimelta väliltä ]a, x[ tai jotenkin epämääräisesti sanottu vain, että luku on a:n ja x:n välillä. Tuliko tässä jokin virhe, vai voiko c olla myös a tai x?

    SEISKA.FI

    • Oho! BB-Johnny Kuoppalasta tulee isä - tältä hän näyttää nykyisin!
    • Katso huikeat alastonkuvat kaunottaresta! Tällaista materiaalia Erika Helin julkaisee maksullisella K18-sivustolla!
    • Entisten työntekijöiden karut paljastukset tuhosivat Ellen DeGeneresin uran? Suositun talk show&#039;n lakkauttamista harkitaan!

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Torppa sairaalaan

      Kas kas..oliko ullatus, että taas tapahtuu..
      Kotimaiset julkkisjuorut
      58
      1423