Gödelin 1. epätäydellisyyslause sanoo, että kun meillä on tietyt ehdot täyttävä formaali systeemi niin siellä on tosi lause jota ei siinä systeemissä voi todistaa.
Puuttumatta nyt siihen, miten lause voi olla tosi vaikka sillä ei ole todistusta kysyn nseuraavaa:
Oletetaan, että tuollaisen järjestemän aksioomien njoukko on A(1). On olemassa lause L(1) joka on tosi mutta ei seuraa A(1)-aksioomista. Lisätään tämä aksioomaksi jolloin saadaan uusi aksioomajoukko A(2).L(1) on tässä järjestelmässä todistettavissa, onhan se aksiooma. Nyt tässäkin A(2)-järjestelmässä on Gödelin mukaan tosi lause, L(2), joka ei ole A(2)-aksioomien avulla todistettavissa. Lisätään L(2) aksioomaksi jolloin saadaan aksioomajoukko A(3).
Menettelyä voidaan jatkaa loputtomasti. Onko siis niin, että tuollainen Gödelin tarkoittama järjestelmä sisältää itse asiassa numeroituvan määrän lauseita, mjotka ovat tosia mutta eivät ole todistettavissa. Lauseet L(i) , i = 1,2,... voidaan formuloida A(1)-järjestelmässä, mitään uuttahan ei sen mahdollisiin lauseisiin lisätty. Mutta yksikään lause L(i+1) eim ole todistettavissa A(i)-järjestelmässä eikä siis myöskään A(1):ssä.
Onko asia näin?
Gödelin 1. epätäydellisyyslause
5
566
Vastaukset
- Anonyymi
Aksioomajärjestelmän pitää olla sen verran suuri, että se kattaa kokonaislukuaritmetiikan vasta sitten Gödelin epätäydellisyyslause tulee kyseeseen.
Eli voidaan hyvin tuottaa aksiomaattisia järjestelmiä jotka ovat ristiriidattomia ja täydellisiä, kunhan järjestelmä on riittävän suppea (ja käytännössä hyödytön)- Anonyymi
Kirjoitin kyllä "tietyt ehdot täyttävä formaali systeemi". Tämä kyllä piti sisällään tuon aksioomajärjestelmän suuruuden. En vain halunnut kommentissani ruveta alkeista luennoimaan vaan oletin, että jos joku ymmärtää kommenttini, tajuaa myös tämän edelletyksen.
Kysymykseni oli, että onko tällaisessa järjestelmässä jopa numeroituva määrä ei-todistettavissa olevia lauseita.
- Anonyymi
Vastaus: kyllä se on noin.
- Anonyymi
Aloituksessani olisin voinut sanoa näinkin:
Oletetaan, että noita Gödelin tarkoittamia tosia lauseita on äärellinen määrä. Lisätään nämä alkuperäisen systeemin aksioomeilsi. Uudessa systeemissä ei siis olke enää tällaisia lauseita. Mutta tämä on Gödelin mukaan mahdotonta. Siis noita lauseita ei voi olla vain äärellinen määrä.
Mutta nyt siihen toiseen asiaan:
Mitä tarkoittaa, että lause on tosi vaikka sille ei ole todistusta?- Anonyymi
Jokainen lause on tosi tai epätosi.
Gödelin mukaan on tosia lauseita, joita ei voi todistaa todeksi lähtien systeemin aksioomista.
Eli niille ei ole todistusta kyseisen systeemin puitteissa. Et voi tietenkään systeemin puitteissa todistaa että jokin tietty lause olisi juuri sellainen että sitä ei voi todistaa.
Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Eläkeläiset siirrettävä muuttotappioalueille
Joutoväki pois ruuhkauttamasta elättäjien arkea. Samalla putoaa jokaisen asumiskulut ja rahaa jää enemmän kuluttamiseen.2762530Riikka runnoo: datakeskuksille tulee UUSI yritystuki
"Suomen valtio erikseen tukee esimerkiksi kryptovaluuttaan tai aikuisviihteeseen tai muuhun keskittyviä datakeskuksia."762429SDP pelastaa uppoavan Suomen
2027 kun SDP voittaa ylivoimaisesti vaalit alkaa Suomen uusi raju syöksy kohti täystyöllisyyttä ja turvallisempaa yhteis191637- 1201598
Jopa Espanjassa talous kasvaa, Purra vain irvistelee
Huomaa kuinka Purra on Suomen historian huonoin miniseteri, joka ei ole saanut aikaiseksi kuin tuhoa, Siis jopa vasemmis521516Kauppalehti - Törkeä skandaali paljastui: Espanja käytti EU-rahoja ihan muuhun kuin piti
Espanja on käyttänyt miljardeja euroja EU:n elpymisavustuksia eläkkeisiin ja sosiaalimenoihin – ja pyytää lisää. Espanj651397- 1341366
En kerro nimeäsi nainen
Sillä olet nyt salaisuus jota kannan sydämessäni. Tämä mitä tunnen ja kuinka sinuun vahvasti ihastuin on jo niin erikoin711250Auta mua mies
Ota vielä yhteyttä, keksi oikeat sanat että vuosien ajan kasvanut muuri murtuu meidän väliltä vaikka aluksi vain vähän.821049Olet kiva ihminen
En kiellä sitä yhtään. Sinussa on hyvin paljon erinomaisia puolia, enemmän varmasti kun meissä muissa. Sitten on puoli741039