Gödelin 1. epätäydellisyyslause sanoo, että kun meillä on tietyt ehdot täyttävä formaali systeemi niin siellä on tosi lause jota ei siinä systeemissä voi todistaa.
Puuttumatta nyt siihen, miten lause voi olla tosi vaikka sillä ei ole todistusta kysyn nseuraavaa:
Oletetaan, että tuollaisen järjestemän aksioomien njoukko on A(1). On olemassa lause L(1) joka on tosi mutta ei seuraa A(1)-aksioomista. Lisätään tämä aksioomaksi jolloin saadaan uusi aksioomajoukko A(2).L(1) on tässä järjestelmässä todistettavissa, onhan se aksiooma. Nyt tässäkin A(2)-järjestelmässä on Gödelin mukaan tosi lause, L(2), joka ei ole A(2)-aksioomien avulla todistettavissa. Lisätään L(2) aksioomaksi jolloin saadaan aksioomajoukko A(3).
Menettelyä voidaan jatkaa loputtomasti. Onko siis niin, että tuollainen Gödelin tarkoittama järjestelmä sisältää itse asiassa numeroituvan määrän lauseita, mjotka ovat tosia mutta eivät ole todistettavissa. Lauseet L(i) , i = 1,2,... voidaan formuloida A(1)-järjestelmässä, mitään uuttahan ei sen mahdollisiin lauseisiin lisätty. Mutta yksikään lause L(i+1) eim ole todistettavissa A(i)-järjestelmässä eikä siis myöskään A(1):ssä.
Onko asia näin?
Gödelin 1. epätäydellisyyslause
4
215
Vastaukset
- Anonyymi
Aksioomajärjestelmän pitää olla sen verran suuri, että se kattaa kokonaislukuaritmetiikan vasta sitten Gödelin epätäydellisyyslause tulee kyseeseen.
Eli voidaan hyvin tuottaa aksiomaattisia järjestelmiä jotka ovat ristiriidattomia ja täydellisiä, kunhan järjestelmä on riittävän suppea (ja käytännössä hyödytön)- Anonyymi
Kirjoitin kyllä "tietyt ehdot täyttävä formaali systeemi". Tämä kyllä piti sisällään tuon aksioomajärjestelmän suuruuden. En vain halunnut kommentissani ruveta alkeista luennoimaan vaan oletin, että jos joku ymmärtää kommenttini, tajuaa myös tämän edelletyksen.
Kysymykseni oli, että onko tällaisessa järjestelmässä jopa numeroituva määrä ei-todistettavissa olevia lauseita.
- Anonyymi
Vastaus: kyllä se on noin.
- Anonyymi
Aloituksessani olisin voinut sanoa näinkin:
Oletetaan, että noita Gödelin tarkoittamia tosia lauseita on äärellinen määrä. Lisätään nämä alkuperäisen systeemin aksioomeilsi. Uudessa systeemissä ei siis olke enää tällaisia lauseita. Mutta tämä on Gödelin mukaan mahdotonta. Siis noita lauseita ei voi olla vain äärellinen määrä.
Mutta nyt siihen toiseen asiaan:
Mitä tarkoittaa, että lause on tosi vaikka sille ei ole todistusta?
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Mihin sinussa haluan koskea
Tilanne, että pääsisin tutustumaan eri kohtiin sinussa, mitä haluaisin kokeilla. Käsiin haluaisin tutustua, hieroa niitä412233Sairaammaksi menee: Musk alkaa sensuroida Zelenskyin viestintää X:ssä
IL: Musk puuttuu Zelenskyin viestintään – X:ään tulossa muutoksia "Elon Musk sanoo korjaavansa X:n, jotta käyttäjät voi2221966- 1111528
Toisen ihmisen sydämellä
leikkiminen on äärettömän moraalitonta. Antaa turhiaa toiveita ja sitten olla kuin mitään ei olisi tapahtunut. Kuinka vo1421265- 1151197
PAM:in mainos, älä mene tänään ruokakauppaan
kannatan kovasti kaupan työntekijöille lisää liksa. MUTTA lakossa on huonoa, nyt kauppiaat näkevät kuinka vähällä henki1371110Oho! Toivo Sukari paljastaa erikoisista iltatoimista Nadja-vaimon kanssa: "Hän aina putsaa mun..."
Oho! Onpa iltatoimet tällä pariskunnalla. Toivo Sukari ja Nadja Sukari menivät naimisiin v. 2019. Lue lisää: https://251078- 74982
- 70940
- 61925