Mekaniikan matemaattisissa esityksissä on "vektoreita".
-- paikkavektori r
- nopeusvektori v
- kulmanopeusvektori w.
Näitä sitoo kaava v = w x r.
Mutta summat r + v,r+w ja v+w eivät ole mielekkäitä. Nuo eivät siis ole samanlaisia otuksia, vektoreita, koska vektorithan voidaan laskea yhteen.
Mitä nuo sitten ovat?
oppikirjoissa ei asiaa juuri pohdita saati sitten selitetä.
-- paikkavektori r
- nopeusvektori v
- kulmanopeusvektori w.
Näitä sitoo kaava v = w x r.
Mutta summat r + v,r+w ja v+w eivät ole mielekkäitä. Nuo eivät siis ole samanlaisia otuksia, vektoreita, koska vektorithan voidaan laskea yhteen.
Mitä nuo sitten ovat?
oppikirjoissa ei asiaa juuri pohdita saati sitten selitetä.
Vastaukset 8
Vanhimmat
Aikoinaan sähköopissa puhuttiin pyörivistä osoittimista eikä vektoreista.
Fysiikassa voidaan laskea yhteen vain sellaisia vektoreita, joilla on sama yksikkö. Niinpä esimerkiksi seuraavat summat ovat kiellettyjä:
metri + metri/sekunti m + m/s
metri + 1/sekunti m + 1/s
metri/sekunti + 1/sekunti m/s + 1/s
Eihän ole mielekästä laskea yhteen seuraavia skalaarisuureitakaan: aika ja massa, sillä mitä tarkoittaisi esimerkiksi 2 sekuntia + 3 kilogrammaa.
Lisään vielä, että kertolaskussa tilanne on toisenlainen:
v = w * r
Tämä yhtälö on yksikköjen suhteen seuraavan lainen:
metri/sekunti = 1/sekunti * metri = metri/sekunti.
Et nyt tajunnut kysymystäni ollenkaan. Juuri noinhan se on, esim. metrejä ja sekunteja ei voida laskea yhteen.
Mutta kysyinkin, miksi tiettyjä suureita nimitetään oppikirjoissa vektoreiksi, vaikka niitä ei voida esim. laskea yhteen. Mitä matemaattista systeemiä käytetään? Normaali vektoriavaruushan ei ole kysaeessä.
Asia sivuutetaan oppikirjoissa ilman mitään nselitystä. Samoin opiskelijat omaksuvat nuo puhetavat ilman että ymmärtävät mistä on kyse. Silloin käytetään työkalua joka toimii vaikka käyttäjä ei tajua miksi se toimii ja miten se toimii.
Siis jos V1 ja V2 ovat vektoriavaruuksia, joidaan toki aina muodostaa joukko X, jolle V1 ja V2 ovat osajoukkoja. Nyt X:ään voidaan muodostaa erilaisia laskutoimituksia, eikä X:n tarvitse olla vektoriavaruus.
No johan oli syvällinen kommentti! Niinhän asia selvisi.
Vai selvisikö?
Kysyin asiaa tekoälyltä seuraavasti:
Voiko samassa tehtävässä esiintyä monesta eri vektoriavaruudesta koostuvia termejä, esimerkiksi fysiikassa nopeuksia ja etäisyyksiä?
Vastaus:
"Kyllä voi, ja fysiikassa se on jopa täysin välttämätöntä. Nopeudet ja etäisyydet (paikkavektorit) kuuluvat matemaattisesti eri vektoriavaruuksiin, koska niillä on eri mittayksiköt.
Miksi ne ovat eri avaruuksia?
Vektoriavaruuden määritelmän mukaan kaikkien avaruuden alkioiden on oltava keskenään yhteismitallisia, jotta yhteenlasku on määritelty.
• Paikkavektori r kuuluu "etäisyysavaruuteen" (yksikkö: metri, m).
• Nopeusvektori v kuuluu "nopeusavaruuteen" (yksikkö: metriä sekunnissa, m/s).
Et voi laskea yhteen 5 metriä ja 3 metriä sekunnissa 5 m + 3 m/s, sillä tällainen operaatio on fysiikan lakien vastainen. Koska yhteenlasku ei ole sallittu paikan ja nopeuden välillä, ne eivät voi kuulua samaan vektoriavaruuteen.
Miten ne esiintyvät samassa tehtävässä?
Vaikka eri avaruuksien vektoreita ei voi laskea yhteen, ne kytkeytyvät toisiinsa muiden operaatioiden kautta:
1. Skalaarilla kertominen (Avaruudesta toiseen hyppääminen).
2. Kuvaus kahden avaruuden välillä: Derivointi ja integrointi toimivat siltoina eri vektoriavaruuksien välillä. Esimerkiksi derivaatta-operaattori kuvaa paikkavektoriavaruuden alkiot nopeusvektoriavaruuteen.
3. Monimutkaisemmat rakenteet (Tensorit ja tuloavaruudet):
Suhteellisuusteoriassa ja mekaniikassa käytetään usein tuloavaruuksia tai faasiavaruuksia, joissa paikka ja liikemäärä yhdistetään yhdeksi isommaksi matemaattiseksi järjestelmäksi, jotta systeemin tilaa voidaan kuvata kokonaisuutena."
Itse olen siis edelleenkin sitä mieltä, että ongelmasi juurisyy on se, että et ehkä salli samassa tehtävässä käytettävän monen eri vektoriavaruuden termejä. Eri vektoriavaruuksista koostuvia termejä ei voi laskea yhteen, mutta niitä voi muuten esiintyä samassa tehtävässä (samassa yhteydessä) esimerkiksi derivaatan tai integraalin muodossa.
Olipa löpinää.