Olkoon d>0. Funktiolle f(x) piirretään pisteisiin x ja x-d tangentit. Millä x:n arvolla niiden välinen kulma on suurimmillaan? Kuvio: https://aijaa.com/y5YDrs
Tuossa esimerkkikuvassa oli f(x) = xe^x, mutta tehtäväksi voidaan asettaa
a) f(x) = e^x
b) f(x) = 1/3*x^3 x/5
Asetetaan b-kohdassa d=1.
Toinen tehtävä: Kun p(x) on toisen asteen polynomi ja sille piirretään kolmeen eri pisteeseen tangentit, niin näiden muodostama kolmio on alaltaan vakio. Todista tämä väite oikeaksi tai vääräksi.
Tuossa esimerkkikuvassa oli f(x) = xe^x, mutta tehtäväksi voidaan asettaa
a) f(x) = e^x
b) f(x) = 1/3*x^3 x/5
Asetetaan b-kohdassa d=1.
Toinen tehtävä: Kun p(x) on toisen asteen polynomi ja sille piirretään kolmeen eri pisteeseen tangentit, niin näiden muodostama kolmio on alaltaan vakio. Todista tämä väite oikeaksi tai vääräksi.
Vastaukset 11
Vanhimmat
a) x=d/2
2) Valitaan yksi piste parabelin huipusta ja kaksi muuta pistettä symmetrisesti se vierestä. Saadaan tangenteista kolmio. Kun viereisiä pisteteitä siirretään siiretään lähemmäksi huippua niin tangenttien muodostaman kolmion ala menee nollaan. Varmaan tuon voi jollain laskuesimerkilläkin osoittaa.
Ai niin joo, tokaan tehtävään semmoinen tarkennus, että siinä piti olla ne kahden muun pisteen x-koordinaattien etäisyydet keskimmäisestä annetut ja sitten ala on vakio (?) kun keskimmäistä liikutellaan.
Siis olkoon eräs piste (x0, p(x0) ja kaksi muuta (x0-d1, p(x0-d1)) sekä x0 d2, p(x0 d2)), missä d1 ja d2 ovat kiinteät positiiviset vakiot.
Tuntuisi mutulla siltä, että ei ole se ala vakio, koska kaarevuussäde ei ole vakio. Ympyrällä olisi..
Minä sain, että ala olisi aina 1/4*|d1|*|d2|*|d1-d2|, kun pisteiden x-koordinaatit ovat x0, x0 d1 ja x0 d2 (eli molemmissa lisätään dj, helpompi tehdä samalla tavalla).
https://www.desmos.com/calculator/6keklruk95
Tein laskun Sagella, koodi on tuolla mukana. Pidin kaikki parametrit symboolisina ja ratkaisin leikkauspisteet ja sitten laskin kolmion alan determinanttina niinkuin se nyt menee tai shoelace formulalla: https://en.wikipedia.org/wiki/Shoelace_formula
Ai niin paitsi p:n johtavan kertoimen oletin jostain syystä ykköseksi, mutta näköjään alan kaava pitää vielä kertoa sen itseisarvolla, jos näin ei ole.
Koodissa a mukana: https://www.desmos.com/calculator/4ecpkk0xav
Toinen tehtävä: Kyllä se väite on oikea tai väärä.
f:n tangentin kulmakerroin pisteessä x on f'(x).
a)f(x) = e^x
F(x) = arctan(e^x) - arctan(e^(x-d))
On minimoitava F.
Saadaan yhtälö (1 - e^d) (1 - e^(2x-d)) = 0 josta x = d/2.
Oli d > 0 joten 1 - e^(-d) > 0
1 - e^(2x-d) < 0 kun x > d/2 ja 1 - e^(2x-d) > 0 kun x < d/2
joten kyseessä on maksimi.
b) f(x) = 1/3 x^3 x/5, d = 1.
F(x) = arctan(x^2 1/5) - arctan(x^2 - 2x 6/5)
d/dx(arctan(x)) =1/(1 x^2)
Siitä vaan ratkomaan. Kyllä W-A laskee!
Pitin sanomani: on maksimoitava F. Ja senhän teinkin lähtien siitä että F'(x) = 0.
Vielä paremmin: etsitään F:n ääriarvot ja niistä maksimi jos löytyy.
Joo, b:stä tuli minun laskun mukaan x = 1/2 sqrt(13/5)/2 = 1,306. Tai W-A:llahan minäkin taisin sen yhtälön sitten ratkaista :D
https://www.desmos.com/calculator/dewvfsmm3v
W-A antaa tosiaan reaalijuuret x1 = 1/2 - sqrt(13/5)/2 = - 0,3062 ja x2 = 1/2 sqrt(13/5)/2 = 1,3062 yhtälölle F'(x) = 0.
Pistettä x1 ohitettaessa F:n merkki muuttuu : - -> , kyseessä minimi.
Pistettä x2 ihitettaessa F:n merkki muuttuu : -> - , kyseessä maksimi.