Taylorin sarja

Anonyymi

"Avoimella välillä ]a-r, a+r[ jatkuvasti derivoituva reaaliarvoinen funktio f voidaan kirjoittaa Taylorin sarjaksi."

Jos Taylorin sarjaa tälle funktiolle f merkitään P(x), niin tarkoittaako se, että
P(x)=f(x), mutta ainoastaan välillä a-r<x<a+r, vai ihan koko f:n lähtöjoukossa?

Esimerkiksi jos kirjoitan sarjan funktiolle f(x)=1/x käyttäen kohtaa a=1, niin onko P(x)=f(x) ainoastaan välillä 0<x<2 ?

Onko tuo jatkuva derivoituvuus riittävä ehto sille, että voidaan kirjoittaa Taylorin sarjaksi? Ja onko funktio siis jatkuvasti derivoituva, jos se on derivoituva kaikissa välin pisteissä?

23

523

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Jos sinulla ei ole sopivaa kirjallisuutta niin katso netistä. Etsi vaikkapa Calculus Fennicus. Siellä asioita selitetään selvällä suomenkielellä. Ei tuollaisia kannata täältä keskustelupalstalta kysyä. Tuskin kukaan viitsii tarvittavan pitkää kunnollista selitystä kirjoittaa. Huru-ukkojen höpövastauksia kyllä saattaa tulla.

    • Anonyymi

      "Ja onko funktio siis jatkuvasti derivoituva, jos se on derivoituva kaikissa välin pisteissä?"

      Wiki: Jos funktion ( n :s) derivaatta on olemassa ja jatkuva, niin funktion sanotaan olevan ( n kertaa) jatkuvasti derivoituva.

      Taylorin sarjassa tarvitaan nuo derivaatat.

    • Anonyymi

      Kun funktio f(x) kehitetään Taylorin sarjaksi P(x) pisteessä x0, niin P(x0) = f(x0) eli pisteessä x0 sarjakehitelmä antaa tarkan tuloksen. Mitä kauemmaksi pisteestä x0 mennään, sitä suuremmaksi käy kehitelmän virhe ( /P(x)-f(x)/ ). Virhettä voidaan pienentää lisäämällä kehitelmään mukaan otettavien termien lukumäärää. Virheen suuruutta voidaan arvioida laskemalla ensimmäisen pois pudotettavan termin arvo kehitelmästä.

      • Anonyymi

        Tässä nyt tuli sitä varoittamaani höpöhöpöä. Jos funktiolla on Taylorin sarjakehitelmä joka suppenee funktion arvoon niin kyllä se pätee muuallakin kuin tuossa pisteessä x0. Esim. jos jos kehitetään e^x pisteessä x0 = 0 niin

        e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! +...
        on pätevä e^x-funktion esitys kaikilla arvoilla x.
        Jos otetaan vain äärellinen määrä termejä sarjasta niin täytyy tutkia jäännöstermiä.

        Suosittelen edelleen kunnon kirjallisuutta.

        Erittäin perusteellinen selvitys olisi Ernst Lindelöfin Differentiaali- ja integraalilasku 1 - teoksessa mutta ehkä et sitä saa käsiisi. Siinä lähdetään Lagrangesta liikkeelle ja selostetaan tarkkaan Taylorin polynomi, Taylorin kehitelmä, erilaiset jäännöstermit ym.

        Mutta katso nyt edes tuoa Calculus Fennicaa netistä.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Tässä nyt tuli sitä varoittamaani höpöhöpöä. Jos funktiolla on Taylorin sarjakehitelmä joka suppenee funktion arvoon niin kyllä se pätee muuallakin kuin tuossa pisteessä x0. Esim. jos jos kehitetään e^x pisteessä x0 = 0 niin

        e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! +...
        on pätevä e^x-funktion esitys kaikilla arvoilla x.
        Jos otetaan vain äärellinen määrä termejä sarjasta niin täytyy tutkia jäännöstermiä.

        Suosittelen edelleen kunnon kirjallisuutta.

        Erittäin perusteellinen selvitys olisi Ernst Lindelöfin Differentiaali- ja integraalilasku 1 - teoksessa mutta ehkä et sitä saa käsiisi. Siinä lähdetään Lagrangesta liikkeelle ja selostetaan tarkkaan Taylorin polynomi, Taylorin kehitelmä, erilaiset jäännöstermit ym.

        Mutta katso nyt edes tuoa Calculus Fennicaa netistä.

        Ääretön sarja on tietenkin pätevä. Harvoin sitä kukan jaksaa ottaa. Että missä oli höpöä.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Ääretön sarja on tietenkin pätevä. Harvoin sitä kukan jaksaa ottaa. Että missä oli höpöä.

        Sanoit, että sarja antaa tarkan tuloksen pisteessä x0 mutta ei enää muualla. Tämä on höpöä kuten esimerkkini osoitti. Eri asia on, jos termejä otetaan vain äärellinen määrä. Saman asian toistamiseksihan tämä menee!

        Tämä on juuri sellainen kysymys johon aloittajan kannattaa perehtyä paremmin kuin tällaisilla palstoilla.

        Aiheetta enää yhtään enempään tästä asiasta

        Anonyymi/13:31


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Sanoit, että sarja antaa tarkan tuloksen pisteessä x0 mutta ei enää muualla. Tämä on höpöä kuten esimerkkini osoitti. Eri asia on, jos termejä otetaan vain äärellinen määrä. Saman asian toistamiseksihan tämä menee!

        Tämä on juuri sellainen kysymys johon aloittajan kannattaa perehtyä paremmin kuin tällaisilla palstoilla.

        Aiheetta enää yhtään enempään tästä asiasta

        Anonyymi/13:31

        Tarkoitin, että P(x) on se funktio, jossa on haluttu äärellinen määrä termejä otettu mukaan. Sorry, tällainen maallikon epätäsmällinen/omatekoinen ilmaisu.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Tarkoitin, että P(x) on se funktio, jossa on haluttu äärellinen määrä termejä otettu mukaan. Sorry, tällainen maallikon epätäsmällinen/omatekoinen ilmaisu.

        Esimerkiksi e^rt = (e^r)^t. Pankkiiripiireissä se korvataan yleensä ottamalla e^r sarjakehitelmästä vain alku eli saadaan (1+r)^t, joka on kohtuullisen hyvä, kun r on pieni.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Tässä nyt tuli sitä varoittamaani höpöhöpöä. Jos funktiolla on Taylorin sarjakehitelmä joka suppenee funktion arvoon niin kyllä se pätee muuallakin kuin tuossa pisteessä x0. Esim. jos jos kehitetään e^x pisteessä x0 = 0 niin

        e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! +...
        on pätevä e^x-funktion esitys kaikilla arvoilla x.
        Jos otetaan vain äärellinen määrä termejä sarjasta niin täytyy tutkia jäännöstermiä.

        Suosittelen edelleen kunnon kirjallisuutta.

        Erittäin perusteellinen selvitys olisi Ernst Lindelöfin Differentiaali- ja integraalilasku 1 - teoksessa mutta ehkä et sitä saa käsiisi. Siinä lähdetään Lagrangesta liikkeelle ja selostetaan tarkkaan Taylorin polynomi, Taylorin kehitelmä, erilaiset jäännöstermit ym.

        Mutta katso nyt edes tuoa Calculus Fennicaa netistä.

        Sitä minäkin ihmettelen, kun tuo alkuperäinen viesti kertoi oikeastaan saman asian kuin höpöhöpöttäjän. Mutta on kai niin, että joillakin on tarve olla eri mieltä, vaikka mitää aihetta siihen ei olisi.


    • Anonyymi

      Avauksessa esitetyn funktion f(x)=1/x sarjakehitelmä on mielenkiintoinen tapaus.

    • Anonyymi

      Kiitos viesteistä! Latasin tuon Calculus Fennicuksen, onpa kattava!

      Mutta tämä siis vielä jäi auki, että jos f on ainoastaan välillä ]a-r, a+r[ jatkuvasti derivoituva, niin onko sen Taylorin sarja (päättymätön summa) P(x) yhtäpitävä f(x):n kanssa ainoastaan välillä ]a-r, a+r[ ?

      • Kyllä, tämä pitää paikkansa. Se johtuu siitä, että Taylorin sarjan suppenemissäde on tuolloin korkeintaan r. Se ei voi olla yli r, sillä (esim.) a+r on "ongelmapiste" oletuksen mukaan. Siis: Taylorin sarja ei voi olla f(x):n kanssa yhtäpitävä välin ulkopuolella, koska se ei edes suppene [a-r, a+r]:n ulkopuolella. Välin päätepisteistä ei tosin yleisesti voida sanoa mitään.


      • minkkilaukku kirjoitti:

        Kyllä, tämä pitää paikkansa. Se johtuu siitä, että Taylorin sarjan suppenemissäde on tuolloin korkeintaan r. Se ei voi olla yli r, sillä (esim.) a+r on "ongelmapiste" oletuksen mukaan. Siis: Taylorin sarja ei voi olla f(x):n kanssa yhtäpitävä välin ulkopuolella, koska se ei edes suppene [a-r, a+r]:n ulkopuolella. Välin päätepisteistä ei tosin yleisesti voida sanoa mitään.

        Sori, nyt ajattelin väärin. Voi Taylorin sarjan suppenemissäde olla suurempikin kuin r tuossa tapauksessa, mutta silloin sarja ei voi olla f:n kanssa yhtäpitävä. Ota se standardiesimerkki f(x) = e^(-1/x), kun x>0 ja f(x) = 0 kun x<=0. Sen origossa otettu Taylorin sarjahan on identtisesti nolla, koska kaikki derivaatat nollia joten suppenee tietysti kaikilla x, mutta tässä tapauksessa sarja ei suppenekaan f:ään.
        Jos sarja olisi f:än kanssa yhtäpitävä yli r:n suuruisella välillä, niin silloin f:n pitäisi olla analyyttinen (eli erityisesti jatkuvasti derivoituva) myös pisteessä a+r.


      • Anonyymi
        minkkilaukku kirjoitti:

        Sori, nyt ajattelin väärin. Voi Taylorin sarjan suppenemissäde olla suurempikin kuin r tuossa tapauksessa, mutta silloin sarja ei voi olla f:n kanssa yhtäpitävä. Ota se standardiesimerkki f(x) = e^(-1/x), kun x>0 ja f(x) = 0 kun x<=0. Sen origossa otettu Taylorin sarjahan on identtisesti nolla, koska kaikki derivaatat nollia joten suppenee tietysti kaikilla x, mutta tässä tapauksessa sarja ei suppenekaan f:ään.
        Jos sarja olisi f:än kanssa yhtäpitävä yli r:n suuruisella välillä, niin silloin f:n pitäisi olla analyyttinen (eli erityisesti jatkuvasti derivoituva) myös pisteessä a+r.

        Kiitos, tästä oli apua!

        Mutta mistä siis tulee se, että funktion tulee olla jatkuvasti derivoituva kohdan a molemmin puolin symmetrisesti avoimella välillä ]a-r, a+r[?

        Katsoin Dr Peyamin todistuksen youtubesta, https://www.youtube.com/watch?v=jShliXdt9Ek . Eikö riittäisi, että funktio f on äärettömästi derivoituva millä vain halutulla välillä, johon a kuuluu?


      • Anonyymi kirjoitti:

        Kiitos, tästä oli apua!

        Mutta mistä siis tulee se, että funktion tulee olla jatkuvasti derivoituva kohdan a molemmin puolin symmetrisesti avoimella välillä ]a-r, a+r[?

        Katsoin Dr Peyamin todistuksen youtubesta, https://www.youtube.com/watch?v=jShliXdt9Ek . Eikö riittäisi, että funktio f on äärettömästi derivoituva millä vain halutulla välillä, johon a kuuluu?

        Symmetrisyys tulee juuri siitä miten potenssisarja suppenee: sillä on suppenemissäde, jonka ulkopuolella se ei suppene. Nyt jos f yhtyy Taylorin sarjaansa P jollain välillä, niin f:n pitää olla äärettömästi derivoituva, koska potenssisarja on sitä. Mutta jos f:llä on "epäsiisteyspiste" a+r:ssä, niin tästä eteenpäinhän ei voi enää käydä niin, että f yhtyisi sarjaan ja sarja suppenisi, siis P:n täytyy hajaantua tai ei enää esittää f:ää kun tähän pisteeseen "törmätään".
        Tuohan siinä voi tosiaan myös tapahtua, että P "lopettaa esittämästä f:ää", jos f ei ole analyyttinen. Laitetaan esim. paloittain määriteltynä "eri funktiot", tämän voi myös silottaa äärettömästi derivoituvaksi.
        Mutta analyyttiselle funktiolle, jolla on epäsiisteyspiste, täytyy tapahtua P:n hajaantuminen. Ja symmetrisesti se siis hajaantuu myös toisella puolella.

        Katso Calculus Fennicuksen sivun 456 ja 457 esimerkit 5 ja 6. Tuo esimerkki 6 onkin mielenkiintoinen. Funktio 1/(1+4x^2) on kaikilla reaaliluvuilla siisti, mutta silti sen origossa kehitetty Taylorin sarja suppenee vain välillä (-1/2, 1/2). Mitä pahaa on puolikkaan päässä origosta!?!?!? :D Noh, jätetään tämä hautumaan...


    • Anonyymi

      Polynomifunktion
      f(x)=a0+a1x+a2x^2
      Taylorin sarja x=0 ympäristössä on
      f(x)=a0+a1x+a2x^2
      Mitään jäännösvirhettä ei jää millää x:n arvolla.

      • Anonyymi

        Funktion f(x)=1/x Taylorin sarjakehitelmä ykkösen ympäristössä on
        P(x) = SUM( (-1)^n * (x-1)^n ) ; n=0, ääretön

        Jos x > 2, niin P(x) divergoi, mutta f(x) lähestyy nollaa, kun x kasvaa rajatta.


      • Anonyymi

        Edellä esitettiin jo e^x kehitelmä:
        e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

        Sarjasta voidaan laskea e:n arvo mielivaltaisen tarkasti
        e^1 = e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! +... = 2,666 +....

        Sarjan seuraava termi on 1/4! = 0,0417 ja sitä seuraava 1/5!=0,00833. Kun nämä otetaan mukaan saadaan e=2,7166. Laskimesta e:n arvo yhdeksällä desimaalilla on e=2,7182 81828.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Edellä esitettiin jo e^x kehitelmä:
        e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

        Sarjasta voidaan laskea e:n arvo mielivaltaisen tarkasti
        e^1 = e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! +... = 2,666 +....

        Sarjan seuraava termi on 1/4! = 0,0417 ja sitä seuraava 1/5!=0,00833. Kun nämä otetaan mukaan saadaan e=2,7166. Laskimesta e:n arvo yhdeksällä desimaalilla on e=2,7182 81828.

        Laskimen tarkkuuteen tarvitaan 13 termiä. Sitten "bitit loppuvat" jo excelistäkin.


    • Anonyymi

      Tuossa Dr Peyamin todistuksessa (https://www.youtube.com/watch?v=jShliXdt9Ek ) lähdetään johtamaan Taylorin sarjan sääntöä seuraavasti:

      f(x)=f(a)+f(x)-f(a)
      =f(a)+int(f'(x))
      =f(a)+int(f'(a)+f'(x)-f'(a))
      =f(a)+int(f'(a))+int(f'(x)-f'(a))
      =f(a)+f'(a)/1!*(x-a)^1+int(int(f''(x)))

      int(...)=määrätty integraali välillä [a, x] x:n suhteen

      Toistamalla tätä päättelyä päädytään tulokseen
      f(x)=f(a)+summa(f^(n)(a)/n!*(x-a)^n), jossa summataan termejä f^(n)(a)/n!*(x-a)^n käyden läpi luvut n ykkösestä äärettömään.

      Eikö tuon perusteella kaikki funktiot f, jotka ovat äärettömästi derivoituvia halutulla avoimella välillä sisältäen kohdan x=a, voida kirjoittaa päättymättömänä Taylorin sarjana? Vai miksi tuota funktiota f(x)=exp(-1/x) kun x>0, f(x)=0 muulloin; ei voida kirjoittaa sarjaksi koko määrittelyjoukossaan? Eikö se kuitenkin ole derivoituva kaikilla x? Tehdäänkö tuossa todistuksessa jokin 'kielletty' operaatio, jota se ei täytä?

      • Ei siinä tehdä mitään kiellettyä. Jäännöstermi (se mitä videossa kutsutaan JUNK) menee nollaan, kun x -> a. Mutta jotta saatu sarja esittäisi f(x):ää, niin täytyy käydä niin, että se menee x:ssä nollaan, kun n menee äärettömään. Nämä ovat kaksi eri asiaa.
        Funktiolle f(x)=exp(-1/x) origossa kehitetyn sarjan jäännöstermi on kaikilla n:n arvoilla f(x), koska kaikki derivaatat origossa ovat nollia. Jäännös ei siis mene nollaan, kun n menee äärettömään, jos x>0, koska f(x) != 0 tuolloin.

        Äärettömästi derivoituvuus ei siis riitä siihen, että reaalifunktio voitaisiin lokaalisti kirjoittaa potenssisarjana. Tätä varten on keksitty eri termi: Analyyttinen funktio: https://fi.wikipedia.org/wiki/Analyyttinen_funktio

        PS. en välittäisi tuosta Wikipedian lauseesta "Toinen tapa määritellä analyyttinen funktio on todeta, että funktio on analyyttinen, jos se on differentioituva jokaisessa joukon {\displaystyle G}G pisteessä." Potenssisarjaesityksen lokaali olemassa olo on se mitä analyyttisyydellä tarkoitetaan.


      • Anonyymi
        minkkilaukku kirjoitti:

        Ei siinä tehdä mitään kiellettyä. Jäännöstermi (se mitä videossa kutsutaan JUNK) menee nollaan, kun x -> a. Mutta jotta saatu sarja esittäisi f(x):ää, niin täytyy käydä niin, että se menee x:ssä nollaan, kun n menee äärettömään. Nämä ovat kaksi eri asiaa.
        Funktiolle f(x)=exp(-1/x) origossa kehitetyn sarjan jäännöstermi on kaikilla n:n arvoilla f(x), koska kaikki derivaatat origossa ovat nollia. Jäännös ei siis mene nollaan, kun n menee äärettömään, jos x>0, koska f(x) != 0 tuolloin.

        Äärettömästi derivoituvuus ei siis riitä siihen, että reaalifunktio voitaisiin lokaalisti kirjoittaa potenssisarjana. Tätä varten on keksitty eri termi: Analyyttinen funktio: https://fi.wikipedia.org/wiki/Analyyttinen_funktio

        PS. en välittäisi tuosta Wikipedian lauseesta "Toinen tapa määritellä analyyttinen funktio on todeta, että funktio on analyyttinen, jos se on differentioituva jokaisessa joukon {\displaystyle G}G pisteessä." Potenssisarjaesityksen lokaali olemassa olo on se mitä analyyttisyydellä tarkoitetaan.

        Kiitos paljon!


    • Anonyymi

      Vielä tuosta jäännöstermistä.

      Jos johdan kaavaa tuolla Dr. Peyamin tavalla (olettaen, että f on jatkuva ja äärettömästi derivoituva avoimella välillä, johon a kuuluu):
      f(x)=f(a)+f(x)-f(a)
      =f(a)+int(f'(x))
      =f(a)+int(f'(a)+f'(x)-f'(a))
      =f(a)+int(f'(a))+int(f'(x)-f'(a))
      =f(a)+f'(a)/1!*(x-a)^1+int(int(f''(x)))
      ...
      =astetta n oleva Taylorin polynomi + n+1 kertaa integroituna n+1. derivaattaa x:n yli välillä a...x.

      Jäännöstermi on siis n+1 kertaa integraali (siis integroidaan n+1 kertaa) n+1. derivaatan yli välillä a...x.

      Koska n+1. derivaatta on jatkuva välillä [a, x], voidaan hyödyntää integraalilaskennan väliarvolausetta. Integraali (yhden kerran) n+1. derivaatan yli välillä a...x on (x-a)*f^(n+1)(c), jossa c on jokin luku väliltä [a, x] (tai [x, a]). Kun tätä termiä integroidaan vielä n kertaa välillä a...x saadaan jäännöstermiksi f^(n+1)(c)*(x-a)^(n+1)/(n+1)! (eli se tulos mikä haluttiinkin).

      Useimmissa teksteissä kuitenkin luku c on avoimelta väliltä ]a, x[ tai jotenkin epämääräisesti sanottu vain, että luku on a:n ja x:n välillä. Tuliko tässä jokin virhe, vai voiko c olla myös a tai x?

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Putin hoiti Suomen natoon ja myös Ruotsin

      Iso kiitos Vladimir Putinille. Hänen ansiosta pääsemme nyt Natoon. Putin halusi Naton lähelle ja nyt sai. Voimme tästä kiittää vain Putinia.
      Maailman menoa
      669
      8140
    2. Niinistö teki hetkessä Suomesta Venäjän ydinaseiden maalitaulun

      Kaiken lisäksi mies vielä lällätteli Putinille eilisessä tiedotustilaisuudessa ja käski katsomaan itseään peiliin. Kyllä vähän asiallisempaa käytöstä
      Maailman menoa
      467
      2379
    3. Voi Stefu ja sun kiivas luonteesi

      Sielä lentelee ullakkohuoneiston ikkunasta daamin vaatteet ja matkalaukut pitkin pihaa. Toisaalta,en ihmettele yhtään että tämä suhde päättyi näin,kyl
      Kotimaiset julkkisjuorut
      234
      2354
    4. Poliisi otti Stefun kiinni!

      Seiska tietää kertoa.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      147
      1909
    5. Ohhoh! Martina Aitolehti ja seurapiirihurmuri-Jesper ekassa yhteiskuvassa - Sutinaa Mallorcalla!

      Martina Aitolehti ja seurapiirijulkkis-Jesper nauttivat toisistaan varsin vauhdikkaissa merkeissä Mallorcalla. Aitolehti ei ole esitellyt rakastaan vi
      Kotimaiset julkkisjuorut
      30
      1487
    6. Stefanilta tuli taas karu totuus Sofiasta

      Marokkolainen h*o*ra! Voi tsiisus kun mulla on hauskaa! Lumput lentää ikkunasta kun Stefu raivoaa h*uralleen🤣🤣🤣 Nyt ne popparit tulille, tästä tule
      Kotimaiset julkkisjuorut
      120
      1297
    7. Veikkaus: Miten The Rasmus pärjää Euroviisuissa?

      Euroviisuhuuma on ylimmillään, kun Suomi ja The Rasmus taistelee biisillään Jezebel. Bändi on tikissä, kunhan Lauri Ylösen ääni kantaa. Mitä veikka
      Viihde ja kulttuuri
      51
      1262
    8. Steppuli veressä

      Seiskan lööpissä Steppulilla naama ja nyrkit veressä. Ei tainnut ihan kamojen pihalle paiskominen riittää. Onkohan pistänyt kämpän tuusannuuskaks.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      81
      1031
    9. Ootko onnellinen kun ei tarvitse

      nähdä tätä tyhmää naamaa enää koskaan? Multa se särkee sydämen, mutta minkäs teen. Vaikka olisi kuinka sinnikäs eikä hellittäisi, se ei aina auta.
      Ikävä
      65
      869
    10. Oletko nähnyt eroottiset kohuleffat? Fifty Shades Of Grey -trilogia tv:stä

      Fifty Shades -trilogia starttaa, kun nuori opiskelijanainen Anastasia tapaa rikkaan liikemiehen. Seksisuhdehan siitä starttaa, höystettynä sadistisill
      Suhteet
      7
      829
    Aihe