Johdin seuraavan kaavan pisteen ja suoran välisen etäisyyden laskemiseksi:
d=(sqrt(k(y0-b-kx0))^2 (kx0-y0 b)^2)/(k^2 1)
Onko enää mahdollista saattaa kyseistä yhtälöä helpompaan muotoon?
Suoran ja pisteen etäisyyden pystyy laskemaan myös yhtälöllä:
d=(abs(ax by c))/(sqrt(a^2 b^2)),
joka on huomattavasti yksinkertaisempi kuin edeltävä.
En kuitenkaan onnistunut johtamaan yhtälöäni noin helppoon muotoon. Miten olisi mahdollista saavuttaa kyseessä oleva muoto? Siis kuinka se on johdettu?
d=(sqrt(k(y0-b-kx0))^2 (kx0-y0 b)^2)/(k^2 1)
Onko enää mahdollista saattaa kyseistä yhtälöä helpompaan muotoon?
Suoran ja pisteen etäisyyden pystyy laskemaan myös yhtälöllä:
d=(abs(ax by c))/(sqrt(a^2 b^2)),
joka on huomattavasti yksinkertaisempi kuin edeltävä.
En kuitenkaan onnistunut johtamaan yhtälöäni noin helppoon muotoon. Miten olisi mahdollista saavuttaa kyseessä oleva muoto? Siis kuinka se on johdettu?
Vastaukset 6
Vanhimmat
http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance2-Dimensional.html
Olkoon l: ax by c = 0, missä a ja b erisuuria kuin nolla. Olkoon P0(x0, y0) eräs piste.
Tällöin n = ai bj on suoran l eräs normaalivektori. Pisteen p0 etäisyys suorasta l on pisteen P0 ja sen suoralla l olevan projektiopisteen P1(x1,y1) välinen etäisyys.
1) Piste P0 ei ole suoralla l.
Merk. v = P1P0 = (x0 - x1)i (y0 - y1)j. Jolloin v erisuuri kuin nolla ja etäisyys |v|.
Pistetulon määritelmästä seuraa: n . v = |n||v| cos(n, v).
| n . v | = ||n||v| cos (n, v)|
v || n (n, v) = 0 tai pii, joten
| cos ( n, v) | = 1.
| n . v | = |n||v||cos (n, v)|
| n . v | = |n||v|
|v| = |n . v| / |n|
n = ai bj, v = (x0 - x1)i (y0 - y1)j.
= | a(x0 - x1) b(y0 - y1) | / sqrt(a^2 b^2)
= | ax0 - ax1 by0 - by1 | / sqrt(a^2 b^2)
Piste (x1, y1) suoralla l, on ax1 by1 c = 0 missä c = -ax1 - by1.
= | ax0 by0 c |
2) Jos piste P0(x0, y0) on suoralla l, sen etäisyys suorasta on nolla. Intuitiivisesti tämä asia pitää paikkansa mutta analyyttisesti tämä saadaan todistettua edellä todistetusta yhtälöstä:
d = |ax0 by0 c| / sqrt(a^2 b^2)
= |0| / sqrt(a^2 b^2) = 0.
Q.E.D
...todistuksen ymmärtämiseen voi mennä vähän aikaa mutta tässä on huomioitava että kuvan piirtäminen tilanteesta on erittäin selventävää. :)
Kiitos vastauksista.
Tosi hyvää luettavaa, kuin suoraan oppikirjasta. Mistä tyyli?
Voisitko kertoa jotain matematiikasta Joensuussa, leikin ajatuksella jatkaa siellä opintoja. ^^
Tyyli on oikeastaan tullut suoraan yliopistomaailmasta. Siellä tätä hyvinkin oppikirjamaista todistelua kun harrastetaan niin paljon että opiskelijat ovat kurkkuaan myöten täynnä sitä.
Joensuun yliopist on ihan hieno paikka opiskelupaikkana. Suurin osa opettajista osaa selittää asiat selkeästi ja ymmärrettävästi mikäli hallitsee pohjatiedot. Laskuharjoitustehtävät ovat yleensä haastavia, riippuen tietenkin kurssista.
Lisäksi ainejärjestöllämme on mukava kahvitila jossa on mukava rustailla laskuharjoituksia kun ei ole luentoja tai muuta ohjelmaa :)
Pääseekö matematiikan opiskelija gradun jälkeen muuhunkin kuin opetustöihin Suomessa? Mitä itse aiot?
Kiitos avusta ja tiedoista :)