Aikakauslehdessä on kilpailu, jossa on sovitettava kolmen julkkiksen aikuis- ja vauvakuvat yhteen. Millä todennäköisyydellä lukija pelkästään arvaamalla saa ainakin yhden oikein?
Tuoko on mielestäsi lukion vaikea todennäköisyystehtävä?
0Äänestä
Anonyymi00002
No ratkaise sitten jos kerran osaat, äläkä viisastele.
0Äänestä
Anonyymi00004
Anonyymi00002 kirjoitti:
No ratkaise sitten jos kerran osaat, äläkä viisastele.
Mahdollisuus osua oikeaan arvaamalla on yksi kolmesta, ei voi olla noin vaikeaa.
0Äänestä
Anonyymi00005
Anonyymi00004 kirjoitti:
Mahdollisuus osua oikeaan arvaamalla on yksi kolmesta, ei voi olla noin vaikeaa.
Sori, korjaus: tuo siis vastasi vain siihen millä todennäköisyydellä ainakin ensimmäinen arvaus osuu oikeaan.
Mutta kuvaparit voi muodostaa kuudella eri tavalla, joten todennäköisyys on oikeat vaihtoehdot jaettuna kaikilla vaihtoehdoilla.
0Äänestä
Anonyymi00003
Ajattele vauvakuvat laitettuna riviin. Sitten se miten aikuiskuvat asetetaan niiden päälle määrää sovituksen. Kyse on siis kolmen objektin permutaatiosta. Eri vaihtoehtoja on kuusi, joten on helppo käydä kaikki läpi ja katsoa kuinka monessa on ainakin yksi oikein.
Jos kuvia olisi useampi, niin kannattaa tutustua derangementtien teoriaan (kiintopistettömät permutaatiot). Nämähän tietenkin laskevat käänteistapauksen (jossa yksikään kuva ei mene oikein). Ja mitkä ne sieltä tulevatkaan sitten vastaan jos ei tornipolynomit. Etenkin jos vielä muutetaan tehtävää jotenkin jos se ei perus-derangementeillä ratkeakaan... Entä jos lukija pystyy päättelemään vauvakuvastakin sukupuolen ja miehiä on m kappaletta ja naisia n kappaletta?
Kiitos vastauksista kaikille. Itse yritin ratkaista tehtävän seuraavasti tuloperiaatteella:
Perusjoukon koko on nyt 3*3*2*2*1*1=36 P(kaikki oikein) = 3*1*2*1*1*1 /36 = 6/36 = 1/6 P(täsmälleen kaksi oikein) = 0, sillä jos tietää kaksi, tietää automaattisesti kaikki 3.
Mutta sitten se vaikeampi kohta, eli P(ainakin 1 oikein) = P(täsmälleen 1 oikein) + P(kaikki oikein). Kun yritän ratkaista todennäköisyyttä P(täsmälleen 1 oikein), saan tuloperiaatteella 3*1*2*1*1*1/36 = 6/36 =1/6, jolloin P(ainakin 1 oikein) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3, mutta tämä tulos on väärä (oikea vastaus on oppikirjankin mukaan 2/3). Mutta jos P(täsmälleen 1 oikein) laskettaisiin seuraavasti: 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/6 *3 = 1/2, saataisiin P(ainakin 1 oikein) = 1/2 + 1/6 = 2/3, mikä on siis oikea tulos. Tällöin siis käydään erikseen läpi kaikki eri tapaukset, kun saadaan P( täsmälleen 1 oikein). Mutta nyt se ongelman juurisyy: Miksi tuloperiaate ei ota automaattisesti huomioon kaikkia eri vaihtoehtoja laskettaessa todennäköisyyttä P(täsmälleen 1 oikein), vaan tämä todennäköisyys pitäisi laskea erikseen kolmen tapauksen summana? Missä siis olen tehnyt virheen ja voiko tehtävää ylipäätään laskea tuloperiaatteella?
Tehtävä voidaan ratkaista yksinkertaisemminkin, kuten jotkut jo kirjoittivatkin, mutta tuloperiaatteen harjoittelun vuoksi yritin ratkaista sen monimutkaisemmin.
0Äänestä
Anonyymi00008
Ensimmäinen kuvapari voidaan muodostaa kolmesta tarjokkaasta, toinen kahdesta ja kolmas yhdestä, joten eri vaihtoehtoja on kaikkiaan 3 x 2 x 1 = 6 kpl.
Vaihtoehdot joissa ei ole yhtään paria oikein: ensimmäinen kuvapari voidaan muodostaa kahdesta väärästä tarjokkaasta ja toinen sekä kolmas yhdestä, joten täysin vääriä vaihtoehtoja on 2 x 1 x 1 = 2 kpl.
Niinpä vähintään yksi kuvapari oikein on 4 vaihtoehdossa ja todennäköisyys on siis 4/6 = 2/3.
0Äänestä
Anonyymi00009
Lasketaan nyt sitten noin, että perusjoukossa on 36 = 3! * 3! alkiota. Alkioita, joissa ei ole yhtään noikein, on 3! * 2 = 12. P(ainakin yksim oikein) = 1 - 12/36 = 2/3.
0Äänestä
Anonyymi00010
Anonyymi00009 kirjoitti:
Lasketaan nyt sitten noin, että perusjoukossa on 36 = 3! * 3! alkiota. Alkioita, joissa ei ole yhtään noikein, on 3! * 2 = 12. P(ainakin yksim oikein) = 1 - 12/36 = 2/3.
Mistä sinä tuon 36 kehittelet?
Listataanpa kaikki mahdolliset vaihtoehdot: A= aikuiskuva a= vauvakuva
Aa_Bb_Cc - kaikki oikein Aa_Bc_Cb - yksi oikein Ab_Ba_Cc - yksi oikein Ab_Bc_Ca - ei yhtään oikein Ac_Ba_Cb - ei yhtään oikein Ac_Bb_Ca - yksi oikein
0Äänestä
Anonyymi00011
Anonyymi00010 kirjoitti:
Mistä sinä tuon 36 kehittelet?
Listataanpa kaikki mahdolliset vaihtoehdot: A= aikuiskuva a= vauvakuva
Aa_Bb_Cc - kaikki oikein Aa_Bc_Cb - yksi oikein Ab_Ba_Cc - yksi oikein Ab_Bc_Ca - ei yhtään oikein Ac_Ba_Cb - ei yhtään oikein Ac_Bb_Ca - yksi oikein
Kolme alkiota voidaan panna 3! järjestykseen, aikuiskuvat siis kuuteen ja vauvakuvat kuuteen, kaikkiaan 6*6 = 36 eri mahdollisuutta. Kun jokin aikuiskolmikko on valittu on voidaan se vaihtoehto, jossa ei ole yhtään oikein, valita niin, että ensimmäinen vauvakuva voidaan panna kahteen eri paikkaan. Muut kaksi vauvakuvaa on mahdollista laittaa vain yhdellä tavalla. Näitä täysin virheellisiä vaihtoehtoja on siis 6*2 = 12 kappaletta. Tämän joukon tn = 12/36 ja sen komplementin, jota siis tehtävässä kysyttiin, tn = 1 - 12/36 = 2/3. Joko selkisi?
0Äänestä
Anonyymi00012
Joo tuo 36 ei oikein vastaa mitään tapahtumien joukkoa. Jos kaikki vauvakuvat saisi yhdistää yhteen ja samaan aikuiskuvaan jne niin silloinkin tapahtumia olisi vain 1*3*1*3*1*3 = 3*3*3 = 27. Se taas ei ole mielekäs tapa ajatella ollenkaan asiaa, koska jos haluat yhden oikein niin saat sen 100% varmuudella, jos haluat sääntöjen puitteissa voittaa kisan niin sinun on pakko kokeilla laittaa kaikki eriin. Kaikki todennäköisyydet tehtävään saa esim tähän tyyliin: P("tasan 3 oikein") = (eka oikein) * (toka oikein) * (kolmas oikein) = (1/3) *(1/2) * (1/1) = 1/6, P("tasan 2 oikein") = P("tasan 1 väärin") = (oikein) (oikein) (väärin) TAI (väärin)(oikein) (oikein) TAI (oikein) (väärin) (oikein) huomataan ettei kuitenkaan mikään näistä mahdollista joten 0/6. P("tasan 1 oikein") = P("tasan 2 väärin") = (väärin) (väärin) (oikein) TAI (väärin) (oikein) (väärin) TAI (oikein) (väärin) (väärin) = 3/6, P("tasan 0 oikein") = P("tasan 3 väärin") = (eka väärin) * (toka väärin) * (kolmas väärin) = (2/3) * (1/2) * (1/1) = 2/6.
0Äänestä
Anonyymi00013
Anonyymi00012 kirjoitti:
Joo tuo 36 ei oikein vastaa mitään tapahtumien joukkoa. Jos kaikki vauvakuvat saisi yhdistää yhteen ja samaan aikuiskuvaan jne niin silloinkin tapahtumia olisi vain 1*3*1*3*1*3 = 3*3*3 = 27. Se taas ei ole mielekäs tapa ajatella ollenkaan asiaa, koska jos haluat yhden oikein niin saat sen 100% varmuudella, jos haluat sääntöjen puitteissa voittaa kisan niin sinun on pakko kokeilla laittaa kaikki eriin. Kaikki todennäköisyydet tehtävään saa esim tähän tyyliin: P("tasan 3 oikein") = (eka oikein) * (toka oikein) * (kolmas oikein) = (1/3) *(1/2) * (1/1) = 1/6, P("tasan 2 oikein") = P("tasan 1 väärin") = (oikein) (oikein) (väärin) TAI (väärin)(oikein) (oikein) TAI (oikein) (väärin) (oikein) huomataan ettei kuitenkaan mikään näistä mahdollista joten 0/6. P("tasan 1 oikein") = P("tasan 2 väärin") = (väärin) (väärin) (oikein) TAI (väärin) (oikein) (väärin) TAI (oikein) (väärin) (väärin) = 3/6, P("tasan 0 oikein") = P("tasan 3 väärin") = (eka väärin) * (toka väärin) * (kolmas väärin) = (2/3) * (1/2) * (1/1) = 2/6.
Tai Juu kyllä se 36 sittenkin jos vielä kaikki aikuiskuvat on mahdollista yhdistää samaan vauvakuvaan niin sieltä taitaa tulla sitten mutta turha luku silti
0Äänestä
Anonyymi00014
Anonyymi00012 kirjoitti:
Joo tuo 36 ei oikein vastaa mitään tapahtumien joukkoa. Jos kaikki vauvakuvat saisi yhdistää yhteen ja samaan aikuiskuvaan jne niin silloinkin tapahtumia olisi vain 1*3*1*3*1*3 = 3*3*3 = 27. Se taas ei ole mielekäs tapa ajatella ollenkaan asiaa, koska jos haluat yhden oikein niin saat sen 100% varmuudella, jos haluat sääntöjen puitteissa voittaa kisan niin sinun on pakko kokeilla laittaa kaikki eriin. Kaikki todennäköisyydet tehtävään saa esim tähän tyyliin: P("tasan 3 oikein") = (eka oikein) * (toka oikein) * (kolmas oikein) = (1/3) *(1/2) * (1/1) = 1/6, P("tasan 2 oikein") = P("tasan 1 väärin") = (oikein) (oikein) (väärin) TAI (väärin)(oikein) (oikein) TAI (oikein) (väärin) (oikein) huomataan ettei kuitenkaan mikään näistä mahdollista joten 0/6. P("tasan 1 oikein") = P("tasan 2 väärin") = (väärin) (väärin) (oikein) TAI (väärin) (oikein) (väärin) TAI (oikein) (väärin) (väärin) = 3/6, P("tasan 0 oikein") = P("tasan 3 väärin") = (eka väärin) * (toka väärin) * (kolmas väärin) = (2/3) * (1/2) * (1/1) = 2/6.
Et näköjään ymmärrä vaikka sinulle kuinka selittäisi. Olkoon. Kahdella tavalla olenn sinulle laskenut oikean todennäköisyyden 2/3.
0Äänestä
Anonyymi00015
Anonyymi00013 kirjoitti:
Tai Juu kyllä se 36 sittenkin jos vielä kaikki aikuiskuvat on mahdollista yhdistää samaan vauvakuvaan niin sieltä taitaa tulla sitten mutta turha luku silti
Eipäs tulekaan 36 vaan tulee vielä isompi luku
0Äänestä
Anonyymi00016
Anonyymi00014 kirjoitti:
Et näköjään ymmärrä vaikka sinulle kuinka selittäisi. Olkoon. Kahdella tavalla olenn sinulle laskenut oikean todennäköisyyden 2/3.
Vastailin vain omaan laskelmaani. Luku 36 ei mielestäni vastaa kyllä mitään järkevää tapahtumien määrää.
0Äänestä
Anonyymi00017
Anonyymi00014 kirjoitti:
Et näköjään ymmärrä vaikka sinulle kuinka selittäisi. Olkoon. Kahdella tavalla olenn sinulle laskenut oikean todennäköisyyden 2/3.
Eikun vastasitkin tuohon kommenttiin näköjään, se oli vastaus aloittajalle. Mutta mikä luku on 36?
0Äänestä
Anonyymi00018
Anonyymi00014 kirjoitti:
Et näköjään ymmärrä vaikka sinulle kuinka selittäisi. Olkoon. Kahdella tavalla olenn sinulle laskenut oikean todennäköisyyden 2/3.
"Perusjoukko" ei voi olla 36, sitä tarkoitan. Tehtävän voi laskea juuri kertomallasi tavalla mutta perusjoukko on 6. Se hämäsi
0Äänestä
Anonyymi00019
Anonyymi00011 kirjoitti:
Kolme alkiota voidaan panna 3! järjestykseen, aikuiskuvat siis kuuteen ja vauvakuvat kuuteen, kaikkiaan 6*6 = 36 eri mahdollisuutta. Kun jokin aikuiskolmikko on valittu on voidaan se vaihtoehto, jossa ei ole yhtään oikein, valita niin, että ensimmäinen vauvakuva voidaan panna kahteen eri paikkaan. Muut kaksi vauvakuvaa on mahdollista laittaa vain yhdellä tavalla. Näitä täysin virheellisiä vaihtoehtoja on siis 6*2 = 12 kappaletta. Tämän joukon tn = 12/36 ja sen komplementin, jota siis tehtävässä kysyttiin, tn = 1 - 12/36 = 2/3. Joko selkisi?
Ei niitä mahdollisia vaihtoehtoja ole kuin kuusi, kuten tuossa edellä jo listattiin. Kuvaparien keskinäisellä järjestyksellä ei ole mitään merkitystä - tarkoitus on vain yhdistää oikeat kuvat toisiinsa.
0Äänestä
Anonyymi00020
Anonyymi00010 kirjoitti:
Mistä sinä tuon 36 kehittelet?
Listataanpa kaikki mahdolliset vaihtoehdot: A= aikuiskuva a= vauvakuva
Aa_Bb_Cc - kaikki oikein Aa_Bc_Cb - yksi oikein Ab_Ba_Cc - yksi oikein Ab_Bc_Ca - ei yhtään oikein Ac_Ba_Cb - ei yhtään oikein Ac_Bb_Ca - yksi oikein
Sama tehtävä voidaan matematiikassa usein ratkaista monella eri tavalla. Yksi tapa on tutkia kahta joukkoa {A,B,C} eli aikuiskuvat ja {a,b,c} eli vauvakuvat. Tutkitaan sitten, kuinka monella tavalla voidaan muodostaa lukujono ( , ), jossa lukujonon ensimmäinen kirjain tulee joukosta {A,B,C} ja jälkimmäinen kirjain joukosta {a,b,c}. Yksi lukujono vastaa yhtä aikuis-vauva-paria. Lukujonon ( , ) ensimmäinen kirjain voidaan valita kuudella eri tavalla ja jälkimmäinen myöskin kuudella eri tavalla, joten tuloperiaatteen mukaan erilaisia lukujonoja eli aikuis-vauva-pareja on 6*6 = 36 kappaletta. Samalla periaatteella voidaan esittää suotuisat tapaukset. Tämä menetelmä ei ole yhtä lyhyt kuin edellä mainittu Anonyymi 00010:n esitys, mutta aivan yhtä oikea.
0Äänestä
Anonyymi00021
Anonyymi00020 kirjoitti:
Sama tehtävä voidaan matematiikassa usein ratkaista monella eri tavalla. Yksi tapa on tutkia kahta joukkoa {A,B,C} eli aikuiskuvat ja {a,b,c} eli vauvakuvat. Tutkitaan sitten, kuinka monella tavalla voidaan muodostaa lukujono ( , ), jossa lukujonon ensimmäinen kirjain tulee joukosta {A,B,C} ja jälkimmäinen kirjain joukosta {a,b,c}. Yksi lukujono vastaa yhtä aikuis-vauva-paria. Lukujonon ( , ) ensimmäinen kirjain voidaan valita kuudella eri tavalla ja jälkimmäinen myöskin kuudella eri tavalla, joten tuloperiaatteen mukaan erilaisia lukujonoja eli aikuis-vauva-pareja on 6*6 = 36 kappaletta. Samalla periaatteella voidaan esittää suotuisat tapaukset. Tämä menetelmä ei ole yhtä lyhyt kuin edellä mainittu Anonyymi 00010:n esitys, mutta aivan yhtä oikea.
Tehdään heti korjauksia äsken kirjoittamaani horinaan, jonka laadin liian nopeasti. Siis: Yksi arvauskokonaisuus voidaan esittää muodossa ( , )( , )( , ), missä ensimmäisen lukujonon ensimmäinen kirjain voidaan voidaan valita joukosta {A,B,C} eli mahdollisuuksia on 3 kappaletta, toisen lukujonon ensimmäinen kirjain voidaan taas valita 2 eri tavalla ja viimeisen lukujonon ensimmäinen kirjain voidaan valita 1 eri tavalla. Kaiken kaikkiaan siis ensimmäinen kirjain voidaan valita 3*2*1 = 6 eri tavalla. Täysin vastaavalla tavalla edellä mainittujen kolmen lukujonon kokonaisuuksien ( , )( , )( , ) jälkimmäinen kirjain voidaan valita joukosta {a,b,c} kuudella eri tavalla eli ensimmäiseen lukujonoon 3 eri tavalla, toiseen lukujonoon 2 eri tavalla ja kolmanteen lukujonoon 1 eri tavalla. Kaiken kaikkiaan siis erilaisia arvauskokonaisuuksia on tuloperiaatteen perusteella 6*6 = 36 kappaletta.
0Äänestä
Anonyymi00022
Yksi tapa ratkaista:
Lasketaan todennäköisyys, ettei yksikään kuvapari osu oikein (kaksi mahdollista polkua kuvien yhdistämisessä):
1. kuvapari - P=2/3 x 2. kuvapari - P=1/2 (oikea kuva vielä mukana) x 3. kuvapari - P=1 (kuva on varmasti väärin)
eli todennäköisyys P= 2/3 x 1/2 x 1= 1/3
TAI
1. kuvapari - P=2/3 x 2. kuvapari - P=1 (oikea kuva ei enää mukana) x 3. kuvapari - P=1/2 (kuva voi olla yhtä hyvin oikein kuin väärin)
eli todennäköisyys P= 2/3 x 1 x 1/2 = 1/3
Molemmat polut arvata kaikki väärin antavat aivan saman todennäköisyyden, joten todennäköisyys että ainakin yksi on oikein on siis
P= 1 - 1/3 = 2/3
0Äänestä
Anonyymi00023
"Aikakauslehdessä on kilpailu, jossa on sovitettava kolmen julkkiksen aikuis- ja vauvakuvat yhteen. Millä todennäköisyydellä lukija pelkästään arvaamalla saa ainakin yhden oikein?" Vastaus :
Tässä on analyysi kolmen henkilön aikuis- ja vauvakuvien yhdistämisestä (parittamisesta), permutaatioryhmät ja todennäköisyydet arvattaessa.
1. Permutaatioryhmät (Kaikki mahdolliset yhdistelmät) Oletetaan, että henkilöt ovat A, B ja C, ja heidän vauvakuvansa ovat a, b ja c. Meidän on yhdistettävä kukin aikuinen oikeaan vauvakuvaan.
Kaikkiaan erilaisia yhdistelmiä (permutaatioita) on (3 kertoma), eli 3! 3 × 2 × 1 = 𝟔 kappaletta.
Kaikki 6 mahdollista ryhmä: 1. A-a, B-b, C-c (Kaikki oikein) 2. A-a, B-c, C-b (1 oikein, kaksi väärin) 3. A-b, B-a, C-c (1 oikein, kaksi väärin) 4. A-c, B-b, C-a (1 oikein, kaksi väärin) 5. A-b, B-c, C-a (0 oikein - kierto) 6. A-c, B-a, C-b (0 oikein - kierto)
2. Arvaamalla oikein? Todennäköisyydet: Jos arvaat sokkona yhden yhdistelmän 6 vaihtoehdosta: Kaikki oikein (1/6): ≈ 𝟏𝟔, 𝟕% Täsmälleen 1 oikein (3/6): (Vaihtoehdot 2, 3 ja 4) 𝟓𝟎% 0 oikein (2/6): (Vaihtoehdot 5 ja 6) ≈ 𝟑𝟑, 𝟑%
Huom: Esittämäsi prosentit (1 oikein 16,6% / 0 oikein 66,7%) eivät täsmää matemaattiseen permutaatiolaskentaan 3 henkilön tapauksessa.
3. Yhteenveto Oikea vastaus on, että jos arvaat, sinulla on: 16,7 % mahdollisuus saada kaikki 3 oikein. 50 % mahdollisuus saada yksi oikein. 33,3 % mahdollisuus saada kaikki väärin.
Vastaukset 23
Vanhimmat
Tuoko on mielestäsi lukion vaikea todennäköisyystehtävä?
No ratkaise sitten jos kerran osaat, äläkä viisastele.
Mahdollisuus osua oikeaan arvaamalla on yksi kolmesta, ei voi olla noin vaikeaa.
Sori, korjaus: tuo siis vastasi vain siihen millä todennäköisyydellä ainakin ensimmäinen arvaus osuu oikeaan.
Mutta kuvaparit voi muodostaa kuudella eri tavalla, joten todennäköisyys on oikeat vaihtoehdot jaettuna kaikilla vaihtoehdoilla.
Ajattele vauvakuvat laitettuna riviin. Sitten se miten aikuiskuvat asetetaan niiden päälle määrää sovituksen. Kyse on siis kolmen objektin permutaatiosta. Eri vaihtoehtoja on kuusi, joten on helppo käydä kaikki läpi ja katsoa kuinka monessa on ainakin yksi oikein.
Jos kuvia olisi useampi, niin kannattaa tutustua derangementtien teoriaan (kiintopistettömät permutaatiot). Nämähän tietenkin laskevat käänteistapauksen (jossa yksikään kuva ei mene oikein). Ja mitkä ne sieltä tulevatkaan sitten vastaan jos ei tornipolynomit. Etenkin jos vielä muutetaan tehtävää jotenkin jos se ei perus-derangementeillä ratkeakaan... Entä jos lukija pystyy päättelemään vauvakuvastakin sukupuolen ja miehiä on m kappaletta ja naisia n kappaletta?
P(ainkin 1 oikein) = 1 - P(kaikki väärin) = 1 - 2/6 = 2/3.
Kiitos vastauksista kaikille. Itse yritin ratkaista tehtävän seuraavasti tuloperiaatteella:
Perusjoukon koko on nyt 3*3*2*2*1*1=36
P(kaikki oikein) = 3*1*2*1*1*1 /36 = 6/36 = 1/6
P(täsmälleen kaksi oikein) = 0, sillä jos tietää kaksi, tietää automaattisesti kaikki 3.
Mutta sitten se vaikeampi kohta, eli P(ainakin 1 oikein) = P(täsmälleen 1 oikein) + P(kaikki oikein). Kun yritän ratkaista todennäköisyyttä P(täsmälleen 1 oikein), saan tuloperiaatteella 3*1*2*1*1*1/36 = 6/36 =1/6, jolloin P(ainakin 1 oikein) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3, mutta tämä tulos on väärä (oikea vastaus on oppikirjankin mukaan 2/3). Mutta jos P(täsmälleen 1 oikein) laskettaisiin seuraavasti: 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/6 *3 = 1/2, saataisiin P(ainakin 1 oikein) = 1/2 + 1/6 = 2/3, mikä on siis oikea tulos. Tällöin siis käydään erikseen läpi kaikki eri tapaukset, kun saadaan P( täsmälleen 1 oikein). Mutta nyt se ongelman juurisyy: Miksi tuloperiaate ei ota automaattisesti huomioon kaikkia eri vaihtoehtoja laskettaessa todennäköisyyttä P(täsmälleen 1 oikein), vaan tämä todennäköisyys pitäisi laskea erikseen kolmen tapauksen summana? Missä siis olen tehnyt virheen ja voiko tehtävää ylipäätään laskea tuloperiaatteella?
Tehtävä voidaan ratkaista yksinkertaisemminkin, kuten jotkut jo kirjoittivatkin, mutta tuloperiaatteen harjoittelun vuoksi yritin ratkaista sen monimutkaisemmin.
Ensimmäinen kuvapari voidaan muodostaa kolmesta tarjokkaasta, toinen kahdesta ja kolmas yhdestä, joten eri vaihtoehtoja on kaikkiaan 3 x 2 x 1 = 6 kpl.
Vaihtoehdot joissa ei ole yhtään paria oikein: ensimmäinen kuvapari voidaan muodostaa kahdesta väärästä tarjokkaasta ja toinen sekä kolmas yhdestä, joten täysin vääriä vaihtoehtoja on 2 x 1 x 1 = 2 kpl.
Niinpä vähintään yksi kuvapari oikein on 4 vaihtoehdossa ja todennäköisyys on siis 4/6 = 2/3.
Lasketaan nyt sitten noin, että perusjoukossa on 36 = 3! * 3! alkiota.
Alkioita, joissa ei ole yhtään noikein, on 3! * 2 = 12.
P(ainakin yksim oikein) = 1 - 12/36 = 2/3.
Mistä sinä tuon 36 kehittelet?
Listataanpa kaikki mahdolliset vaihtoehdot:
A= aikuiskuva
a= vauvakuva
Aa_Bb_Cc - kaikki oikein
Aa_Bc_Cb - yksi oikein
Ab_Ba_Cc - yksi oikein
Ab_Bc_Ca - ei yhtään oikein
Ac_Ba_Cb - ei yhtään oikein
Ac_Bb_Ca - yksi oikein
Kolme alkiota voidaan panna 3! järjestykseen, aikuiskuvat siis kuuteen ja vauvakuvat kuuteen, kaikkiaan 6*6 = 36 eri mahdollisuutta.
Kun jokin aikuiskolmikko on valittu on voidaan se vaihtoehto, jossa ei ole yhtään oikein, valita niin, että ensimmäinen vauvakuva voidaan panna kahteen eri paikkaan. Muut kaksi vauvakuvaa on mahdollista laittaa vain yhdellä tavalla. Näitä täysin virheellisiä vaihtoehtoja on siis 6*2 = 12 kappaletta. Tämän joukon tn = 12/36 ja sen komplementin, jota siis tehtävässä kysyttiin, tn = 1 - 12/36 = 2/3.
Joko selkisi?
Joo tuo 36 ei oikein vastaa mitään tapahtumien joukkoa. Jos kaikki vauvakuvat saisi yhdistää yhteen ja samaan aikuiskuvaan jne niin silloinkin tapahtumia olisi vain 1*3*1*3*1*3 = 3*3*3 = 27. Se taas ei ole mielekäs tapa ajatella ollenkaan asiaa, koska jos haluat yhden oikein niin saat sen 100% varmuudella, jos haluat sääntöjen puitteissa voittaa kisan niin sinun on pakko kokeilla laittaa kaikki eriin. Kaikki todennäköisyydet tehtävään saa esim tähän tyyliin: P("tasan 3 oikein") = (eka oikein) * (toka oikein) * (kolmas oikein) = (1/3) *(1/2) * (1/1) = 1/6, P("tasan 2 oikein") = P("tasan 1 väärin") = (oikein) (oikein) (väärin) TAI (väärin)(oikein) (oikein) TAI (oikein) (väärin) (oikein) huomataan ettei kuitenkaan mikään näistä mahdollista joten 0/6. P("tasan 1 oikein") = P("tasan 2 väärin") = (väärin) (väärin) (oikein) TAI (väärin) (oikein) (väärin) TAI (oikein) (väärin) (väärin) = 3/6, P("tasan 0 oikein") = P("tasan 3 väärin") = (eka väärin) * (toka väärin) * (kolmas väärin) = (2/3) * (1/2) * (1/1) = 2/6.
Tai Juu kyllä se 36 sittenkin jos vielä kaikki aikuiskuvat on mahdollista yhdistää samaan vauvakuvaan niin sieltä taitaa tulla sitten mutta turha luku silti
Et näköjään ymmärrä vaikka sinulle kuinka selittäisi. Olkoon.
Kahdella tavalla olenn sinulle laskenut oikean todennäköisyyden 2/3.
Eipäs tulekaan 36 vaan tulee vielä isompi luku
Vastailin vain omaan laskelmaani. Luku 36 ei mielestäni vastaa kyllä mitään järkevää tapahtumien määrää.
Eikun vastasitkin tuohon kommenttiin näköjään, se oli vastaus aloittajalle. Mutta mikä luku on 36?
"Perusjoukko" ei voi olla 36, sitä tarkoitan. Tehtävän voi laskea juuri kertomallasi tavalla mutta perusjoukko on 6. Se hämäsi
Ei niitä mahdollisia vaihtoehtoja ole kuin kuusi, kuten tuossa edellä jo listattiin. Kuvaparien keskinäisellä järjestyksellä ei ole mitään merkitystä - tarkoitus on vain yhdistää oikeat kuvat toisiinsa.
Sama tehtävä voidaan matematiikassa usein ratkaista monella eri tavalla. Yksi tapa on tutkia kahta joukkoa {A,B,C} eli aikuiskuvat ja {a,b,c} eli vauvakuvat. Tutkitaan sitten, kuinka monella tavalla voidaan muodostaa lukujono ( , ), jossa lukujonon ensimmäinen kirjain tulee joukosta {A,B,C} ja jälkimmäinen kirjain joukosta {a,b,c}. Yksi lukujono vastaa yhtä aikuis-vauva-paria. Lukujonon ( , ) ensimmäinen kirjain voidaan valita kuudella eri tavalla ja jälkimmäinen myöskin kuudella eri tavalla, joten tuloperiaatteen mukaan erilaisia lukujonoja eli aikuis-vauva-pareja on 6*6 = 36 kappaletta. Samalla periaatteella voidaan esittää suotuisat tapaukset. Tämä menetelmä ei ole yhtä lyhyt kuin edellä mainittu Anonyymi 00010:n esitys, mutta aivan yhtä oikea.
Tehdään heti korjauksia äsken kirjoittamaani horinaan, jonka laadin liian nopeasti. Siis: Yksi arvauskokonaisuus voidaan esittää muodossa ( , )( , )( , ), missä ensimmäisen lukujonon ensimmäinen kirjain voidaan voidaan valita joukosta {A,B,C} eli mahdollisuuksia on 3 kappaletta, toisen lukujonon ensimmäinen kirjain voidaan taas valita 2 eri tavalla ja viimeisen lukujonon ensimmäinen kirjain voidaan valita 1 eri tavalla. Kaiken kaikkiaan siis ensimmäinen kirjain voidaan valita 3*2*1 = 6 eri tavalla. Täysin vastaavalla tavalla edellä mainittujen kolmen lukujonon kokonaisuuksien ( , )( , )( , ) jälkimmäinen kirjain voidaan valita joukosta {a,b,c} kuudella eri tavalla eli ensimmäiseen lukujonoon 3 eri tavalla, toiseen lukujonoon 2 eri tavalla ja kolmanteen lukujonoon 1 eri tavalla. Kaiken kaikkiaan siis erilaisia arvauskokonaisuuksia on tuloperiaatteen perusteella 6*6 = 36 kappaletta.
Yksi tapa ratkaista:
Lasketaan todennäköisyys, ettei yksikään kuvapari osu oikein (kaksi mahdollista polkua kuvien yhdistämisessä):
1. kuvapari - P=2/3
x
2. kuvapari - P=1/2 (oikea kuva vielä mukana)
x
3. kuvapari - P=1 (kuva on varmasti väärin)
eli todennäköisyys P= 2/3 x 1/2 x 1= 1/3
TAI
1. kuvapari - P=2/3
x
2. kuvapari - P=1 (oikea kuva ei enää mukana)
x
3. kuvapari - P=1/2 (kuva voi olla yhtä hyvin oikein kuin väärin)
eli todennäköisyys P= 2/3 x 1 x 1/2 = 1/3
Molemmat polut arvata kaikki väärin antavat aivan saman todennäköisyyden, joten todennäköisyys että ainakin yksi on oikein on siis
P= 1 - 1/3 = 2/3
"Aikakauslehdessä on kilpailu, jossa on sovitettava kolmen julkkiksen aikuis- ja vauvakuvat yhteen. Millä todennäköisyydellä lukija pelkästään arvaamalla saa ainakin yhden oikein?"
Vastaus :
Tässä on analyysi kolmen henkilön aikuis- ja vauvakuvien yhdistämisestä
(parittamisesta), permutaatioryhmät ja todennäköisyydet arvattaessa.
1. Permutaatioryhmät (Kaikki mahdolliset yhdistelmät)
Oletetaan, että henkilöt ovat A, B ja C, ja heidän vauvakuvansa ovat a, b ja c.
Meidän on yhdistettävä kukin aikuinen oikeaan vauvakuvaan.
Kaikkiaan erilaisia yhdistelmiä (permutaatioita) on (3 kertoma), eli
3! 3 × 2 × 1 = 𝟔 kappaletta.
Kaikki 6 mahdollista ryhmä:
1. A-a, B-b, C-c (Kaikki oikein)
2. A-a, B-c, C-b (1 oikein, kaksi väärin)
3. A-b, B-a, C-c (1 oikein, kaksi väärin)
4. A-c, B-b, C-a (1 oikein, kaksi väärin)
5. A-b, B-c, C-a (0 oikein - kierto)
6. A-c, B-a, C-b (0 oikein - kierto)
2. Arvaamalla oikein?
Todennäköisyydet:
Jos arvaat sokkona yhden yhdistelmän 6 vaihtoehdosta:
Kaikki oikein (1/6): ≈ 𝟏𝟔, 𝟕%
Täsmälleen 1 oikein (3/6): (Vaihtoehdot 2, 3 ja 4) 𝟓𝟎%
0 oikein (2/6): (Vaihtoehdot 5 ja 6) ≈ 𝟑𝟑, 𝟑%
Huom: Esittämäsi prosentit (1 oikein 16,6% / 0 oikein 66,7%) eivät täsmää
matemaattiseen permutaatiolaskentaan 3 henkilön tapauksessa.
3. Yhteenveto
Oikea vastaus on, että jos arvaat, sinulla on:
16,7 % mahdollisuus saada kaikki 3 oikein.
50 % mahdollisuus saada yksi oikein.
33,3 % mahdollisuus saada kaikki väärin.