Taylorin sarja

Tässä nyt tuli sitä varoittamaani höpöhöpöä. Jos funktiolla on Taylorin sarjakehitelmä joka suppenee funktion arvoon niin kyllä se pätee muuallakin kuin tuossa pisteessä x0. Esim. jos jos kehitetään e^x pisteessä x0 = 0 niin

e^x = 1 x x^2/2! x^3/3! ...
on pätevä e^x-funktion esitys kaikilla arvoilla x.
Jos otetaan vain äärellinen määrä termejä sarjasta niin täytyy tutkia jäännöstermiä.

Suosittelen edelleen kunnon kirjallisuutta.

Erittäin perusteellinen selvitys olisi Ernst Lindelöfin Differentiaali- ja integraalilasku 1 - teoksessa mutta ehkä et sitä saa käsiisi. Siinä lähdetään Lagrangesta liikkeelle ja selostetaan tarkkaan Taylorin polynomi, Taylorin kehitelmä, erilaiset jäännöstermit ym.

Mutta katso nyt edes tuoa Calculus Fennicaa netistä.

Anonyymi kirjoitti:

Tässä nyt tuli sitä varoittamaani höpöhöpöä. Jos funktiolla on Taylorin sarjakehitelmä joka suppenee funktion arvoon niin kyllä se pätee muuallakin kuin tuossa pisteessä x0. Esim. jos jos kehitetään e^x pisteessä x0 = 0 niin

e^x = 1 x x^2/2! x^3/3! ...
on pätevä e^x-funktion esitys kaikilla arvoilla x.
Jos otetaan vain äärellinen määrä termejä sarjasta niin täytyy tutkia jäännöstermiä.

Suosittelen edelleen kunnon kirjallisuutta.

Erittäin perusteellinen selvitys olisi Ernst Lindelöfin Differentiaali- ja integraalilasku 1 - teoksessa mutta ehkä et sitä saa käsiisi. Siinä lähdetään Lagrangesta liikkeelle ja selostetaan tarkkaan Taylorin polynomi, Taylorin kehitelmä, erilaiset jäännöstermit ym.

Mutta katso nyt edes tuoa Calculus Fennicaa netistä.

Lue lisää

Ääretön sarja on tietenkin pätevä. Harvoin sitä kukan jaksaa ottaa. Että missä oli höpöä.

Anonyymi kirjoitti:

Ääretön sarja on tietenkin pätevä. Harvoin sitä kukan jaksaa ottaa. Että missä oli höpöä.

Sanoit, että sarja antaa tarkan tuloksen pisteessä x0 mutta ei enää muualla. Tämä on höpöä kuten esimerkkini osoitti. Eri asia on, jos termejä otetaan vain äärellinen määrä. Saman asian toistamiseksihan tämä menee!

Tämä on juuri sellainen kysymys johon aloittajan kannattaa perehtyä paremmin kuin tällaisilla palstoilla.

Aiheetta enää yhtään enempään tästä asiasta

Anonyymi/13:31

Anonyymi kirjoitti:

Sanoit, että sarja antaa tarkan tuloksen pisteessä x0 mutta ei enää muualla. Tämä on höpöä kuten esimerkkini osoitti. Eri asia on, jos termejä otetaan vain äärellinen määrä. Saman asian toistamiseksihan tämä menee!

Tämä on juuri sellainen kysymys johon aloittajan kannattaa perehtyä paremmin kuin tällaisilla palstoilla.

Aiheetta enää yhtään enempään tästä asiasta

Anonyymi/13:31

Lue lisää

Tarkoitin, että P(x) on se funktio, jossa on haluttu äärellinen määrä termejä otettu mukaan. Sorry, tällainen maallikon epätäsmällinen/omatekoinen ilmaisu.

Anonyymi kirjoitti:

Tarkoitin, että P(x) on se funktio, jossa on haluttu äärellinen määrä termejä otettu mukaan. Sorry, tällainen maallikon epätäsmällinen/omatekoinen ilmaisu.

Esimerkiksi e^rt = (e^r)^t. Pankkiiripiireissä se korvataan yleensä ottamalla e^r sarjakehitelmästä vain alku eli saadaan (1 r)^t, joka on kohtuullisen hyvä, kun r on pieni.

Anonyymi kirjoitti:

Tässä nyt tuli sitä varoittamaani höpöhöpöä. Jos funktiolla on Taylorin sarjakehitelmä joka suppenee funktion arvoon niin kyllä se pätee muuallakin kuin tuossa pisteessä x0. Esim. jos jos kehitetään e^x pisteessä x0 = 0 niin

e^x = 1 x x^2/2! x^3/3! ...
on pätevä e^x-funktion esitys kaikilla arvoilla x.
Jos otetaan vain äärellinen määrä termejä sarjasta niin täytyy tutkia jäännöstermiä.

Suosittelen edelleen kunnon kirjallisuutta.

Erittäin perusteellinen selvitys olisi Ernst Lindelöfin Differentiaali- ja integraalilasku 1 - teoksessa mutta ehkä et sitä saa käsiisi. Siinä lähdetään Lagrangesta liikkeelle ja selostetaan tarkkaan Taylorin polynomi, Taylorin kehitelmä, erilaiset jäännöstermit ym.

Mutta katso nyt edes tuoa Calculus Fennicaa netistä.

Lue lisää

Sitä minäkin ihmettelen, kun tuo alkuperäinen viesti kertoi oikeastaan saman asian kuin höpöhöpöttäjän. Mutta on kai niin, että joillakin on tarve olla eri mieltä, vaikka mitää aihetta siihen ei olisi.

Kyllä, tämä pitää paikkansa. Se johtuu siitä, että Taylorin sarjan suppenemissäde on tuolloin korkeintaan r. Se ei voi olla yli r, sillä (esim.) a r on "ongelmapiste" oletuksen mukaan. Siis: Taylorin sarja ei voi olla f(x):n kanssa yhtäpitävä välin ulkopuolella, koska se ei edes suppene [a-r, a r]:n ulkopuolella. Välin päätepisteistä ei tosin yleisesti voida sanoa mitään.

minkkilaukku kirjoitti:

Kyllä, tämä pitää paikkansa. Se johtuu siitä, että Taylorin sarjan suppenemissäde on tuolloin korkeintaan r. Se ei voi olla yli r, sillä (esim.) a r on "ongelmapiste" oletuksen mukaan. Siis: Taylorin sarja ei voi olla f(x):n kanssa yhtäpitävä välin ulkopuolella, koska se ei edes suppene [a-r, a r]:n ulkopuolella. Välin päätepisteistä ei tosin yleisesti voida sanoa mitään.

Lue lisää

Sori, nyt ajattelin väärin. Voi Taylorin sarjan suppenemissäde olla suurempikin kuin r tuossa tapauksessa, mutta silloin sarja ei voi olla f:n kanssa yhtäpitävä. Ota se standardiesimerkki f(x) = e^(-1/x), kun x>0 ja f(x) = 0 kun x<=0. Sen origossa otettu Taylorin sarjahan on identtisesti nolla, koska kaikki derivaatat nollia joten suppenee tietysti kaikilla x, mutta tässä tapauksessa sarja ei suppenekaan f:ään.
Jos sarja olisi f:än kanssa yhtäpitävä yli r:n suuruisella välillä, niin silloin f:n pitäisi olla analyyttinen (eli erityisesti jatkuvasti derivoituva) myös pisteessä a r.

minkkilaukku kirjoitti:

Sori, nyt ajattelin väärin. Voi Taylorin sarjan suppenemissäde olla suurempikin kuin r tuossa tapauksessa, mutta silloin sarja ei voi olla f:n kanssa yhtäpitävä. Ota se standardiesimerkki f(x) = e^(-1/x), kun x>0 ja f(x) = 0 kun x<=0. Sen origossa otettu Taylorin sarjahan on identtisesti nolla, koska kaikki derivaatat nollia joten suppenee tietysti kaikilla x, mutta tässä tapauksessa sarja ei suppenekaan f:ään.
Jos sarja olisi f:än kanssa yhtäpitävä yli r:n suuruisella välillä, niin silloin f:n pitäisi olla analyyttinen (eli erityisesti jatkuvasti derivoituva) myös pisteessä a r.

Lue lisää

Kiitos, tästä oli apua!

Mutta mistä siis tulee se, että funktion tulee olla jatkuvasti derivoituva kohdan a molemmin puolin symmetrisesti avoimella välillä ]a-r, a r[?

Katsoin Dr Peyamin todistuksen youtubesta, https://www.youtube.com/watch?v=jShliXdt9Ek . Eikö riittäisi, että funktio f on äärettömästi derivoituva millä vain halutulla välillä, johon a kuuluu?

Anonyymi kirjoitti:

Kiitos, tästä oli apua!

Mutta mistä siis tulee se, että funktion tulee olla jatkuvasti derivoituva kohdan a molemmin puolin symmetrisesti avoimella välillä ]a-r, a r[?

Katsoin Dr Peyamin todistuksen youtubesta, https://www.youtube.com/watch?v=jShliXdt9Ek . Eikö riittäisi, että funktio f on äärettömästi derivoituva millä vain halutulla välillä, johon a kuuluu?

Lue lisää

Symmetrisyys tulee juuri siitä miten potenssisarja suppenee: sillä on suppenemissäde, jonka ulkopuolella se ei suppene. Nyt jos f yhtyy Taylorin sarjaansa P jollain välillä, niin f:n pitää olla äärettömästi derivoituva, koska potenssisarja on sitä. Mutta jos f:llä on "epäsiisteyspiste" a r:ssä, niin tästä eteenpäinhän ei voi enää käydä niin, että f yhtyisi sarjaan ja sarja suppenisi, siis P:n täytyy hajaantua tai ei enää esittää f:ää kun tähän pisteeseen "törmätään".
Tuohan siinä voi tosiaan myös tapahtua, että P "lopettaa esittämästä f:ää", jos f ei ole analyyttinen. Laitetaan esim. paloittain määriteltynä "eri funktiot", tämän voi myös silottaa äärettömästi derivoituvaksi.
Mutta analyyttiselle funktiolle, jolla on epäsiisteyspiste, täytyy tapahtua P:n hajaantuminen. Ja symmetrisesti se siis hajaantuu myös toisella puolella.

Katso Calculus Fennicuksen sivun 456 ja 457 esimerkit 5 ja 6. Tuo esimerkki 6 onkin mielenkiintoinen. Funktio 1/(1 4x^2) on kaikilla reaaliluvuilla siisti, mutta silti sen origossa kehitetty Taylorin sarja suppenee vain välillä (-1/2, 1/2). Mitä pahaa on puolikkaan päässä origosta!?!?!? :D Noh, jätetään tämä hautumaan...

Funktion f(x)=1/x Taylorin sarjakehitelmä ykkösen ympäristössä on
P(x) = SUM( (-1)^n * (x-1)^n ) ; n=0, ääretön

Jos x > 2, niin P(x) divergoi, mutta f(x) lähestyy nollaa, kun x kasvaa rajatta.

Edellä esitettiin jo e^x kehitelmä:
e^x = 1 x x^2/2! x^3/3! ...

Sarjasta voidaan laskea e:n arvo mielivaltaisen tarkasti
e^1 = e = 1 1 1/2! 1/3! ... = 2,666 ....

Sarjan seuraava termi on 1/4! = 0,0417 ja sitä seuraava 1/5!=0,00833. Kun nämä otetaan mukaan saadaan e=2,7166. Laskimesta e:n arvo yhdeksällä desimaalilla on e=2,7182 81828.

Anonyymi kirjoitti:

Edellä esitettiin jo e^x kehitelmä:
e^x = 1 x x^2/2! x^3/3! ...

Sarjasta voidaan laskea e:n arvo mielivaltaisen tarkasti
e^1 = e = 1 1 1/2! 1/3! ... = 2,666 ....

Sarjan seuraava termi on 1/4! = 0,0417 ja sitä seuraava 1/5!=0,00833. Kun nämä otetaan mukaan saadaan e=2,7166. Laskimesta e:n arvo yhdeksällä desimaalilla on e=2,7182 81828.

Lue lisää

Laskimen tarkkuuteen tarvitaan 13 termiä. Sitten "bitit loppuvat" jo excelistäkin.

Ei siinä tehdä mitään kiellettyä. Jäännöstermi (se mitä videossa kutsutaan JUNK) menee nollaan, kun x -> a. Mutta jotta saatu sarja esittäisi f(x):ää, niin täytyy käydä niin, että se menee x:ssä nollaan, kun n menee äärettömään. Nämä ovat kaksi eri asiaa.
Funktiolle f(x)=exp(-1/x) origossa kehitetyn sarjan jäännöstermi on kaikilla n:n arvoilla f(x), koska kaikki derivaatat origossa ovat nollia. Jäännös ei siis mene nollaan, kun n menee äärettömään, jos x>0, koska f(x) != 0 tuolloin.

Äärettömästi derivoituvuus ei siis riitä siihen, että reaalifunktio voitaisiin lokaalisti kirjoittaa potenssisarjana. Tätä varten on keksitty eri termi: Analyyttinen funktio: https://fi.wikipedia.org/wiki/Analyyttinen_funktio

PS. en välittäisi tuosta Wikipedian lauseesta "Toinen tapa määritellä analyyttinen funktio on todeta, että funktio on analyyttinen, jos se on differentioituva jokaisessa joukon {\displaystyle G}G pisteessä." Potenssisarjaesityksen lokaali olemassa olo on se mitä analyyttisyydellä tarkoitetaan.

minkkilaukku kirjoitti:

Ei siinä tehdä mitään kiellettyä. Jäännöstermi (se mitä videossa kutsutaan JUNK) menee nollaan, kun x -> a. Mutta jotta saatu sarja esittäisi f(x):ää, niin täytyy käydä niin, että se menee x:ssä nollaan, kun n menee äärettömään. Nämä ovat kaksi eri asiaa.
Funktiolle f(x)=exp(-1/x) origossa kehitetyn sarjan jäännöstermi on kaikilla n:n arvoilla f(x), koska kaikki derivaatat origossa ovat nollia. Jäännös ei siis mene nollaan, kun n menee äärettömään, jos x>0, koska f(x) != 0 tuolloin.

Äärettömästi derivoituvuus ei siis riitä siihen, että reaalifunktio voitaisiin lokaalisti kirjoittaa potenssisarjana. Tätä varten on keksitty eri termi: Analyyttinen funktio: https://fi.wikipedia.org/wiki/Analyyttinen_funktio

PS. en välittäisi tuosta Wikipedian lauseesta "Toinen tapa määritellä analyyttinen funktio on todeta, että funktio on analyyttinen, jos se on differentioituva jokaisessa joukon {\displaystyle G}G pisteessä." Potenssisarjaesityksen lokaali olemassa olo on se mitä analyyttisyydellä tarkoitetaan.

Lue lisää

Kiitos paljon!