äärettömyyksistä?

Rudy Rucker: Mieli ja äärettömyys
http://www.tsv.fi/ttapaht/998/pekonen.htm

Ote Osmo Pekosen tekemästä kirja-arvostelusta:

"Todellisuudessa erilaisia äärettömyyden käsitteitä on kuitenkin olemassa ääretön määrä, ja jopa äärettömän monella tavalla ääretön määrä. Ruckerin teoksessa esitellään mm. transfiniittiset ordinaalit ja kardinaalit; surreaaliset ja hyperreaaliset luvut; saavuttamattomat, hypersaavuttamattomat ja superhypersaavuttamattomat kardinaaliluvut eli Mahlo-kardinaaliluvut; kuvailemattomat kardinaaliluvut, jakokardinaaliluvut, Ramsey-kardinaaliluvut, mitalliset kardinaaliluvut, vahvasti kompaktit ja superkompaktit kardinaaliluvut sekä laajennettavat kardinaaliluvut. Lukijan valtaa vähitellen eksistentiaalinen huimaus, vertigo. Laajoine lähdeviitteineen tässä on kirja, johon voisi uppoutua koko elämän ajaksi."

Harvinaisen mielenkiintoinen luku kirjassa on kohta, jossa Rucker kuvaa tapaamistaan itsensä Kurt Gödelin kanssa...

Otetaan joukko A. Nyt joukon A sanotaan olevan (Dedekind-) ääretön jos A:n aidolta osajoukolta on bijektio A:lle. Esimerkiksi jos valitaan joukoksi luonnolliset luvut N, niin voidaan tehdä kuvaus joukolta {2,3,...} ( = N \ {1} \subset N) joukolle {1,2,3,...} asettamalla f(x) = x-1, joka on selvästi bijektio. Täten A on ääretön joukko.

Seuraavaksi määritellään, että joukoilla A ja B on sama kardinaliteetti jos A:lta on B:lle bijektiivinen kuvaus f:A -> B. Edellä siis joukoilla N ja N\{1} on sama kardinaliteetti, ja esim. joukoilla A={1,2,3} ja B={1,a,b} on sama kardinaliteetti jne.

Ole nyt tarkkana käsitteiden kanssa!

Koska matemaattinen osaamisesi vaikuttaa edellisten viestien perusteella hajanaiselta, niin lue edellinen kappale niin, että ymmärrät sen täysin. Esim. wikipediasta löytyy bijektion käsitteelle selitys.

Seuraavaksi tarvitaan potenssijoukon käsitettä. Joukon A potenssijoukko P(A) on kaikkien A:n *osajoukkojen joukko*. Eli esim. jos A={1,2,3}, niin A:n potenssijoukko P(A) = { {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}, {} }.

Tutkitaan nyt luonnollisten lukujen joukkoa N. Nyt N on edellä todettu äärettömäksi ja myös P(N) voidaan todeta. Kysymys kuuluukin nyt, että ovatko N ja P(N) samaa kardinalitettia, eli voidaanko näiden kahden äärettömän joukon välille luoda bijektio?

No, kokeillaan miten kävisi. Oletetaan, että on olemassa bijektiivinen kuvaus f:N->P(N). Nyt jokaista luonnollista lukua vastaa jokin luonnollisten lukujen osajoukko, eli jokainen luku kuvautuu joukolle lukuja. Merkitään nyt A_i:llä sitä joukkoa, jolle luku i kuvautuu ja muodostetaan joukko B={i | i \notin A_i}, eli määritellään joukko, jonka alkioina ovat ne luvut, jotka kuvautuvat sellaiselle joukolle, minkä alkioina ne eivät ole. (Tämä vaihe on tietynlainen "mind-twister". Oletetaan, että f olisi em. bijektio, jossa esim. 1 -> {1,2} ja 2 -> {3,4}. Tällöin 1 ei kuuluisi joukkoon B, koska 1 \in A_1, mutta 2 kuuluisi, koska 2 ei kuulu joukkoon {3,4}. )

Nyt huomataan, että B on luonnollisten lukujen osajoukko, eli B kuuluu joukkoon P(N) ja tällöin f:n pitää oletuksen mukaan kuvata jokin alkio k joukolle B. Nyt on kaksi vaihtoehtoa, joko k kuuluu joukkoon B tai sitten ei. Jos k kuuluu joukkoon B, niin k kuvautuu joukolle, jonka alkio se on ja tällöinhän sen ei pitäisi B:n konstruktion mukaan kuulua joukkoon B ja päädytään ristiriitaan. Jos k taas ei kuulu joukkoon B, niin se ei kuvaudu joukolle, jonka alkio se on, jolloin sen pitäisi kuulua joukkoon B ja päädytään taas ristiriitaan.

Tästä voidaan päätellä, että oletus bijektiivisen kuvauksen f:N->P(N) olemassaolosta johtaa ristiriitaan ja sitä ei voi siis olla olemassa. Kuitenkin sekä N ja P(N) ovat äärettömiä ja voidaan päätellä, että on olemassa "erilaisia" tai "eri kokoisia" äärettömyyksiä.


Esitettyä päättelyä voidaan myös yleistää.