Olkoon d>0. Funktiolle f(x) piirretään pisteisiin x ja x-d tangentit. Millä x:n arvolla niiden välinen kulma on suurimmillaan? Kuvio: https://aijaa.com/y5YDrs
Tuossa esimerkkikuvassa oli f(x) = xe^x, mutta tehtäväksi voidaan asettaa
a) f(x) = e^x
b) f(x) = 1/3*x^3 x/5
Asetetaan b-kohdassa d=1.
Toinen tehtävä: Kun p(x) on toisen asteen polynomi ja sille piirretään kolmeen eri pisteeseen tangentit, niin näiden muodostama kolmio on alaltaan vakio. Todista tämä väite oikeaksi tai vääräksi.
Valokeilatehtävä
Anonyymi
11
78
Vastaukset
- Anonyymi
a) x=d/2
- Anonyymi
2) Valitaan yksi piste parabelin huipusta ja kaksi muuta pistettä symmetrisesti se vierestä. Saadaan tangenteista kolmio. Kun viereisiä pisteteitä siirretään siiretään lähemmäksi huippua niin tangenttien muodostaman kolmion ala menee nollaan. Varmaan tuon voi jollain laskuesimerkilläkin osoittaa.
- Anonyymi
Ai niin joo, tokaan tehtävään semmoinen tarkennus, että siinä piti olla ne kahden muun pisteen x-koordinaattien etäisyydet keskimmäisestä annetut ja sitten ala on vakio (?) kun keskimmäistä liikutellaan.
Siis olkoon eräs piste (x0, p(x0) ja kaksi muuta (x0-d1, p(x0-d1)) sekä x0 d2, p(x0 d2)), missä d1 ja d2 ovat kiinteät positiiviset vakiot. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ai niin joo, tokaan tehtävään semmoinen tarkennus, että siinä piti olla ne kahden muun pisteen x-koordinaattien etäisyydet keskimmäisestä annetut ja sitten ala on vakio (?) kun keskimmäistä liikutellaan.
Siis olkoon eräs piste (x0, p(x0) ja kaksi muuta (x0-d1, p(x0-d1)) sekä x0 d2, p(x0 d2)), missä d1 ja d2 ovat kiinteät positiiviset vakiot.Tuntuisi mutulla siltä, että ei ole se ala vakio, koska kaarevuussäde ei ole vakio. Ympyrällä olisi..
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tuntuisi mutulla siltä, että ei ole se ala vakio, koska kaarevuussäde ei ole vakio. Ympyrällä olisi..
Minä sain, että ala olisi aina 1/4*|d1|*|d2|*|d1-d2|, kun pisteiden x-koordinaatit ovat x0, x0 d1 ja x0 d2 (eli molemmissa lisätään dj, helpompi tehdä samalla tavalla).
https://www.desmos.com/calculator/6keklruk95
Tein laskun Sagella, koodi on tuolla mukana. Pidin kaikki parametrit symboolisina ja ratkaisin leikkauspisteet ja sitten laskin kolmion alan determinanttina niinkuin se nyt menee tai shoelace formulalla: https://en.wikipedia.org/wiki/Shoelace_formula - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Minä sain, että ala olisi aina 1/4*|d1|*|d2|*|d1-d2|, kun pisteiden x-koordinaatit ovat x0, x0 d1 ja x0 d2 (eli molemmissa lisätään dj, helpompi tehdä samalla tavalla).
https://www.desmos.com/calculator/6keklruk95
Tein laskun Sagella, koodi on tuolla mukana. Pidin kaikki parametrit symboolisina ja ratkaisin leikkauspisteet ja sitten laskin kolmion alan determinanttina niinkuin se nyt menee tai shoelace formulalla: https://en.wikipedia.org/wiki/Shoelace_formulaAi niin paitsi p:n johtavan kertoimen oletin jostain syystä ykköseksi, mutta näköjään alan kaava pitää vielä kertoa sen itseisarvolla, jos näin ei ole.
Koodissa a mukana: https://www.desmos.com/calculator/4ecpkk0xav
- Anonyymi
Toinen tehtävä: Kyllä se väite on oikea tai väärä.
- Anonyymi
f:n tangentin kulmakerroin pisteessä x on f'(x).
a)f(x) = e^x
F(x) = arctan(e^x) - arctan(e^(x-d))
On minimoitava F.
Saadaan yhtälö (1 - e^d) (1 - e^(2x-d)) = 0 josta x = d/2.
Oli d > 0 joten 1 - e^(-d) > 0
1 - e^(2x-d) < 0 kun x > d/2 ja 1 - e^(2x-d) > 0 kun x < d/2
joten kyseessä on maksimi.
b) f(x) = 1/3 x^3 x/5, d = 1.
F(x) = arctan(x^2 1/5) - arctan(x^2 - 2x 6/5)
d/dx(arctan(x)) =1/(1 x^2)
Siitä vaan ratkomaan. Kyllä W-A laskee!- Anonyymi
Pitin sanomani: on maksimoitava F. Ja senhän teinkin lähtien siitä että F'(x) = 0.
Vielä paremmin: etsitään F:n ääriarvot ja niistä maksimi jos löytyy. - Anonyymi
Joo, b:stä tuli minun laskun mukaan x = 1/2 sqrt(13/5)/2 = 1,306. Tai W-A:llahan minäkin taisin sen yhtälön sitten ratkaista :D
https://www.desmos.com/calculator/dewvfsmm3v - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Joo, b:stä tuli minun laskun mukaan x = 1/2 sqrt(13/5)/2 = 1,306. Tai W-A:llahan minäkin taisin sen yhtälön sitten ratkaista :D
https://www.desmos.com/calculator/dewvfsmm3vW-A antaa tosiaan reaalijuuret x1 = 1/2 - sqrt(13/5)/2 = - 0,3062 ja x2 = 1/2 sqrt(13/5)/2 = 1,3062 yhtälölle F'(x) = 0.
Pistettä x1 ohitettaessa F:n merkki muuttuu : - -> , kyseessä minimi.
Pistettä x2 ihitettaessa F:n merkki muuttuu : -> - , kyseessä maksimi.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Poliisi: Kymmenhenkinen pohjalaisperhe ollut vuoden kateissa kansainvälinen etsintäkuulutus Poliis
Poliisi: Kymmenhenkinen pohjalaisperhe ollut vuoden kateissa – kansainvälinen etsintäkuulutus Poliisi pyytää yleisön apu4674034Tässä totuus jälleensyntymisestä - voit yllättyä
Jumalasta syntyminen Raamatussa ei tässä Joh. 3:3. ole alkukielen mukaan ollenkaan sanaa uudestisyntyminen, vaan pelkä3181692- 1161526
En kadu sitä, että kohtasin hänet
mutta kadun sitä, että aloin kirjoittamaan tänne palstalle. Jollain tasolla se saa vain asiat enemmän solmuun ja tekee n891474Noniin rakas
Annetaanko pikkuhiljaa jo olla, niin ehkä säilyy vienot hymyt kohdatessa. En edelleenkään halua sulle tai kenellekään mi991408Oisko mitenkään mahdollisesti ihan pikkuisen ikävä..
...edes ihan pikkuisen pikkuisen ikävä sulla mua??.. Että miettisit vaikka vähän missähän se nyt on ja oiskohan hauska n601375- 521316
Helena Koivu : Ja kohta mennään taas
Kohta kohtalon päivä lähestyy kuinka käy Helena Koivulle ? Kenen puolella olet? Jos vastauksesi on Helenan niin voisi981229- 441079
Au pair -työ Thaimaassa herättää kiivasta keskustelua somessa: "4cm torakoita, huumeita, tauteja..."
Au pairit -sarjan uusi kausi herättää keskustelua Suomi24 Keskustelupalvelussa. Mielipiteitä ladataan puolesta ja vastaa341078