Olkoon d>0. Funktiolle f(x) piirretään pisteisiin x ja x-d tangentit. Millä x:n arvolla niiden välinen kulma on suurimmillaan? Kuvio: https://aijaa.com/y5YDrs
Tuossa esimerkkikuvassa oli f(x) = xe^x, mutta tehtäväksi voidaan asettaa
a) f(x) = e^x
b) f(x) = 1/3*x^3 x/5
Asetetaan b-kohdassa d=1.
Toinen tehtävä: Kun p(x) on toisen asteen polynomi ja sille piirretään kolmeen eri pisteeseen tangentit, niin näiden muodostama kolmio on alaltaan vakio. Todista tämä väite oikeaksi tai vääräksi.
Valokeilatehtävä
Anonyymi
11
88
Vastaukset
- Anonyymi
a) x=d/2
- Anonyymi
2) Valitaan yksi piste parabelin huipusta ja kaksi muuta pistettä symmetrisesti se vierestä. Saadaan tangenteista kolmio. Kun viereisiä pisteteitä siirretään siiretään lähemmäksi huippua niin tangenttien muodostaman kolmion ala menee nollaan. Varmaan tuon voi jollain laskuesimerkilläkin osoittaa.
- Anonyymi
Ai niin joo, tokaan tehtävään semmoinen tarkennus, että siinä piti olla ne kahden muun pisteen x-koordinaattien etäisyydet keskimmäisestä annetut ja sitten ala on vakio (?) kun keskimmäistä liikutellaan.
Siis olkoon eräs piste (x0, p(x0) ja kaksi muuta (x0-d1, p(x0-d1)) sekä x0 d2, p(x0 d2)), missä d1 ja d2 ovat kiinteät positiiviset vakiot. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ai niin joo, tokaan tehtävään semmoinen tarkennus, että siinä piti olla ne kahden muun pisteen x-koordinaattien etäisyydet keskimmäisestä annetut ja sitten ala on vakio (?) kun keskimmäistä liikutellaan.
Siis olkoon eräs piste (x0, p(x0) ja kaksi muuta (x0-d1, p(x0-d1)) sekä x0 d2, p(x0 d2)), missä d1 ja d2 ovat kiinteät positiiviset vakiot.Tuntuisi mutulla siltä, että ei ole se ala vakio, koska kaarevuussäde ei ole vakio. Ympyrällä olisi..
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tuntuisi mutulla siltä, että ei ole se ala vakio, koska kaarevuussäde ei ole vakio. Ympyrällä olisi..
Minä sain, että ala olisi aina 1/4*|d1|*|d2|*|d1-d2|, kun pisteiden x-koordinaatit ovat x0, x0 d1 ja x0 d2 (eli molemmissa lisätään dj, helpompi tehdä samalla tavalla).
https://www.desmos.com/calculator/6keklruk95
Tein laskun Sagella, koodi on tuolla mukana. Pidin kaikki parametrit symboolisina ja ratkaisin leikkauspisteet ja sitten laskin kolmion alan determinanttina niinkuin se nyt menee tai shoelace formulalla: https://en.wikipedia.org/wiki/Shoelace_formula - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Minä sain, että ala olisi aina 1/4*|d1|*|d2|*|d1-d2|, kun pisteiden x-koordinaatit ovat x0, x0 d1 ja x0 d2 (eli molemmissa lisätään dj, helpompi tehdä samalla tavalla).
https://www.desmos.com/calculator/6keklruk95
Tein laskun Sagella, koodi on tuolla mukana. Pidin kaikki parametrit symboolisina ja ratkaisin leikkauspisteet ja sitten laskin kolmion alan determinanttina niinkuin se nyt menee tai shoelace formulalla: https://en.wikipedia.org/wiki/Shoelace_formulaAi niin paitsi p:n johtavan kertoimen oletin jostain syystä ykköseksi, mutta näköjään alan kaava pitää vielä kertoa sen itseisarvolla, jos näin ei ole.
Koodissa a mukana: https://www.desmos.com/calculator/4ecpkk0xav
- Anonyymi
Toinen tehtävä: Kyllä se väite on oikea tai väärä.
- Anonyymi
f:n tangentin kulmakerroin pisteessä x on f'(x).
a)f(x) = e^x
F(x) = arctan(e^x) - arctan(e^(x-d))
On minimoitava F.
Saadaan yhtälö (1 - e^d) (1 - e^(2x-d)) = 0 josta x = d/2.
Oli d > 0 joten 1 - e^(-d) > 0
1 - e^(2x-d) < 0 kun x > d/2 ja 1 - e^(2x-d) > 0 kun x < d/2
joten kyseessä on maksimi.
b) f(x) = 1/3 x^3 x/5, d = 1.
F(x) = arctan(x^2 1/5) - arctan(x^2 - 2x 6/5)
d/dx(arctan(x)) =1/(1 x^2)
Siitä vaan ratkomaan. Kyllä W-A laskee!- Anonyymi
Pitin sanomani: on maksimoitava F. Ja senhän teinkin lähtien siitä että F'(x) = 0.
Vielä paremmin: etsitään F:n ääriarvot ja niistä maksimi jos löytyy. - Anonyymi
Joo, b:stä tuli minun laskun mukaan x = 1/2 sqrt(13/5)/2 = 1,306. Tai W-A:llahan minäkin taisin sen yhtälön sitten ratkaista :D
https://www.desmos.com/calculator/dewvfsmm3v - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Joo, b:stä tuli minun laskun mukaan x = 1/2 sqrt(13/5)/2 = 1,306. Tai W-A:llahan minäkin taisin sen yhtälön sitten ratkaista :D
https://www.desmos.com/calculator/dewvfsmm3vW-A antaa tosiaan reaalijuuret x1 = 1/2 - sqrt(13/5)/2 = - 0,3062 ja x2 = 1/2 sqrt(13/5)/2 = 1,3062 yhtälölle F'(x) = 0.
Pistettä x1 ohitettaessa F:n merkki muuttuu : - -> , kyseessä minimi.
Pistettä x2 ihitettaessa F:n merkki muuttuu : -> - , kyseessä maksimi.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
SDP palauttaa Suomen kansalle kulta-ajat
Hyvinvointivalto on pääosin SDP:n ja osin myös Maalaisliiton rakentama. Hyvinvointivaltion ylläpito edellyttää oikeude18214880Aamun Riikka: työttömyydessä lähestytään viime laman synkintä vaihetta
Nopeasti mentiiin upean Marinin hallituksen ennätystyöllisyydestä toiseen ääripäähän, kohti Suomen historian kurjimpia t11810425Älkää vassarit kuvitelko, että Marinin kulta-ajat palaavat
Vaikka demarit voittaisivat seuraavat vaalit, se ei palauta Marinin taskut-täyteen-kelasta-aikaa takaisin, ei voi eikä h1079287Suomen velka kasvoi ennätysvauhtia - Mäkynen repostelee
– Velka kasvoi eniten tilaston historiassa, Mäkynen kirjoittaa. – Vuoden 2025 toisella neljänneksellä selvästi eniten k489113Persut JYTKYTTÄÄ ylös, ohi kepun! +2,1 %
Persut palasi kolmen suurimman joukkoon ja on matkalla kohti kevään 2027 eduskuntavaalivoittoa. Sosialistit ovat syöksy708732Giorgia Meloni vs Riikka Purra
Kyllä Italian pääministeri on kauniimpi ja seksikkäämpi, kuin Suomen valtiovarainministeri Riikka Purra. Mitä jotkut näk526880Johtuuko vasemmistolaisten inho kristinuskoa kohtaan heidän islamin uskostaan?
Tätä jäin pohdiskelemaan.1806470Ohhoh. Kokoomusvirkamiehen mukaan Suomessa ei ole työttömyyskriisiä
Kun kokoomuksen johtama hallitus epäonnistuu täydellisesti talouspolitiikassaan, niin aikaisemmin erittäin pahaksi määri305553Gallup, PS:lle JÄRISYTTÄVÄ nousu, SDP suurin laskija
https://yle.fi/a/74-20186114 PS kovaa vauhtia nousemassa ennen 2027 vaaleja suurimmaksi puolueeksi. Nyt mennään jo etua1505324Polttomoottoriauto tulessa parkkihallissa Tampereella
Pystyy näkemättä jo sanomaan, koska sähköautoissa ei ole palavia nesteitä lainkaan. Ihme ettei polttomoottoriautoja ole433829