n-ulotteiset kappaleet

"Yleisesti ottaen teoreemia ja konsepteja kannattaa yleistää, kun se on mahdollista, vaikka yleistyksille ei olisikaan äkkiä keksittävää käytännön sovelluksia."

No joo. Joskus kuitenkin yleisempi tapaus voi olla vaikeampi keksiä kuin erikoistapaus. Jos taas jonkun suuremman teoreeman todistamiseksi riittää todistaa heikompi tulos, niin siihen kannattaa tietenkin tyytyä ja viimeistellä julkaisu. Itse ainakin olen miettinyt gradua tehdessä yhtä ihan mielenkiintoista tulosta. Tiedän kuitenkin, että sen otaksuman erikoistapaus riittää todistamaan graduni pääväitteen. Aion kyllä tyytyä tuohon erikoistapauksen todistamiseen, ellen sitten yhtäkkiä saa valtavaa neronleimausta, sillä kivahan se olisi saada gradu valmiiksi äärellisessä ajassa. Ehtiihän niitä otaksumia miettiä myöhemminkin. Kuitenkin todistukset kannattaa tehdä niin yksinkertaisiksi kuin suinkin.

"Yksityiskohdat eivät kiinnosta minua, sillä en välitä sovelletusta matikasta ;)"

n-mitat voidaan määritellä ihan aksioomista lähtien, joten tuo ei ole ainakaan minun mielestä soveltavaa matikkaa. Kyllä todistukset olisi syytä tuntea, jotta tietää mihin vetoaa. Ainakin minä keksin n-ulotteisen pallon tilavuuden kaavan avulla jonkun toisen integraalin arvon, joten aina ei kannata vähätellä sovelluksien arvoa. Minä olen saanut moniin teoreettisiin todistuksiin ideoita juuri sovellusten ja erikoistapausten avulla.

mahtimatemaatikko kirjoitti:

"Yksityiskohdat eivät kiinnosta minua, sillä en välitä sovelletusta matikasta ;)"

n-mitat voidaan määritellä ihan aksioomista lähtien, joten tuo ei ole ainakaan minun mielestä soveltavaa matikkaa. Kyllä todistukset olisi syytä tuntea, jotta tietää mihin vetoaa. Ainakin minä keksin n-ulotteisen pallon tilavuuden kaavan avulla jonkun toisen integraalin arvon, joten aina ei kannata vähätellä sovelluksien arvoa. Minä olen saanut moniin teoreettisiin todistuksiin ideoita juuri sovellusten ja erikoistapausten avulla.

Lue lisää

... integraalikammoni on heikkous. Toki perehdyn sovelluksiin tarpeen vaatiessa. ;)

Mitä yleistämiseen tulee, tietenkään aina ei ole mielekästä yleistää, mutta halusin nostaa esiin, että joskus yleistetty teoreema voikin olla (paradoksaalisesti) helpompi todistaa kuin yksittäistapaus. Mikään nyrkkisääntö se ei tietenkään ole.

nkorppi kirjoitti:

... integraalikammoni on heikkous. Toki perehdyn sovelluksiin tarpeen vaatiessa. ;)

Mitä yleistämiseen tulee, tietenkään aina ei ole mielekästä yleistää, mutta halusin nostaa esiin, että joskus yleistetty teoreema voikin olla (paradoksaalisesti) helpompi todistaa kuin yksittäistapaus. Mikään nyrkkisääntö se ei tietenkään ole.

Lue lisää

Tuota tuota.

Sanoisin, että yleensä yksittäistapauksen todistaminen on huomattavasti hankalampaa kuin yleistetyn teoreeman.

T. Soveltaja

katsastelija kirjoitti:

Tuota tuota.

Sanoisin, että yleensä yksittäistapauksen todistaminen on huomattavasti hankalampaa kuin yleistetyn teoreeman.

T. Soveltaja

Jos pystyt todistamaan yleisen tapauksen, pystyt todistamaan yksittäistapauksenkin. Siten yksittäistapauksen todistaminen on korkeintaan yhtä vaikeaa kuin yleisen tapauksen todistaminen.

mahtimatemaatikko kirjoitti:

Jos pystyt todistamaan yleisen tapauksen, pystyt todistamaan yksittäistapauksenkin. Siten yksittäistapauksen todistaminen on korkeintaan yhtä vaikeaa kuin yleisen tapauksen todistaminen.

Lue lisää

... en ole tyhmä -- tottakai yksittäistapauksen todistukseen riittää yleistapauksen todistus.

Se mitä luonnollisesti tarkoitin on, että usein on helpompi todistaa sekä yksittäistapaus että yleistapaus yhtäaikaisesti kuin keskittyä yksittäistapaukseen.

Esim. Fermat'n suuren lauseen todistus onnistui käyttämällä Taniyama–Shimura Conjecturea, joka on varsin erilainen teoreema, ja selvästi yleisempi.

Toinen, jokapäiväisempi esimerkki löytyy sivun 5 alusta näissä Ramsey Teorian kurssin muistiinpanoissa: http://www.dpmms.cam.ac.uk/~par31/notes/ramsey.pdf . Kirjoittaja on ohjaajani Prof Imre Leader, yksi maailman parhaista Othellon pelaajista (http://en.wikipedia.org/wiki/Imre_Leader).

Induktio on tuossa helpompi toteuttaa, jos teemme sen k-värityksille yleensä, sen sijaan että tekisimme sen pelkille 2-värityksille.

mahtimatemaatikko kirjoitti:

Jos pystyt todistamaan yleisen tapauksen, pystyt todistamaan yksittäistapauksenkin. Siten yksittäistapauksen todistaminen on korkeintaan yhtä vaikeaa kuin yleisen tapauksen todistaminen.

Lue lisää

"yksittäistapauksen todistaminen on huomattavasti hankalampaa kuin yleistetyn teoreeman. "

Olkoon annettu oletukset A, erikoistapaus B ja yleinen tapaus C. Jos A:sta voidaan päätellä C tarvitsematta B:tä, B saadaan käymällä lävitse todistus A->C annetuilla alkuehdoilla, jolloin todistus A->B on korkeintaan yhtä vaikea kuin todistus A->C.

Jos väitettä A->C varten tarvitsee todistaa A->B ja B->C, on kysymys todistuksen vaikeudesta määrittelykysymys. Voidaanko erikoistapaus A->B olettaa tunnetuksi, jolloin väitteen A->C vaikeus on sama kuin todistuksen B->C, joka voi olla helpompi kuin todistuksen A->B? Vai lasketaanko yleisen tapauksen A->C todistamiseen myös erikoistapauksen A->B todistaminen, jolloin väitteen A->C vaikeus on vähintään samaa luokkaa kuin väitteen A->B todistaminen?

nkorppi kirjoitti:

... en ole tyhmä -- tottakai yksittäistapauksen todistukseen riittää yleistapauksen todistus.

Se mitä luonnollisesti tarkoitin on, että usein on helpompi todistaa sekä yksittäistapaus että yleistapaus yhtäaikaisesti kuin keskittyä yksittäistapaukseen.

Esim. Fermat'n suuren lauseen todistus onnistui käyttämällä Taniyama–Shimura Conjecturea, joka on varsin erilainen teoreema, ja selvästi yleisempi.

Toinen, jokapäiväisempi esimerkki löytyy sivun 5 alusta näissä Ramsey Teorian kurssin muistiinpanoissa: http://www.dpmms.cam.ac.uk/~par31/notes/ramsey.pdf . Kirjoittaja on ohjaajani Prof Imre Leader, yksi maailman parhaista Othellon pelaajista (http://en.wikipedia.org/wiki/Imre_Leader).

Induktio on tuossa helpompi toteuttaa, jos teemme sen k-värityksille yleensä, sen sijaan että tekisimme sen pelkille 2-värityksille.

Lue lisää

Tunnen toki van der Waerdenin lauseen todistuksen. Itsekin aikanaan hämmästyin todistusta opetellessa, miten vaikeamman tuntuinen väite auttoikin alkuperäisen lauseen todistuksessa

"... en ole tyhmä -- tottakai yksittäistapauksen todistukseen riittää yleistapauksen todistus. "

En kai ole väittänytkään sinua tyhmäksi?

mahtimatemaatikko kirjoitti:

"yksittäistapauksen todistaminen on huomattavasti hankalampaa kuin yleistetyn teoreeman. "

Olkoon annettu oletukset A, erikoistapaus B ja yleinen tapaus C. Jos A:sta voidaan päätellä C tarvitsematta B:tä, B saadaan käymällä lävitse todistus A->C annetuilla alkuehdoilla, jolloin todistus A->B on korkeintaan yhtä vaikea kuin todistus A->C.

Jos väitettä A->C varten tarvitsee todistaa A->B ja B->C, on kysymys todistuksen vaikeudesta määrittelykysymys. Voidaanko erikoistapaus A->B olettaa tunnetuksi, jolloin väitteen A->C vaikeus on sama kuin todistuksen B->C, joka voi olla helpompi kuin todistuksen A->B? Vai lasketaanko yleisen tapauksen A->C todistamiseen myös erikoistapauksen A->B todistaminen, jolloin väitteen A->C vaikeus on vähintään samaa luokkaa kuin väitteen A->B todistaminen?

Lue lisää

Tuota tuota taas. Valitsin kyllä sanani äärimmäisen väärin tuolla ylhäällä. Totta kai yleistäminen on yleensä "hankalampaa", sehän on itsestään selvä asia.

Mitähän minä oikein yritin sanoa - jaa-a... :)

mahtimatemaatikko kirjoitti:

Tunnen toki van der Waerdenin lauseen todistuksen. Itsekin aikanaan hämmästyin todistusta opetellessa, miten vaikeamman tuntuinen väite auttoikin alkuperäisen lauseen todistuksessa

"... en ole tyhmä -- tottakai yksittäistapauksen todistukseen riittää yleistapauksen todistus. "

En kai ole väittänytkään sinua tyhmäksi?

Lue lisää

... mutta matematiikka on kirjoitettuna usein tulkinnanvaraista, ja jos haettu tulkinta on jokseenkin selvä, tyydymme siihen. Matematiikka on tarkkaa, mutta ei robottimaista.

Ymmärrän tietysti, jos halusit oikaista mahdolliset väärinymmärrykset lukijoille. Toisaalta olisit voinut tällöin myös selventää oikean tulkinnan.

Katsastelija kirjoitti:

Tuota tuota taas. Valitsin kyllä sanani äärimmäisen väärin tuolla ylhäällä. Totta kai yleistäminen on yleensä "hankalampaa", sehän on itsestään selvä asia.

Mitähän minä oikein yritin sanoa - jaa-a... :)

Lue lisää

... näitä asioita:

1) Yleistäminen on hyödyllistä, sillä on yleensä helpompaa ja nopeampaa todistaa jotakin yleisesti kuin todistaa se erikseen jokaiselle yksittäistapaukselle.

2) Joskus on helpoin tapa todistaa yksittäistapaus on todistaa yleisempi teoreema (joka sisältää yksittäistapauksen).

Se, mitä tuskin tarkoitit oli virkkeesi kirjaimellinen tulkinta, tyyliin '100 euroa on helpompi tienata kuin 5 euroa'.

nkorppi kirjoitti:

... mutta matematiikka on kirjoitettuna usein tulkinnanvaraista, ja jos haettu tulkinta on jokseenkin selvä, tyydymme siihen. Matematiikka on tarkkaa, mutta ei robottimaista.

Ymmärrän tietysti, jos halusit oikaista mahdolliset väärinymmärrykset lukijoille. Toisaalta olisit voinut tällöin myös selventää oikean tulkinnan.

Lue lisää

"... mutta matematiikka on kirjoitettuna usein tulkinnanvaraista, ja jos haettu tulkinta on jokseenkin selvä, tyydymme siihen."

Jotkut tyytyy, jotkut ei. Matematiikassa yksikin väärä alaindeksi voi kaataa muuten loistavan todistuksen, joten ainakin minä pyrin tekemään matikkaa niin tarkasti kuin suinkin mahdollista. Ehkäpä siksi en olekaan kovanluokan matemaatikko, kun pyrin tarkastamaan jokaisen välivaiheen, vaikka silmäni eivät läheskään kaikkia virheitä huomaa. Enemmän saisin aikaan kun vaan porskuttaisin eteenpäin. Minusta aika moni todistus kunnolla tehtynä ei jätä mitään sattuman varaan olettaen, että ZFC on voimassa.

nkorppi kirjoitti:

... näitä asioita:

1) Yleistäminen on hyödyllistä, sillä on yleensä helpompaa ja nopeampaa todistaa jotakin yleisesti kuin todistaa se erikseen jokaiselle yksittäistapaukselle.

2) Joskus on helpoin tapa todistaa yksittäistapaus on todistaa yleisempi teoreema (joka sisältää yksittäistapauksen).

Se, mitä tuskin tarkoitit oli virkkeesi kirjaimellinen tulkinta, tyyliin '100 euroa on helpompi tienata kuin 5 euroa'.

Lue lisää

ja sitten vielä seuraavaa.

Monesti tielle "tupsahtanut" ongelma pitää mukanaan oletuksia, joista jotkut ovat ja toiset eivät ole relevantteja ongelman ratkaisemisen kannalta.

Uskallan jopa väittää, että monesti "käytännön" ongelmat eivät ole matemaattisesti kovin hyvin määriteltyjä - tässä mielessä yksittäistapauksen formuloimiseen "oikealla" tavalla menee enemmän aikaa kuin itse ongelman ratkaisemiseen.

1-tilavuus on pituus, 2-tilavuus on pinta-ala, 3-tilavuus on tilavuus, 4-tilavuus,..., k-tilavuus.

On ihan luonnollista jatkaa listaa eteenpäin, mutta on mielipidekysymys miksi asiaa nimittää. Tuota kuitenkin tarkoitettiin, ja on luonnollista valita suurinta fyysisen maailman suuruutta mittaava termi, mieluummin kuin vaikkapa 'k-pinta-ala' tai 'k-pituus'.

"Määrittele ensin määrittele ensin"tilavuus", niin sitten voimme määritellä onko sille mikäkin mahdollista. "tilavuus", niin sitten voimme määritellä onko sille mikäkin mahdollista."

Itse voisin olettaa matematiikasta kiinnostuneen lukiolaisen esittävän tällaisen kysymyksen. Onko tällöin järkevää vaatia kysyjää määrittelemään tilavuus, kun todennäköisesti asiasta enemmän tietävät voivat tulla vastaan ja kertoa mitä kysyjä luultavasti haluaa tietää? Tuskinpa (edes jonkin) tilavuuden määritelmän täsmällisesti tunteva kysyisi tällaista asiaa.

En ole kauheasti analyysiin perehtynyt, mutta kuvittelisin, että R^n:ssä kappaleen tilavuus määritellään sen n-ulotteisena Lebesguen mittana. Kappale siis oletetaan mitalliseksi.