Apua insinöörimatematiikkaan: muunnosmatriisit

Jumissa olen näiden tehtävien kohdalla. Tiedän että ortogonaalisen matriisin transpoosi on yhtä kuin kyseisen matriisin käänteismatriisi, mutta siihen se sitten jääkin, en tiedä miten noita yhtälöitä tulisi käyttää tai miten kolmion pistekoordinaatit muunnetaan.

Ap

Kiitos Sinulle, tehtävä 2 ratkesi kokonaan, mutta tehtävä 1 on edelleen hämärän peitossa. Tarkoitatko että tuollaista 3x3 muunnosmatriisia ei ole mahdollista muodostaa? Jos näin on, miten se tulisi merkitä?

Ap

Anonyymi kirjoitti:

Kiitos Sinulle, tehtävä 2 ratkesi kokonaan, mutta tehtävä 1 on edelleen hämärän peitossa. Tarkoitatko että tuollaista 3x3 muunnosmatriisia ei ole mahdollista muodostaa? Jos näin on, miten se tulisi merkitä?

Ap

Lue lisää

Tavallisella vektorialgebralla 1-tehtävä on helppo. Mutta mitä nuo "homogeeniset koordinaatit" tässä tekevät? Miksi sellaisia käsketään käyttämään?

Anonyymi kirjoitti:

Tavallisella vektorialgebralla 1-tehtävä on helppo. Mutta mitä nuo "homogeeniset koordinaatit" tässä tekevät? Miksi sellaisia käsketään käyttämään?

Homogeenisissä koordinaateissa voidaan esittää ääretönpituinen 2D vektori muodossa (x, y, 0). Ensin samoin kuin yllä pisteet ovat (x, y, 1) ja karteesisessa mielessä piste äärettömyydessä on (xt, yt, 1), jos t lähestyy ääretöntä. Homogeeninen koordinaatti (x, y, 1) on indenttisesti sama tai tässä homogeeninen kuin reaaliluvulla kerrottu koordinaatti:
(x, y, 1)= (x, y, 1) * R = (xR, yR , R)
Käytetään tätä karteesisesti äärettömyyttä lähestyvälle koordinaatille ja kerrotaan (1/t):llä
(xt, yt , 1) / t = (x, y, 1/t) lähestyy (x, y, 0):aa

Tietokoneessa H-koordinaatin (x, y, 0) manipulointi on helppoa, ja se esittää aina matemaattisesti aitoa äärettömyyttä, toisin kuin jokin rajallisella tavumäärällä esitetty mahdollisimman suuri vektorin pituus. Jos konekieli sisältäisi määritelmän äärettömälle, sen pitäisi kuitenkin muodostaa koodissa haara, joka käsittelee äärettömien lopputulokset ominaan. Näytönohjaimet laskevat jonkin osan vektorimuunnoksista pelkillä matriiseilla, joten näiden on ehkä havaittu jossain osassa olevan nopein ja aikaa säästävin menetelmä niiden prosessoreille. Pelkissä rotaatioissa kilpailevana menetelmänä on kompleksinen laajennus ja quaternionit.

Äärettömyyteenkin liittyen kahden suoran leikkauspiste homogeenisissa koordinaateissa ei käytä jakolaskua. Muut ominaisuudet homogeenisillä koordinaateilla ovat lukuisten muunnosten noudattama matriisialgebra. Ja alussa nähtiin vähän dualiteetista, missä samat homogeeniset koordinaatit edustavat sekä pistettä että suoraa.

Anonyymi kirjoitti:

Homogeenisissä koordinaateissa voidaan esittää ääretönpituinen 2D vektori muodossa (x, y, 0). Ensin samoin kuin yllä pisteet ovat (x, y, 1) ja karteesisessa mielessä piste äärettömyydessä on (xt, yt, 1), jos t lähestyy ääretöntä. Homogeeninen koordinaatti (x, y, 1) on indenttisesti sama tai tässä homogeeninen kuin reaaliluvulla kerrottu koordinaatti:
(x, y, 1)= (x, y, 1) * R = (xR, yR , R)
Käytetään tätä karteesisesti äärettömyyttä lähestyvälle koordinaatille ja kerrotaan (1/t):llä
(xt, yt , 1) / t = (x, y, 1/t) lähestyy (x, y, 0):aa

Tietokoneessa H-koordinaatin (x, y, 0) manipulointi on helppoa, ja se esittää aina matemaattisesti aitoa äärettömyyttä, toisin kuin jokin rajallisella tavumäärällä esitetty mahdollisimman suuri vektorin pituus. Jos konekieli sisältäisi määritelmän äärettömälle, sen pitäisi kuitenkin muodostaa koodissa haara, joka käsittelee äärettömien lopputulokset ominaan. Näytönohjaimet laskevat jonkin osan vektorimuunnoksista pelkillä matriiseilla, joten näiden on ehkä havaittu jossain osassa olevan nopein ja aikaa säästävin menetelmä niiden prosessoreille. Pelkissä rotaatioissa kilpailevana menetelmänä on kompleksinen laajennus ja quaternionit.

Äärettömyyteenkin liittyen kahden suoran leikkauspiste homogeenisissa koordinaateissa ei käytä jakolaskua. Muut ominaisuudet homogeenisillä koordinaateilla ovat lukuisten muunnosten noudattama matriisialgebra. Ja alussa nähtiin vähän dualiteetista, missä samat homogeeniset koordinaatit edustavat sekä pistettä että suoraa.

Lue lisää

Kysyin kyllä että miksi niitä tässä tehtävässä tarvitaan? En tarvitse selostusta niistä koordinaateista.

Anonyymi kirjoitti:

Kysyin kyllä että miksi niitä tässä tehtävässä tarvitaan? En tarvitse selostusta niistä koordinaateista.

Tehtävässä niitä varmaan käsketään käyttämään niiden harjoittelua varten.

Mitä tuossa tehtävässä 1 pitäisi siis tehdä? Erityisesti tuo kierto -90 astetta ei oikein aukea.

Ap

Anonyymi kirjoitti:

Mitä tuossa tehtävässä 1 pitäisi siis tehdä? Erityisesti tuo kierto -90 astetta ei oikein aukea.

Ap

Piirrä yksikköympyrä ja siihen esim. vektori (1,0), joka on yksikkövektori ja osoittaa x-akselin suuntaan. Kierrä tätä vektoria mielivaltaisen kulman (a) verran (en tiedä mihin suuntaan on positiivinen, mutta aloita vaikka kiertämällä kulman (a) verran vastapäivään). Kyseessä on samanpituinen vektori, ja voit kirjoittaa sen koordinaatit (a):n funktiona käyttämällä trigonometriaa.

Tämän jälkeen kirjoita äskeiselle vektorille muunnos joka on kulmaan (c), mutta jolle on myös esitys (c) = (a) (b). Kun kirjoitat tämän viimeisen muunnoksen teet sen siis matriisi muodossa, jossa on 4 tuntematonta elementtiä esim. m_00, m_10, m_01 ja m_11,. Tämä matriisi kertoo mielivaltaisen yksikkövektorin, joka on esitetty kulman (a) avulla ja tekee sille minkä tahansa kierron, joka on huom. (b) -kulman verran ja vain (b):n funktioita tulee jättää ratkaisuun.

Seuraavaksi kirjoitetaan yhtälöitä, joissa vasemmalla on samanlaiset koordinaatit kuin alkuvaiheessa, mutta kirjoitettuna (c) -kulmalle, ja oikealla ovat matriisilla m kerrottu kooordinaatit, joissa on (a). Siitä ratkaistaan kaikki m_ij:t

Katso ratkaisun eteneminen ja ratkaisun loppumuoto tältä sivulta:
https://www.quora.com/How-do-you-derive-the-rotation-matrices
https://en.wikipedia.org/wiki/Rotations_and_reflections_in_two_dimensions

Anonyymi kirjoitti:

Mitä tuossa tehtävässä 1 pitäisi siis tehdä? Erityisesti tuo kierto -90 astetta ei oikein aukea.

Ap

T on taas se transpoosi. Olkoon R = T(r cos(a), r sin(a)) (siis pystyvektori.
Tavallisella vektorialgebran tavalla kirjoitettuna R = r ( cos(a) i sin(a) j). Kun R-vektoris kierretään kulman b verran positiiviseen kiertosuuntaan, niin a -> a b) ja
R -> K = r (cos(a b) i sin(a b) j) . Eli K = T(r cos(a b), r sin(a b))
Käytä kosinin ja ja sinin yhteenlaskukaavaa jolloin K = T(r(cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)),
r(sin(a) cos(b) cos(a) sin(b)))
Kiertomatriisi olkoon A jonka vaakarivit ovat (x,y) ja (z,u).
Suorita kertolasku A R. Tämän tuloksena täytyy tulla tuo K. Näet, että
A:n vaakarivit ovat (cos(b), - sin(b)) ja (sin(b), cos(b)). Tämä siis suorittaa tuon b-asteen kierron.
Esim. b = - 90. R = i = T(1,0)
A :n vaakarivit ovat (0,1) ja (- 1,0). A R = K = T(0,- 1) = - j kuten pitääkin.

Anonyymi kirjoitti:

T on taas se transpoosi. Olkoon R = T(r cos(a), r sin(a)) (siis pystyvektori.
Tavallisella vektorialgebran tavalla kirjoitettuna R = r ( cos(a) i sin(a) j). Kun R-vektoris kierretään kulman b verran positiiviseen kiertosuuntaan, niin a -> a b) ja
R -> K = r (cos(a b) i sin(a b) j) . Eli K = T(r cos(a b), r sin(a b))
Käytä kosinin ja ja sinin yhteenlaskukaavaa jolloin K = T(r(cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)),
r(sin(a) cos(b) cos(a) sin(b)))
Kiertomatriisi olkoon A jonka vaakarivit ovat (x,y) ja (z,u).
Suorita kertolasku A R. Tämän tuloksena täytyy tulla tuo K. Näet, että
A:n vaakarivit ovat (cos(b), - sin(b)) ja (sin(b), cos(b)). Tämä siis suorittaa tuon b-asteen kierron.
Esim. b = - 90. R = i = T(1,0)
A :n vaakarivit ovat (0,1) ja (- 1,0). A R = K = T(0,- 1) = - j kuten pitääkin.

Lue lisää

Jatkoa. Anonyymi/12.02.2921 17:48 antoikin jo riittävän linkin (affine...). Mutta tässä nyt vielä tehtävästä 1.
Homogeenisissa koordinaateissa pisteen (x,y) koordinaatit ovat (x,y,1)

Kierto kulman b verran saadaan kertomalla T(x,y,1) matriisilla MR (R niinkuin rotaatio), jonka vaakarivit ovat
(cos(b), - sin(b), 0)
(sin(b), cos(b), 0)
(0,0,1)
Siirto, jossa x -> x s ja y -> y t saadaan kertomalla T(x,y,1) matriisilla MS, jonka vaakarivit ovat
(1,0,s)
(0,1,t)
(0,0,1)
a-tehtävässä b = - 90 astetta (=- pii/2) , s = - 2, t = 3.
Haluttu matriisi on tulo MS * MR.


b-osassa peilaus origon suhteen on kierto, missä b = 180 astetta (pii). Tuon skaalauksen suorittaa matriisi ML jonka vaakarivit ovat

(3,0,0)
(0,3,0)
(0,0,1)
ja haluttu matriisi on ML*MR