Olkoon d>0. Funktiolle f(x) piirretään pisteisiin x ja x-d tangentit. Millä x:n arvolla niiden välinen kulma on suurimmillaan? Kuvio: https://aijaa.com/y5YDrs
Tuossa esimerkkikuvassa oli f(x) = xe^x, mutta tehtäväksi voidaan asettaa
a) f(x) = e^x
b) f(x) = 1/3*x^3 x/5
Asetetaan b-kohdassa d=1.
Toinen tehtävä: Kun p(x) on toisen asteen polynomi ja sille piirretään kolmeen eri pisteeseen tangentit, niin näiden muodostama kolmio on alaltaan vakio. Todista tämä väite oikeaksi tai vääräksi.
Valokeilatehtävä
Anonyymi
11
63
Vastaukset
- Anonyymi
a) x=d/2
- Anonyymi
2) Valitaan yksi piste parabelin huipusta ja kaksi muuta pistettä symmetrisesti se vierestä. Saadaan tangenteista kolmio. Kun viereisiä pisteteitä siirretään siiretään lähemmäksi huippua niin tangenttien muodostaman kolmion ala menee nollaan. Varmaan tuon voi jollain laskuesimerkilläkin osoittaa.
- Anonyymi
Ai niin joo, tokaan tehtävään semmoinen tarkennus, että siinä piti olla ne kahden muun pisteen x-koordinaattien etäisyydet keskimmäisestä annetut ja sitten ala on vakio (?) kun keskimmäistä liikutellaan.
Siis olkoon eräs piste (x0, p(x0) ja kaksi muuta (x0-d1, p(x0-d1)) sekä x0 d2, p(x0 d2)), missä d1 ja d2 ovat kiinteät positiiviset vakiot. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ai niin joo, tokaan tehtävään semmoinen tarkennus, että siinä piti olla ne kahden muun pisteen x-koordinaattien etäisyydet keskimmäisestä annetut ja sitten ala on vakio (?) kun keskimmäistä liikutellaan.
Siis olkoon eräs piste (x0, p(x0) ja kaksi muuta (x0-d1, p(x0-d1)) sekä x0 d2, p(x0 d2)), missä d1 ja d2 ovat kiinteät positiiviset vakiot.Tuntuisi mutulla siltä, että ei ole se ala vakio, koska kaarevuussäde ei ole vakio. Ympyrällä olisi..
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tuntuisi mutulla siltä, että ei ole se ala vakio, koska kaarevuussäde ei ole vakio. Ympyrällä olisi..
Minä sain, että ala olisi aina 1/4*|d1|*|d2|*|d1-d2|, kun pisteiden x-koordinaatit ovat x0, x0 d1 ja x0 d2 (eli molemmissa lisätään dj, helpompi tehdä samalla tavalla).
https://www.desmos.com/calculator/6keklruk95
Tein laskun Sagella, koodi on tuolla mukana. Pidin kaikki parametrit symboolisina ja ratkaisin leikkauspisteet ja sitten laskin kolmion alan determinanttina niinkuin se nyt menee tai shoelace formulalla: https://en.wikipedia.org/wiki/Shoelace_formula - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Minä sain, että ala olisi aina 1/4*|d1|*|d2|*|d1-d2|, kun pisteiden x-koordinaatit ovat x0, x0 d1 ja x0 d2 (eli molemmissa lisätään dj, helpompi tehdä samalla tavalla).
https://www.desmos.com/calculator/6keklruk95
Tein laskun Sagella, koodi on tuolla mukana. Pidin kaikki parametrit symboolisina ja ratkaisin leikkauspisteet ja sitten laskin kolmion alan determinanttina niinkuin se nyt menee tai shoelace formulalla: https://en.wikipedia.org/wiki/Shoelace_formulaAi niin paitsi p:n johtavan kertoimen oletin jostain syystä ykköseksi, mutta näköjään alan kaava pitää vielä kertoa sen itseisarvolla, jos näin ei ole.
Koodissa a mukana: https://www.desmos.com/calculator/4ecpkk0xav
- Anonyymi
Toinen tehtävä: Kyllä se väite on oikea tai väärä.
- Anonyymi
f:n tangentin kulmakerroin pisteessä x on f'(x).
a)f(x) = e^x
F(x) = arctan(e^x) - arctan(e^(x-d))
On minimoitava F.
Saadaan yhtälö (1 - e^d) (1 - e^(2x-d)) = 0 josta x = d/2.
Oli d > 0 joten 1 - e^(-d) > 0
1 - e^(2x-d) < 0 kun x > d/2 ja 1 - e^(2x-d) > 0 kun x < d/2
joten kyseessä on maksimi.
b) f(x) = 1/3 x^3 x/5, d = 1.
F(x) = arctan(x^2 1/5) - arctan(x^2 - 2x 6/5)
d/dx(arctan(x)) =1/(1 x^2)
Siitä vaan ratkomaan. Kyllä W-A laskee!- Anonyymi
Pitin sanomani: on maksimoitava F. Ja senhän teinkin lähtien siitä että F'(x) = 0.
Vielä paremmin: etsitään F:n ääriarvot ja niistä maksimi jos löytyy. - Anonyymi
Joo, b:stä tuli minun laskun mukaan x = 1/2 sqrt(13/5)/2 = 1,306. Tai W-A:llahan minäkin taisin sen yhtälön sitten ratkaista :D
https://www.desmos.com/calculator/dewvfsmm3v - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Joo, b:stä tuli minun laskun mukaan x = 1/2 sqrt(13/5)/2 = 1,306. Tai W-A:llahan minäkin taisin sen yhtälön sitten ratkaista :D
https://www.desmos.com/calculator/dewvfsmm3vW-A antaa tosiaan reaalijuuret x1 = 1/2 - sqrt(13/5)/2 = - 0,3062 ja x2 = 1/2 sqrt(13/5)/2 = 1,3062 yhtälölle F'(x) = 0.
Pistettä x1 ohitettaessa F:n merkki muuttuu : - -> , kyseessä minimi.
Pistettä x2 ihitettaessa F:n merkki muuttuu : -> - , kyseessä maksimi.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Aivosyöpää sairastava Olga Temonen TV:ssä - Viimeinen Perjantai-keskusteluohjelma ulos
Näyttelijä-yrittäjä Olga Temonen sairastaa neljännen asteen glioomaa eli aivosyöpää, jota ei ole mahdollista leikata. Hä802799Pelotelkaa niin paljon kuin sielu sietää.
Mutta ei mene perille asti. Miksi Venäjä hyökkäisi Suomeen? No, tottahan se tietenkin on jos Suomi joka ei ole edes soda2931610Mikä saa ihmisen tekemään tällaista?
Onko se huomatuksi tulemisen tarve tosiaan niin iso tarve, että nuoruuttaan ja tietämättömyyttään pilataan loppuelämä?2461517- 871361
IL - VARUSMIEHIÄ lähetetään jatkossa NATO-tehtäviin ulkomaille!
Suomen puolustuksen uudet linjaukset: Varusmiehiä suunnitellaan Nato-tehtäviin Puolustusministeri Antti Häkkänen esittel4011339Nyt kun Pride on ohi 3.0
Edelliset kaksi ketjua tuli täyteen. Pidetään siis edelleen tämä asia esillä. Raamattu opettaa johdonmukaisesti, että3961273Esko Eerikäinen tatuoi kasvoihinsa rakkaan nimen - Kärkäs kommentti "Ritvasta" lävähti somessa
Ohhoh! Esko Eerikäinen on ottanut uuden tatuoinnin. Kyseessä ei ole mikä tahansa kuva minne tahansa, vaan Eerikäisen tat381017Kiitos nainen
Kuitenkin. Olet sitten ajanmerkkinä. Tuskin enää sinua näen ja huomasitko, että olit siinä viimeisen kerran samassa paik2979Hyväksytkö sinä sen että päättäjämme ei rakenna rauhaa Venäjän kanssa?
Vielä kun sota ehkäpä voitaisiin välttää rauhanponnisteluilla niin millä verukkeella voidaan sanoa että on hyvä asia kun329854Miksi Purra-graffiti ei nyt olekkaan naisvihaa?
"Pohtikaapa reaktiota, jos vastaava graffiti olisi tehty Sanna Marinista", kysyy Tere Sammallahti. Helsingin Suvilahden254832