Gödelin 1. epätäydellisyyslause sanoo, että kun meillä on tietyt ehdot täyttävä formaali systeemi niin siellä on tosi lause jota ei siinä systeemissä voi todistaa.
Puuttumatta nyt siihen, miten lause voi olla tosi vaikka sillä ei ole todistusta kysyn nseuraavaa:
Oletetaan, että tuollaisen järjestemän aksioomien njoukko on A(1). On olemassa lause L(1) joka on tosi mutta ei seuraa A(1)-aksioomista. Lisätään tämä aksioomaksi jolloin saadaan uusi aksioomajoukko A(2).L(1) on tässä järjestelmässä todistettavissa, onhan se aksiooma. Nyt tässäkin A(2)-järjestelmässä on Gödelin mukaan tosi lause, L(2), joka ei ole A(2)-aksioomien avulla todistettavissa. Lisätään L(2) aksioomaksi jolloin saadaan aksioomajoukko A(3).
Menettelyä voidaan jatkaa loputtomasti. Onko siis niin, että tuollainen Gödelin tarkoittama järjestelmä sisältää itse asiassa numeroituvan määrän lauseita, mjotka ovat tosia mutta eivät ole todistettavissa. Lauseet L(i) , i = 1,2,... voidaan formuloida A(1)-järjestelmässä, mitään uuttahan ei sen mahdollisiin lauseisiin lisätty. Mutta yksikään lause L(i+1) eim ole todistettavissa A(i)-järjestelmässä eikä siis myöskään A(1):ssä.
Onko asia näin?
Gödelin 1. epätäydellisyyslause
5
545
Vastaukset
- Anonyymi
Aksioomajärjestelmän pitää olla sen verran suuri, että se kattaa kokonaislukuaritmetiikan vasta sitten Gödelin epätäydellisyyslause tulee kyseeseen.
Eli voidaan hyvin tuottaa aksiomaattisia järjestelmiä jotka ovat ristiriidattomia ja täydellisiä, kunhan järjestelmä on riittävän suppea (ja käytännössä hyödytön)- Anonyymi
Kirjoitin kyllä "tietyt ehdot täyttävä formaali systeemi". Tämä kyllä piti sisällään tuon aksioomajärjestelmän suuruuden. En vain halunnut kommentissani ruveta alkeista luennoimaan vaan oletin, että jos joku ymmärtää kommenttini, tajuaa myös tämän edelletyksen.
Kysymykseni oli, että onko tällaisessa järjestelmässä jopa numeroituva määrä ei-todistettavissa olevia lauseita.
- Anonyymi
Vastaus: kyllä se on noin.
- Anonyymi
Aloituksessani olisin voinut sanoa näinkin:
Oletetaan, että noita Gödelin tarkoittamia tosia lauseita on äärellinen määrä. Lisätään nämä alkuperäisen systeemin aksioomeilsi. Uudessa systeemissä ei siis olke enää tällaisia lauseita. Mutta tämä on Gödelin mukaan mahdotonta. Siis noita lauseita ei voi olla vain äärellinen määrä.
Mutta nyt siihen toiseen asiaan:
Mitä tarkoittaa, että lause on tosi vaikka sille ei ole todistusta?- Anonyymi
Jokainen lause on tosi tai epätosi.
Gödelin mukaan on tosia lauseita, joita ei voi todistaa todeksi lähtien systeemin aksioomista.
Eli niille ei ole todistusta kyseisen systeemin puitteissa. Et voi tietenkään systeemin puitteissa todistaa että jokin tietty lause olisi juuri sellainen että sitä ei voi todistaa.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
6 kW saunan lämmityksestä kohta 10 euron lisämaksu / kerta
Kokoomuslainen sähköyhtiöiden hallitsema Energiavirasto ehdottaa 5 kW:n rajaa, jonka ylittämisestä tulee lisämaksu. Tark2267047Minja jytkyttää vas.liiton kannatusta ylöspäin
Alkaa raavaat duunarimiehetkin palaamaan vasemmistoliiton kannattajiksi. Eduskunnassahan on vain kaksi työntekijöiden p3464954"Mitä sä nainen tuot sitten pöytään" ?
Jos mies provaidaa ja suojelee... Pitääkö miesten kysyä tuollaisia?1503720Duunarit hylkäsivät vasemmistoliiton, siitä tuli feministinaisten puolue
Pääluottamusmies Jari Myllykoski liittyi vasemmistoliittoon, koska se oli duunarien puolue. Sitä samaa puoluetta ei enää1233520Ekologinen kommunismi tulee voittamaan fossiilikapitalismin
Kiina on mahtitekijä uusiutuvien energialähteiden kehityksessä, ja Trump osoitus viimeisestä öljyn perään itkemisestä, m763456Mies, kerro minulle vielä jotakin aivan uniikkia
ja ainutlaatuista minkä vain me kaksi voisimme ymmärtää jos olemme sen kokeneet ja eläneet, jotta ihan varmasti tietäisi562965Hyviäkin uutisia tulossa, hallinto-oikeus asettaa toimeenpanokieltoon
Hyvinvointitalon työmaa pysähtyy. Rillankivi+energia ja vesi kytkyrahanpesu stoppaa. Tytäryhtiöiden hallitusjäsenet+kon2702769Oikeistopuolueiden kannatus vain 37,8 %, vasemmiston 43,0 %
Keskustaan jää 17,4 prosenttia ja loput ovat sitten mitä ovat. Mutta selvästikin Suomen kansa on vasemmalle kallellaan.842480- 252406
Oppiiko vasemmistolaiset valehtelun jo kotonaan?
Sillä vasemmistolaiset/äärivasemmistolaiset valehtelee ja keksii asioita omasta päästään todella paljon. Esim. joku vas1092078