Hei,
Tarkastellaan ellipsiä x^2/a^2 y^2/b^2 = 1 (origokeskinen, puoliakselit a ja b)
Olkoon P ellipsin piste, jonka eksentrinen anomalia on luku t. Olkoot P' = (a cos t, a sin t) ja P'' = (b cos t, b sin t) apuympyröiden pisteet, joilla napakulma on t.
Kysymys kuuluu:
Miksi apuympyrän pisteeseen P' piirretty tangentti leikkaa x-akselin pisteessä Q = (a/cos t, 0) ja toisen apuympyrän pisteeseen P'' piirretty tangentti y-akselin pisteessä R = (0, b/sin t)?
Eli en ymmärrä, miten on saatu selville kyseisten apuympyröiden pisteisiin P' ja P'' piirrettyjen tangenttien leikkauspisteet x- ja y-akselin kanssa!
Kiitos avusta jo etukäteen!
Tarkastellaan ellipsiä x^2/a^2 y^2/b^2 = 1 (origokeskinen, puoliakselit a ja b)
Olkoon P ellipsin piste, jonka eksentrinen anomalia on luku t. Olkoot P' = (a cos t, a sin t) ja P'' = (b cos t, b sin t) apuympyröiden pisteet, joilla napakulma on t.
Kysymys kuuluu:
Miksi apuympyrän pisteeseen P' piirretty tangentti leikkaa x-akselin pisteessä Q = (a/cos t, 0) ja toisen apuympyrän pisteeseen P'' piirretty tangentti y-akselin pisteessä R = (0, b/sin t)?
Eli en ymmärrä, miten on saatu selville kyseisten apuympyröiden pisteisiin P' ja P'' piirrettyjen tangenttien leikkauspisteet x- ja y-akselin kanssa!
Kiitos avusta jo etukäteen!
Vastaukset 9
Vanhimmat
siinä suorakulma vaihtuu tangentin ja a:n väliin joten cost=a/x, josta x=a/cost
http://matta.hut.fi/matta2/cabri/ellipsi2.html
ne tangentit tulevat tuossa pisteisiin A ja B
piirtämällä ne siihen, leikkauspisteet saadaan yksinkertaisella trigonometrialla niinkuin tuossa edellä on esitetty
Laskurutiinin puutetta, kun ei huomaa tällaisia asioita. Nyt, kun kerroit vastauksen se tuntuukin niin itsestään selvältä...
Tuohan onkin hyvä sivusto.
Olipa hyvä ,että aukaisin.
Alkuperäiseen liittyvä lisäkysymys:
Olkoon piste P = (x',y'), jokin sellainen ellipsin piste, joka ei ole pääakselilla. Yhtälö
y-y' = -(b^2*x')/(a^2*y') *(x-x')
antaa pisteeseen P piirretyn tangentin.
Voisiko joku selittää, mistä kyseisen yhtälön -(b^2*x')/(a^2*y') tulee? Mielestäni sen pitäisi olla tangentin kulmakerroin, mutta miten se on saatu tuollaiseen muotoon?
Opiskelen juuri Rosenbergin Geometrian kirjaa sivulta 15. Käyttämäni merkinnät poikkeavat hieman kirjassa käytetyistä.
-(b^2*x')/(a^2*y') = osoittajana b toiseen kertaa x' ja nimittäjänä a toiseen kertaa y'
Kiitoksia jo etukäteen, jos joku vaivautuu auttamaan!
Se on saatu tuon ellipsin yhtälön differentiaalista
(2x/a^2)dx (2y/b^2)dy=0
dy/dx=-(b^2*x)/(a^2*y)
teoria on vähän hukassa.....
Eikä se teoria ihan vähän hukassa ollutkaan..
Tuohon ellipsin yhtälöön pitää tehdä implisiittinen derivointi.
Siitä löytyy tietoa googlettamalla tuolla hakusanalla vaikka kuinka paljon netistä.
(2x/a^2) (2y/b^2)*(y :n derivaatta)=0.
Tuosta ratkaistaan (y:n derivaatta),joka on siis sama kuin se tangentin kulmakerroin.
Kiitos vinkeistä, täytyy tutustua aiheeseen. Osaisiko joku sanoa, saako kyseisen kaavan johdettua ilman differentiaalilaskentaa?
ratkaistaan y ellipsin yhtälöstä
y=SQRT(b^2-(b^2*x^2/a^2))
merkitään tuota lauseketta selvyyden vuoksi M
eli y=M
tuon derivaatta on
(-2x*b^2)/(2a^2*M)
uudelleen sijoitetaan M=y
derivaataksi tulee
-(b^2*x)/(a^2*y)
siis ihan normaali derivointi.Kynällä ja paperilla tehtynä näyttää selvemmältä