Matriisin ominaisarvo

Matriiseilla on yleensä useampia ominaisarvoja. Ne voivat tietenkin olla yhtäsuuria, mutta puhutaan matriisin ominaisarvoista monikossa, ei ominaisarvosta, ellei kyseessä ole joku annettu ominaisarvo jota tarkastellaan.

Itse asiassa niitä löytyy täsmälleen yhtä paljon kuin mikä on neliömatriisin sivun pituus. Esimerkissäsi on 2x2-matriisi, joten sillä on kaksi ominaisarvoa.

Ne paljastuvat luvuiksi 5 ja -1. Kerron alla miten ne lasketaan. Määritelmä lienee hyvä käydä läpi esimerkin kanssa, koska se uupuu prujustasi (hanki parempi!).

-1:tä vastaava ominaisvektori X on (-1,1). Olkoon antamasi matriisi A. Silloin AX = -1 * X. 5:ttä taas vastaa vektori Y=(1,2). Taas voit laskea, että AY=5Y. Itse asiassa kaikki X:n ja Y:n vakiolla (paitsi ei nollalla) kerrotut monikerrat ovat myös ominaisvektoreita.

Kyseessä on kuitenkin muotoa AX=aX oleva yhtälö, jossa a on siis skalaari. Ominaisvektori on sellainen vektori, että jos matriisilla kertoo sen, saadaan saman vektorin jokin monikerta. Tässä kertoja on se ominaisarvo.

Tästä määritelmästä voidaan helposti osoittaa, että ominaisarvot saadaan helposti laskettua pienille matriiseille (isoihin käytetään tietokonetta, mutta tekniikat voi opetella edistyneemmästä kirjallisuudesta) käsin determinantin avulla.

Lasketaa matriisin (xI-A) determinantti, missä x on tuntematon muuttuja ja I on yksikkömatriisi. (Joskus annetaan myös muotoa (A-Ix), joka on melkein sama asia tässä yhteydessä.) Tämä antaa polynomin, jonka nollakohtia ominaisarvot ovat.

Siis pitää laskea det ([x-1, -1],[-4,x-3]). Siitä tulee vähän pyörittelemällä: x^2-4x-5. Tämän juuret ovat nuo -1 ja 5, eli siis ominaisarvot.

Toivottavasti tästä on apua.

Jotkut prujut ovat kyllä todella vaikeita ymmärtää. Kannattaa kuitenkin aina muistaa että netti on tavaraa pullollaan ja apu on monesti lähempänä kuin luulekaan. Esim noista matriiseista ja ominaisarvoista loytyy todella paljon verkkomateriaalia (erittäin laadukkaita ja helppolukuisia). Google auki ja muutama hakusana sinne.