1. Muodosta homogeenisilla koordinaateilla yksi 3x3 muunnosmatriisi, jolla voidaan tehdä 2D kuviolle seuraavat muunnokset:
a) kierto -90 astetta ja siirto vektorin [-2,3] verran
b) peilaus origon suhteen ja skaalaus 3-kertaiseksi molempien akseleiden suhteen
c) testaa A ja B kohtien tuloksia kolmioon, jonka kärkipisteet ovat (-1,0), (0,1), (1,0)
2.
a) Muodosta muunnosmatriisi, joka muuntaa x ja y koordinaatit kaavoilla:
x' = 3x 4y
y' = -x 2y
b) Muunna kolmio (0,0), (1,0), (1,1) tällä muunnoksella
c) Mitkä ovat normaalin karteesisen koordinaatiston pisteen (10,10) koordinaatit muunnoksen koordinaatistossa (kannassa)?
Suurkiitos etukäteen.
Apua insinöörimatematiikkaan: muunnosmatriisit
Anonyymi
15
1141
Vastaukset
- Anonyymi
Mitäpä sanoo oppikirjasi asiasta eli olet varmaan jo jotakin yrittänyt. Kerro mihin asti pääsit omin avuin niin autetaan siitä eteenpäin.
Ethän toki ole hakemassa valmista vastausta kotitehtäviin, joista sitten saat pisteitä ja pääset kurssista lävitse itse ratkomatta omia tehtäviäsi.- Anonyymi
Jumissa olen näiden tehtävien kohdalla. Tiedän että ortogonaalisen matriisin transpoosi on yhtä kuin kyseisen matriisin käänteismatriisi, mutta siihen se sitten jääkin, en tiedä miten noita yhtälöitä tulisi käyttää tai miten kolmion pistekoordinaatit muunnetaan.
Ap
- Anonyymi
Ensin varmaan kolmion pisteet ovat pystyvektoreita eli 1x2 matriiseja ja niitä muutetaan mm. 2x2 matriiseilla kertomalla vasemmalta.
Muunnosmatriisi on 1 dimension neliömatriisi, joka sisältää kierto -ja siirto-operaatiot yhdessä matriisin ja vektorin tulossa. Sitä varten pystyvektorin loppuun sijoitetaan alkio 1. Eli käytä tässä vektoria (x, y, 1).
Matriisi, joka tekisi kaiken pyydetyn on helposti kirjoitettavissa haluttuun muotoon esim. operaatio kerrallaan ja lisäämällä seuraavan vaiheen matriisin aina vasemmalle jolloin koko vektorin v muunnoksesta tulee C . B .A . v
Joissain tehtävissä haluttin silti varmaan myös edetä ratkaisemalla yhtälöryhmiä. Eli koita myös kirjoittaa tuntematon vektori (x , y) tai joskus (x , y ,1) kerrottuna matriisilla jossa on kiertoparametri ja kiertomatriisin alkiot tai täysin tuntemattomat alkiot. Yritä kirjoittaa tehtävän mukainen lopputila (x2, y2) ja tee yhtälöpari, missä on oikealla puolella tiedetyt x2 ja y2 ja vasemmalla tuntemattomat matriisialkiot. - Anonyymi
1. Kun x ja y ovat vektoreita ja meillä on kuvaus y = Ax jossa A on lineaarinen operaattori, niin matriisiesityksessä x ja y ovat pystyvektoreita ja A on matriisi.
Mutta kuvaus Ax b, missä b on vakiovektori, ei ole lineaarinen kuvaus eikä sitä voi esittää matriisimuodossa y = B x.
Jos meillä on kuvaus F(x) = Ax b missä A on lineaarinen niin F (x y) = A(x y) b = Ax Ay b joka ei ole sama kuin F(x) F(y) = x b y b = x y 2b eli F ei ole lineaari
nen.
2a.
. Vaakavektorin (a,b) transpoosi olkoon T(a,b) (pystyvektori).
T(x',y') = A T(x,y), miisä A on matriisi jonka vaakarivit ovat (3,4) ja ( - 1, 2)
2b. A T(0,0) =T (0,0). A T(1,0) =T( 3,- 1). A T(1,1) =T (7,1)
2c. A T(10,10) = T(70,10)
Jos nyt ymmärsin mitä tuo "muunnoksen kanta" tarkoitti. Eivätkös se ne kantavektorit niin lähtöavaruudessa kuin maalissakin ole tässä tapauksessa e1 = T(1,0) ja e2 = T(0,1)?
Muunnoksessa kantavektorien kuvat ovat A e1 = T(3, - 1) ja A e2 = T(4,2).
Muunnosmatriisin pystyrivit ovat lähtöavaruuden kantavektorien kuvat maaliavaruuden kannassa.
Kirjoita nuo laskut itsellesi näkyviin käyttäen pystyvektoreita ja matriisin "oikeaa" esitystä.- Anonyymi
Kiitos Sinulle, tehtävä 2 ratkesi kokonaan, mutta tehtävä 1 on edelleen hämärän peitossa. Tarkoitatko että tuollaista 3x3 muunnosmatriisia ei ole mahdollista muodostaa? Jos näin on, miten se tulisi merkitä?
Ap - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Kiitos Sinulle, tehtävä 2 ratkesi kokonaan, mutta tehtävä 1 on edelleen hämärän peitossa. Tarkoitatko että tuollaista 3x3 muunnosmatriisia ei ole mahdollista muodostaa? Jos näin on, miten se tulisi merkitä?
ApTavallisella vektorialgebralla 1-tehtävä on helppo. Mutta mitä nuo "homogeeniset koordinaatit" tässä tekevät? Miksi sellaisia käsketään käyttämään?
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tavallisella vektorialgebralla 1-tehtävä on helppo. Mutta mitä nuo "homogeeniset koordinaatit" tässä tekevät? Miksi sellaisia käsketään käyttämään?
Homogeenisissä koordinaateissa voidaan esittää ääretönpituinen 2D vektori muodossa (x, y, 0). Ensin samoin kuin yllä pisteet ovat (x, y, 1) ja karteesisessa mielessä piste äärettömyydessä on (xt, yt, 1), jos t lähestyy ääretöntä. Homogeeninen koordinaatti (x, y, 1) on indenttisesti sama tai tässä homogeeninen kuin reaaliluvulla kerrottu koordinaatti:
(x, y, 1)= (x, y, 1) * R = (xR, yR , R)
Käytetään tätä karteesisesti äärettömyyttä lähestyvälle koordinaatille ja kerrotaan (1/t):llä
(xt, yt , 1) / t = (x, y, 1/t) lähestyy (x, y, 0):aa
Tietokoneessa H-koordinaatin (x, y, 0) manipulointi on helppoa, ja se esittää aina matemaattisesti aitoa äärettömyyttä, toisin kuin jokin rajallisella tavumäärällä esitetty mahdollisimman suuri vektorin pituus. Jos konekieli sisältäisi määritelmän äärettömälle, sen pitäisi kuitenkin muodostaa koodissa haara, joka käsittelee äärettömien lopputulokset ominaan. Näytönohjaimet laskevat jonkin osan vektorimuunnoksista pelkillä matriiseilla, joten näiden on ehkä havaittu jossain osassa olevan nopein ja aikaa säästävin menetelmä niiden prosessoreille. Pelkissä rotaatioissa kilpailevana menetelmänä on kompleksinen laajennus ja quaternionit.
Äärettömyyteenkin liittyen kahden suoran leikkauspiste homogeenisissa koordinaateissa ei käytä jakolaskua. Muut ominaisuudet homogeenisillä koordinaateilla ovat lukuisten muunnosten noudattama matriisialgebra. Ja alussa nähtiin vähän dualiteetista, missä samat homogeeniset koordinaatit edustavat sekä pistettä että suoraa. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Homogeenisissä koordinaateissa voidaan esittää ääretönpituinen 2D vektori muodossa (x, y, 0). Ensin samoin kuin yllä pisteet ovat (x, y, 1) ja karteesisessa mielessä piste äärettömyydessä on (xt, yt, 1), jos t lähestyy ääretöntä. Homogeeninen koordinaatti (x, y, 1) on indenttisesti sama tai tässä homogeeninen kuin reaaliluvulla kerrottu koordinaatti:
(x, y, 1)= (x, y, 1) * R = (xR, yR , R)
Käytetään tätä karteesisesti äärettömyyttä lähestyvälle koordinaatille ja kerrotaan (1/t):llä
(xt, yt , 1) / t = (x, y, 1/t) lähestyy (x, y, 0):aa
Tietokoneessa H-koordinaatin (x, y, 0) manipulointi on helppoa, ja se esittää aina matemaattisesti aitoa äärettömyyttä, toisin kuin jokin rajallisella tavumäärällä esitetty mahdollisimman suuri vektorin pituus. Jos konekieli sisältäisi määritelmän äärettömälle, sen pitäisi kuitenkin muodostaa koodissa haara, joka käsittelee äärettömien lopputulokset ominaan. Näytönohjaimet laskevat jonkin osan vektorimuunnoksista pelkillä matriiseilla, joten näiden on ehkä havaittu jossain osassa olevan nopein ja aikaa säästävin menetelmä niiden prosessoreille. Pelkissä rotaatioissa kilpailevana menetelmänä on kompleksinen laajennus ja quaternionit.
Äärettömyyteenkin liittyen kahden suoran leikkauspiste homogeenisissa koordinaateissa ei käytä jakolaskua. Muut ominaisuudet homogeenisillä koordinaateilla ovat lukuisten muunnosten noudattama matriisialgebra. Ja alussa nähtiin vähän dualiteetista, missä samat homogeeniset koordinaatit edustavat sekä pistettä että suoraa.Kysyin kyllä että miksi niitä tässä tehtävässä tarvitaan? En tarvitse selostusta niistä koordinaateista.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Kysyin kyllä että miksi niitä tässä tehtävässä tarvitaan? En tarvitse selostusta niistä koordinaateista.
Tehtävässä niitä varmaan käsketään käyttämään niiden harjoittelua varten.
- Anonyymi
Lista muutosmatriiseista, jotka ovat lineaarisia 2D:ssä:
https://en.wikipedia.org/wiki/Transformation_matrix
Esimerkkejä samoista muunnoksista ja uusista muunnoksista affiineille muunnoksille:
https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_transformation- Anonyymi
Mitä tuossa tehtävässä 1 pitäisi siis tehdä? Erityisesti tuo kierto -90 astetta ei oikein aukea.
Ap - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Mitä tuossa tehtävässä 1 pitäisi siis tehdä? Erityisesti tuo kierto -90 astetta ei oikein aukea.
ApPiirrä yksikköympyrä ja siihen esim. vektori (1,0), joka on yksikkövektori ja osoittaa x-akselin suuntaan. Kierrä tätä vektoria mielivaltaisen kulman (a) verran (en tiedä mihin suuntaan on positiivinen, mutta aloita vaikka kiertämällä kulman (a) verran vastapäivään). Kyseessä on samanpituinen vektori, ja voit kirjoittaa sen koordinaatit (a):n funktiona käyttämällä trigonometriaa.
Tämän jälkeen kirjoita äskeiselle vektorille muunnos joka on kulmaan (c), mutta jolle on myös esitys (c) = (a) (b). Kun kirjoitat tämän viimeisen muunnoksen teet sen siis matriisi muodossa, jossa on 4 tuntematonta elementtiä esim. m_00, m_10, m_01 ja m_11,. Tämä matriisi kertoo mielivaltaisen yksikkövektorin, joka on esitetty kulman (a) avulla ja tekee sille minkä tahansa kierron, joka on huom. (b) -kulman verran ja vain (b):n funktioita tulee jättää ratkaisuun.
Seuraavaksi kirjoitetaan yhtälöitä, joissa vasemmalla on samanlaiset koordinaatit kuin alkuvaiheessa, mutta kirjoitettuna (c) -kulmalle, ja oikealla ovat matriisilla m kerrottu kooordinaatit, joissa on (a). Siitä ratkaistaan kaikki m_ij:t
Katso ratkaisun eteneminen ja ratkaisun loppumuoto tältä sivulta:
https://www.quora.com/How-do-you-derive-the-rotation-matrices
https://en.wikipedia.org/wiki/Rotations_and_reflections_in_two_dimensions - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Mitä tuossa tehtävässä 1 pitäisi siis tehdä? Erityisesti tuo kierto -90 astetta ei oikein aukea.
ApT on taas se transpoosi. Olkoon R = T(r cos(a), r sin(a)) (siis pystyvektori.
Tavallisella vektorialgebran tavalla kirjoitettuna R = r ( cos(a) i sin(a) j). Kun R-vektoris kierretään kulman b verran positiiviseen kiertosuuntaan, niin a -> a b) ja
R -> K = r (cos(a b) i sin(a b) j) . Eli K = T(r cos(a b), r sin(a b))
Käytä kosinin ja ja sinin yhteenlaskukaavaa jolloin K = T(r(cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)),
r(sin(a) cos(b) cos(a) sin(b)))
Kiertomatriisi olkoon A jonka vaakarivit ovat (x,y) ja (z,u).
Suorita kertolasku A R. Tämän tuloksena täytyy tulla tuo K. Näet, että
A:n vaakarivit ovat (cos(b), - sin(b)) ja (sin(b), cos(b)). Tämä siis suorittaa tuon b-asteen kierron.
Esim. b = - 90. R = i = T(1,0)
A :n vaakarivit ovat (0,1) ja (- 1,0). A R = K = T(0,- 1) = - j kuten pitääkin. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
T on taas se transpoosi. Olkoon R = T(r cos(a), r sin(a)) (siis pystyvektori.
Tavallisella vektorialgebran tavalla kirjoitettuna R = r ( cos(a) i sin(a) j). Kun R-vektoris kierretään kulman b verran positiiviseen kiertosuuntaan, niin a -> a b) ja
R -> K = r (cos(a b) i sin(a b) j) . Eli K = T(r cos(a b), r sin(a b))
Käytä kosinin ja ja sinin yhteenlaskukaavaa jolloin K = T(r(cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)),
r(sin(a) cos(b) cos(a) sin(b)))
Kiertomatriisi olkoon A jonka vaakarivit ovat (x,y) ja (z,u).
Suorita kertolasku A R. Tämän tuloksena täytyy tulla tuo K. Näet, että
A:n vaakarivit ovat (cos(b), - sin(b)) ja (sin(b), cos(b)). Tämä siis suorittaa tuon b-asteen kierron.
Esim. b = - 90. R = i = T(1,0)
A :n vaakarivit ovat (0,1) ja (- 1,0). A R = K = T(0,- 1) = - j kuten pitääkin.Jatkoa. Anonyymi/12.02.2921 17:48 antoikin jo riittävän linkin (affine...). Mutta tässä nyt vielä tehtävästä 1.
Homogeenisissa koordinaateissa pisteen (x,y) koordinaatit ovat (x,y,1)
Kierto kulman b verran saadaan kertomalla T(x,y,1) matriisilla MR (R niinkuin rotaatio), jonka vaakarivit ovat
(cos(b), - sin(b), 0)
(sin(b), cos(b), 0)
(0,0,1)
Siirto, jossa x -> x s ja y -> y t saadaan kertomalla T(x,y,1) matriisilla MS, jonka vaakarivit ovat
(1,0,s)
(0,1,t)
(0,0,1)
a-tehtävässä b = - 90 astetta (=- pii/2) , s = - 2, t = 3.
Haluttu matriisi on tulo MS * MR.
b-osassa peilaus origon suhteen on kierto, missä b = 180 astetta (pii). Tuon skaalauksen suorittaa matriisi ML jonka vaakarivit ovat
(3,0,0)
(0,3,0)
(0,0,1)
ja haluttu matriisi on ML*MR
- Anonyymi
Raamattu tuomitsee homogeeniset koordinaatit.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Vesikin maksaa, miksei hengitysilma?
Jatkuvasti itketään ettei ole rahaa mihinkään, mutta tilastojen mukaan rahaa on enemmän kuin koskaan, joten miksei asial41644Satuolennoista tarinointi ei kuulu peruskoulun tehtäviin
Opetustunteja on muutenkin käytössä vain rajallinen määrä. Eli nämä satuhommat koulun ulkopuolelle vapaaehtoisiin harras1161623Suomalainen perheenisä vaatii Suvivirren esittämisestä hyvityksiä
Itse lapsena uskonnonopetuksesta vissiin traumoja saanut ihka suomalainen (!) perheenisä vaatii Espoon kaupungilta korva2431149Lahkokasteen ja kristillisen kasteen erot
Raamatun mukaan Kristillisessä yhdessä kasteessa Jumala pesee ja puhdistaa ihmisen sydämen ja poistaa perisynnin kirouks4221078- 128919
Heikki Paasosen Marita-vaimo jätti tunteikkaat jäähyväiset: "Tällä kertaa me..."
Heikki Paasonen on naimisissa Marita Paasosen (os. Alatalo) kanssa ja heillä on kaksi pientä lasta. Nyt koitti aika jätt2856- 10835
Kuka omistaa keltaisen vanhan aravan?
Pitäs saada rakennuksen omistajaan yhteys, rappukäytävät on siivottomassa kunnossa. Hiekkaa ja roskia rappusissa, lisäks29827Pirkanlinna yleisötapahtuma
Oli todella hyvä tilaisuus. Ja EERO. L. Aivan mahtava tyyppi. Veti rennosti ja asiallisesti. Ja yleisöltä hyviä kysymyks48823Mies profiloin sinut
Etsit täysin hallittavaa mutta samalla poikkeuksellista ihmistä. Etsit jotain mitä et koskaan tule saamaan.163819