Gödelin 1. epätäydellisyyslause sanoo, että kun meillä on tietyt ehdot täyttävä formaali systeemi niin siellä on tosi lause jota ei siinä systeemissä voi todistaa.
Puuttumatta nyt siihen, miten lause voi olla tosi vaikka sillä ei ole todistusta kysyn nseuraavaa:
Oletetaan, että tuollaisen järjestemän aksioomien njoukko on A(1). On olemassa lause L(1) joka on tosi mutta ei seuraa A(1)-aksioomista. Lisätään tämä aksioomaksi jolloin saadaan uusi aksioomajoukko A(2).L(1) on tässä järjestelmässä todistettavissa, onhan se aksiooma. Nyt tässäkin A(2)-järjestelmässä on Gödelin mukaan tosi lause, L(2), joka ei ole A(2)-aksioomien avulla todistettavissa. Lisätään L(2) aksioomaksi jolloin saadaan aksioomajoukko A(3).
Menettelyä voidaan jatkaa loputtomasti. Onko siis niin, että tuollainen Gödelin tarkoittama järjestelmä sisältää itse asiassa numeroituvan määrän lauseita, mjotka ovat tosia mutta eivät ole todistettavissa. Lauseet L(i) , i = 1,2,... voidaan formuloida A(1)-järjestelmässä, mitään uuttahan ei sen mahdollisiin lauseisiin lisätty. Mutta yksikään lause L(i+1) eim ole todistettavissa A(i)-järjestelmässä eikä siis myöskään A(1):ssä.
Onko asia näin?
Puuttumatta nyt siihen, miten lause voi olla tosi vaikka sillä ei ole todistusta kysyn nseuraavaa:
Oletetaan, että tuollaisen järjestemän aksioomien njoukko on A(1). On olemassa lause L(1) joka on tosi mutta ei seuraa A(1)-aksioomista. Lisätään tämä aksioomaksi jolloin saadaan uusi aksioomajoukko A(2).L(1) on tässä järjestelmässä todistettavissa, onhan se aksiooma. Nyt tässäkin A(2)-järjestelmässä on Gödelin mukaan tosi lause, L(2), joka ei ole A(2)-aksioomien avulla todistettavissa. Lisätään L(2) aksioomaksi jolloin saadaan aksioomajoukko A(3).
Menettelyä voidaan jatkaa loputtomasti. Onko siis niin, että tuollainen Gödelin tarkoittama järjestelmä sisältää itse asiassa numeroituvan määrän lauseita, mjotka ovat tosia mutta eivät ole todistettavissa. Lauseet L(i) , i = 1,2,... voidaan formuloida A(1)-järjestelmässä, mitään uuttahan ei sen mahdollisiin lauseisiin lisätty. Mutta yksikään lause L(i+1) eim ole todistettavissa A(i)-järjestelmässä eikä siis myöskään A(1):ssä.
Onko asia näin?
Vastaukset 5
Vanhimmat
Aksioomajärjestelmän pitää olla sen verran suuri, että se kattaa kokonaislukuaritmetiikan vasta sitten Gödelin epätäydellisyyslause tulee kyseeseen.
Eli voidaan hyvin tuottaa aksiomaattisia järjestelmiä jotka ovat ristiriidattomia ja täydellisiä, kunhan järjestelmä on riittävän suppea (ja käytännössä hyödytön)
Kirjoitin kyllä "tietyt ehdot täyttävä formaali systeemi". Tämä kyllä piti sisällään tuon aksioomajärjestelmän suuruuden. En vain halunnut kommentissani ruveta alkeista luennoimaan vaan oletin, että jos joku ymmärtää kommenttini, tajuaa myös tämän edelletyksen.
Kysymykseni oli, että onko tällaisessa järjestelmässä jopa numeroituva määrä ei-todistettavissa olevia lauseita.
Vastaus: kyllä se on noin.
Aloituksessani olisin voinut sanoa näinkin:
Oletetaan, että noita Gödelin tarkoittamia tosia lauseita on äärellinen määrä. Lisätään nämä alkuperäisen systeemin aksioomeilsi. Uudessa systeemissä ei siis olke enää tällaisia lauseita. Mutta tämä on Gödelin mukaan mahdotonta. Siis noita lauseita ei voi olla vain äärellinen määrä.
Mutta nyt siihen toiseen asiaan:
Mitä tarkoittaa, että lause on tosi vaikka sille ei ole todistusta?
Jokainen lause on tosi tai epätosi.
Gödelin mukaan on tosia lauseita, joita ei voi todistaa todeksi lähtien systeemin aksioomista.
Eli niille ei ole todistusta kyseisen systeemin puitteissa. Et voi tietenkään systeemin puitteissa todistaa että jokin tietty lause olisi juuri sellainen että sitä ei voi todistaa.