alkuluvuista pihalla

tapaa. Ei ole mitään keinoa todistaa luku alkuluvuksi kuin jakaa se pienemmillä alkuluvuilla ja katsoa jakaantuuko se.

Alkulukuja etsitään nykyään tietokoneilla.

helppoa kirjoitti:

tapaa. Ei ole mitään keinoa todistaa luku alkuluvuksi kuin jakaa se pienemmillä alkuluvuilla ja katsoa jakaantuuko se.

Alkulukuja etsitään nykyään tietokoneilla.

Lue lisää

"Ei ole mitään keinoa todistaa luku alkuluvuksi kuin jakaa se pienemmillä alkuluvuilla ja katsoa jakaantuuko se. "

Väärin. Testejä on monia. Muun muassa Agrawalin–Kayalin–Saxenan alkulukutesti ja Lucasin–Lehmerin testi.

Jos meinaat mennä korottamaan matikan arvosanaa, ei alkulukujen opettelulla pitkälle pötkitä. MAOL-taulukoista löydät lukujen 1,...,999 alkutekijähajotelmat ja niillä pärjää. Kannattaa ennemminkin laskea paljon vanhoja YO-kokeita, sillä ne kuvaavat paremmin sitä, mikä on lukiossa olennaista oppia ja mikä ei.

mahtimatemaatikko kirjoitti:

Jos meinaat mennä korottamaan matikan arvosanaa, ei alkulukujen opettelulla pitkälle pötkitä. MAOL-taulukoista löydät lukujen 1,...,999 alkutekijähajotelmat ja niillä pärjää. Kannattaa ennemminkin laskea paljon vanhoja YO-kokeita, sillä ne kuvaavat paremmin sitä, mikä on lukiossa olennaista oppia ja mikä ei.

Lue lisää

Olen kirjoittanut lyhyen matematiikan, koska en uskonut itseeni osa pitkänmatematiikan kursseista tuli suoritettua huonoin arvosanoin ja osaaa ei ollenkaan. Tarkoitus on nyt suorittaa laajan matematiikan kurssit. Mutta teinpä nyt sitten aika tylsän virheen,kun jäin noita alkulukuja tankkaamaan. Oletin,että ne jollain tavalla olisi hyvä hallita,kun oppikirja niillä aloitetaan. Nuo hajonnat ei vissiin näihin alkulukuihin liity ollenkaan. Helpotti tietää ettei noita tarvitse tietää ja voi hyvillä mielin luovuttaa.;)

ylioppilas 02 kirjoitti:

Olen kirjoittanut lyhyen matematiikan, koska en uskonut itseeni osa pitkänmatematiikan kursseista tuli suoritettua huonoin arvosanoin ja osaaa ei ollenkaan. Tarkoitus on nyt suorittaa laajan matematiikan kurssit. Mutta teinpä nyt sitten aika tylsän virheen,kun jäin noita alkulukuja tankkaamaan. Oletin,että ne jollain tavalla olisi hyvä hallita,kun oppikirja niillä aloitetaan. Nuo hajonnat ei vissiin näihin alkulukuihin liity ollenkaan. Helpotti tietää ettei noita tarvitse tietää ja voi hyvillä mielin luovuttaa.;)

Lue lisää

Ups,kirjoititkin alkulukuhajonta. No pitäämä tutustua MAOL:in siihen osuuteen.

ylioppilas 02 kirjoitti:

Ups,kirjoititkin alkulukuhajonta. No pitäämä tutustua MAOL:in siihen osuuteen.

tuo taulukkohan on todella yksinkertainen. Ei tarvitse edes laskea. Eli vastaus oli seuraava alkuluku on 1993, mutta sitä ei periaatteessa tarvitsisi määrittää vaan kirjan tekijät ovat käsitelleet nämä alkuluvut hiukan liian peusteellisesti. Kiitoksia paljon avusta. nyt siirrynkin sitten ensimmäisen asteen yhtälöön. Olipa helpotus.Phuh!

Tuollaista tuskin kysytään kokeessa, mutta jos haluaisit löytää 1987 seuraavan alkuluvun, käy lukuja läpi näin:

Parilliset luvut voi ohittaa.

1989-luvun numeroiden summa on jaollinen 3:lla, joten 1989 on jaollinen 3:lla.

1991-luvun numeroiden alternoiva summa (1-9 9-1) on jaollinen 11:sta, joten 1991 on jaollinen 11:sta.

1993:n neliöjuuri on 44.643, joten jos jakaja löytyy, yksi niistä on 43 tai pienempi pariton luku.

Kokeillaan: 3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43 eivät ole jakajia (ja ohitamme myös kaikki näiden monikerrat). Siispä 1993 on alkuluku.

nkorppi kirjoitti:

Tuollaista tuskin kysytään kokeessa, mutta jos haluaisit löytää 1987 seuraavan alkuluvun, käy lukuja läpi näin:

Parilliset luvut voi ohittaa.

1989-luvun numeroiden summa on jaollinen 3:lla, joten 1989 on jaollinen 3:lla.

1991-luvun numeroiden alternoiva summa (1-9 9-1) on jaollinen 11:sta, joten 1991 on jaollinen 11:sta.

1993:n neliöjuuri on 44.643, joten jos jakaja löytyy, yksi niistä on 43 tai pienempi pariton luku.

Kokeillaan: 3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43 eivät ole jakajia (ja ohitamme myös kaikki näiden monikerrat). Siispä 1993 on alkuluku.

Lue lisää

En nyt sitten alkanut niin perusteelliseti noita alkuluja enää tankkaamaan, kun olikin näköjään ekstraa. Opinpahan olemaan kriittinen oppikirjojen suhteen,että esimerkitkään eivät välttämättä ole oleellisia ja kannattaa tutkia useampia lähteitä. Mutta en nyt usko vaivannäön kokonaan meneen hukkaaan,koska ihna hyvä noiden lukujen tutkimen varmaan on. ymmärtämisen kannalta jne. Mutta vastaisuudessa vältän tämän kaltaisia "ekstroja". Otan nyt tuon sinun kirjoituksesi kuitenkin talteen,jos joskus sitä tulevaisuudessa tarvitsisin.

Aritmetiikan fundamentaaliin teoreemaan, eli että jokaisella yhtä suuremmalla kokonaisluvulla n on ainutkertainen esitys muodossa n= p_1^r_1*...*p_k^r_k, missä p_1,...,p_k ovat alkulukuja.

Siispä, jos luku ei itsessään ole alkuluku, se on jaollinen sellaisella. Näin ollen riittää, että käymme läpi neliöjuuri(n):ää pienemmät alkuluvut.

Miksi neliöjuuri(n)? Oleta, että n=a*b, ja a,b>neliöjuuri(n). Mutta tällöin a*b > n . Tämä on kontradiktio, joten jos jakaja löytyy, yksi niistä on pienempi kuin neliöjuuri(n).

ylioppilas 02 kirjoitti:

En nyt sitten alkanut niin perusteelliseti noita alkuluja enää tankkaamaan, kun olikin näköjään ekstraa. Opinpahan olemaan kriittinen oppikirjojen suhteen,että esimerkitkään eivät välttämättä ole oleellisia ja kannattaa tutkia useampia lähteitä. Mutta en nyt usko vaivannäön kokonaan meneen hukkaaan,koska ihna hyvä noiden lukujen tutkimen varmaan on. ymmärtämisen kannalta jne. Mutta vastaisuudessa vältän tämän kaltaisia "ekstroja". Otan nyt tuon sinun kirjoituksesi kuitenkin talteen,jos joskus sitä tulevaisuudessa tarvitsisin.

Lue lisää

Mielestäni jokaisen ylioppilaan tulee ymmärtää perusasiat alkuluvuista. Se ei ole mitään ekstraa, vaan aivan perusasioita ja yleissivistystä.

Ne ovat myös erittäin oleellisia perusasioita, sillä jos et ymmärrä lukujen perusominaisuuksia, on vaikea myöhemmin opetella vähänkään pidemmälle menevää matikkaa (esim. ryhmäteoriaa ja muuta algebraa). Numeroteoria menee päällekkäin usean eri matikan alueen kanssa: algebra, kryptografia, kommunikaatioteoria ja jopa kombinatoriikka.

Huomaa, että esim. algebraa sovelletaan lähes kaikkeen matikkaan, eli epäsuorasti numeroteoria tarjoaa jotain melkein kaikkeen.

Vaikka kokeessa ei kysyttäisi seuraavaa alkulukua 1987 jälkeen, jokaisen ylioppilaan pitäisi se osata tehdä. Lyhyen matikan kurssilla moinen helppo perustehtävä on sitä paitsi hyvinkin mahdollinen.

nkorppi kirjoitti:

Aritmetiikan fundamentaaliin teoreemaan, eli että jokaisella yhtä suuremmalla kokonaisluvulla n on ainutkertainen esitys muodossa n= p_1^r_1*...*p_k^r_k, missä p_1,...,p_k ovat alkulukuja.

Siispä, jos luku ei itsessään ole alkuluku, se on jaollinen sellaisella. Näin ollen riittää, että käymme läpi neliöjuuri(n):ää pienemmät alkuluvut.

Miksi neliöjuuri(n)? Oleta, että n=a*b, ja a,b>neliöjuuri(n). Mutta tällöin a*b > n . Tämä on kontradiktio, joten jos jakaja löytyy, yksi niistä on pienempi kuin neliöjuuri(n).

Lue lisää

Ootte niin fiksuja. Usko näiden matematiikan osa-aluiden oppimiseen alkaa hiipua. Ei vielä selvinneet nuo laskut ensimmäisen asteen yhtälöstä, toivottavasti selviävät. Täytyy sanoa,että tuo seuraava meni täysin yli hilsee.

nkorppi kirjoitti:

Mielestäni jokaisen ylioppilaan tulee ymmärtää perusasiat alkuluvuista. Se ei ole mitään ekstraa, vaan aivan perusasioita ja yleissivistystä.

Ne ovat myös erittäin oleellisia perusasioita, sillä jos et ymmärrä lukujen perusominaisuuksia, on vaikea myöhemmin opetella vähänkään pidemmälle menevää matikkaa (esim. ryhmäteoriaa ja muuta algebraa). Numeroteoria menee päällekkäin usean eri matikan alueen kanssa: algebra, kryptografia, kommunikaatioteoria ja jopa kombinatoriikka.

Huomaa, että esim. algebraa sovelletaan lähes kaikkeen matikkaan, eli epäsuorasti numeroteoria tarjoaa jotain melkein kaikkeen.

Vaikka kokeessa ei kysyttäisi seuraavaa alkulukua 1987 jälkeen, jokaisen ylioppilaan pitäisi se osata tehdä. Lyhyen matikan kurssilla moinen helppo perustehtävä on sitä paitsi hyvinkin mahdollinen.

Lue lisää

Miksi kaikkien tarvitsisi opiskella lukuteoriaa (number theory=lukuteoria, ei numeroteoria), algebraa tai kombinatoriikkaa? En oikein tykkää tuosta asenteestasi "Koska minä rakastan matematiikkaa, kaikkien muidenkin on rakastettava". Monenlaisia ihmisiä tarvitaan ja kyllä minusta ensimmäisen asteen yhtälöt ovat tärkeämpiä maallikolle kuin alkuluvut. Moni sukulaiseni ei osaa derivoida funktiota e^(sin x), mutta heillä on hyvä työpaikka ja pärjäävät elämässä siinä missä matemaatikotkin.

nkorppi kirjoitti:

Mielestäni jokaisen ylioppilaan tulee ymmärtää perusasiat alkuluvuista. Se ei ole mitään ekstraa, vaan aivan perusasioita ja yleissivistystä.

Ne ovat myös erittäin oleellisia perusasioita, sillä jos et ymmärrä lukujen perusominaisuuksia, on vaikea myöhemmin opetella vähänkään pidemmälle menevää matikkaa (esim. ryhmäteoriaa ja muuta algebraa). Numeroteoria menee päällekkäin usean eri matikan alueen kanssa: algebra, kryptografia, kommunikaatioteoria ja jopa kombinatoriikka.

Huomaa, että esim. algebraa sovelletaan lähes kaikkeen matikkaan, eli epäsuorasti numeroteoria tarjoaa jotain melkein kaikkeen.

Vaikka kokeessa ei kysyttäisi seuraavaa alkulukua 1987 jälkeen, jokaisen ylioppilaan pitäisi se osata tehdä. Lyhyen matikan kurssilla moinen helppo perustehtävä on sitä paitsi hyvinkin mahdollinen.

Lue lisää

Pitkän matematiikan oppimäärää olen nyt opiskelemassa. Tuossa oli kyllä sellaisia laskutoimituksia ja sanoja joista en ymmärtänyt yhtään mitään. Ja ei kai pitkän matematiikan suorittaneelta voida olettaa Eratostheneen seulaa,Lucas-Lehmerin testejä yms. hallitsevan (nimetkin muuten lunttaisin). Tarkoitukseni ei kuitenkaan ole suorittaa matematiikkaa laudatur arvosanoin,koska tiedän etten siihen pysty. Kaikea en voi siis hallita,eikä varmaan moni muukaan. Silti en näe syytä heittää pyyhettä kehään. Varmasti matematiikan opiskelusta on hyötyä vaikkei 10 ja laudatur-arvosanoihin pääsisikään.

ylioppilas 02 kirjoitti:

Ootte niin fiksuja. Usko näiden matematiikan osa-aluiden oppimiseen alkaa hiipua. Ei vielä selvinneet nuo laskut ensimmäisen asteen yhtälöstä, toivottavasti selviävät. Täytyy sanoa,että tuo seuraava meni täysin yli hilsee.

Lue lisää

Moi!

Matikka on suhteellisen helppoa, etenkin lyhyt sellainen. Voin käydä ekan asteen yhtälöt läpi samalla.

Yritetäänpäs alusta: alkuluku on jaoton yhtä suurempi kokonaisluku. Jokainen yhtä suurempi kokonaisluku n voidaan kirjoittaa alkulukujen tulona (ja yhdellä tavalla).

Esim. 18 = 3*3*2.

Siispä, jos luku ei ole alkuluku, se on jaollinen alkuluvulla.

Jos jakaja löytyy, joku niistä on korkeintaan yhtä suuri kuin kuin neliöjuuri(n).

Todistus: Oletetaan, että kaikki jakajat ovat suurempia kuin njuuri(n), eli n=a*b, missä a,b > njuuri(n). Tällöin a*b> njuuri(n)*njuuri(n) = n. Mutta n=a*b ! Siispä oletuksemme oli väärä. QED

Eli riittää, että yrität jakaa luvun alkuluvuilla, jotka ovat korkeintaan njuuri(n).

***

Ekan asteen yhtälö on muotoa

ax b = cx d

Voimme vähentää, jakaa tai kertoa yhtälön molemmat puolet millä tahansa (paitsi että nollalla ei saa jakaa). x-termejä lasketaan kuin mitä tahansa lukuja, mutta x-termit on pidettävä erillään vakiotermeistä. Esim. (x 3) (x 5) = 2x 8.

Vähennämme cx molemmilta puolilta.

(a-c)x b = d

Vähennämme b molemmilta puolilta.

(a-c)x = d-b

Jos a-c = 0, tarkistamme (d-b):n arvon. Jos d-b=0, on selvää että mikä tahansa x käy ratkaisuksi. Muutoin ratkaisuja ei ole.

Jos a-c ei ole 0, jaamme molemmat puolet sillä.

x = (d-b)/(a-c).

Siinä kaikki ekan asteen yhtälöistä!

yks opiskelija kirjoitti:

Miksi kaikkien tarvitsisi opiskella lukuteoriaa (number theory=lukuteoria, ei numeroteoria), algebraa tai kombinatoriikkaa? En oikein tykkää tuosta asenteestasi "Koska minä rakastan matematiikkaa, kaikkien muidenkin on rakastettava". Monenlaisia ihmisiä tarvitaan ja kyllä minusta ensimmäisen asteen yhtälöt ovat tärkeämpiä maallikolle kuin alkuluvut. Moni sukulaiseni ei osaa derivoida funktiota e^(sin x), mutta heillä on hyvä työpaikka ja pärjäävät elämässä siinä missä matemaatikotkin.

Lue lisää

Ei tarvitse osata numeroteoriaa, mutta yleissivistys on oltava. On tiedettävä perusteet siitä, mikä alkuluku on ja miksi niillä on erikoisasema muihin kokonaislukuihin verrattuna.

Mitään hienoja alkulukutestejä ei tarvitse tuntea.

Matikasta ei tarvitse pitää, mutta silloin ei kannattane kirjoittaa pitkää matikkaa lukiossa. Tosin lyhyenkin matematiikan käynyt tietää mikä on alkuluku.

Minäkin pärjäisin elämässä ok tietämättä mitään historiasta, biologiasta tai kosmoksesta. Mutta haluan yleissivistyksen, jotta voin puhua muustakin kuin oluenjuonnista ystävieni kanssa.

Yleissivistyksestä on sekin hyöty, että sen omaavaa henkilöä on vaikeampi huijata elämässä.

ylioppilas 02 kirjoitti:

Pitkän matematiikan oppimäärää olen nyt opiskelemassa. Tuossa oli kyllä sellaisia laskutoimituksia ja sanoja joista en ymmärtänyt yhtään mitään. Ja ei kai pitkän matematiikan suorittaneelta voida olettaa Eratostheneen seulaa,Lucas-Lehmerin testejä yms. hallitsevan (nimetkin muuten lunttaisin). Tarkoitukseni ei kuitenkaan ole suorittaa matematiikkaa laudatur arvosanoin,koska tiedän etten siihen pysty. Kaikea en voi siis hallita,eikä varmaan moni muukaan. Silti en näe syytä heittää pyyhettä kehään. Varmasti matematiikan opiskelusta on hyötyä vaikkei 10 ja laudatur-arvosanoihin pääsisikään.

Lue lisää

Eratostheneen seulaa, Lucas-Lehmerin testejä yms. ei tarvitse tuntea, eikä niitä tule käytettyä juuri missään. Ne eivät ole olennaisia, mutta toki havainnollistavat jotakin.

nkorppi kirjoitti:

Moi!

Matikka on suhteellisen helppoa, etenkin lyhyt sellainen. Voin käydä ekan asteen yhtälöt läpi samalla.

Yritetäänpäs alusta: alkuluku on jaoton yhtä suurempi kokonaisluku. Jokainen yhtä suurempi kokonaisluku n voidaan kirjoittaa alkulukujen tulona (ja yhdellä tavalla).

Esim. 18 = 3*3*2.

Siispä, jos luku ei ole alkuluku, se on jaollinen alkuluvulla.

Jos jakaja löytyy, joku niistä on korkeintaan yhtä suuri kuin kuin neliöjuuri(n).

Todistus: Oletetaan, että kaikki jakajat ovat suurempia kuin njuuri(n), eli n=a*b, missä a,b > njuuri(n). Tällöin a*b> njuuri(n)*njuuri(n) = n. Mutta n=a*b ! Siispä oletuksemme oli väärä. QED

Eli riittää, että yrität jakaa luvun alkuluvuilla, jotka ovat korkeintaan njuuri(n).

***

Ekan asteen yhtälö on muotoa

ax b = cx d

Voimme vähentää, jakaa tai kertoa yhtälön molemmat puolet millä tahansa (paitsi että nollalla ei saa jakaa). x-termejä lasketaan kuin mitä tahansa lukuja, mutta x-termit on pidettävä erillään vakiotermeistä. Esim. (x 3) (x 5) = 2x 8.

Vähennämme cx molemmilta puolilta.

(a-c)x b = d

Vähennämme b molemmilta puolilta.

(a-c)x = d-b

Jos a-c = 0, tarkistamme (d-b):n arvon. Jos d-b=0, on selvää että mikä tahansa x käy ratkaisuksi. Muutoin ratkaisuja ei ole.

Jos a-c ei ole 0, jaamme molemmat puolet sillä.

x = (d-b)/(a-c).

Siinä kaikki ekan asteen yhtälöistä!

Lue lisää

Ylioppilas kirjoituksissa olen suorittanut lyhyen matematiikan oppimäärän,opiskellut pitkää matematiikkaa 4 kurssia ja lyhyttä vaaditavan määrän. Nyt olisi siis tarkoitus kerrata nuo neljä kurssia ja opiskella loputkin laajaan matematiikkaan kuuluvat. Ei ole kysymys siitä,että inhoasin matematiikkaa vaikka varmasti nkorppi siitä enemmän pitää. Vaan siitä,että nkorppi on matemaattisesti todella lahjakas ja minä en ole. Nkorpille nuo laskut ovatkin varmasti lapselisen helppoja,mutta minulta niihin menee vähän aikaa. Ja matemaatikkoa minusta ei tule,joskin alalle missä matematiikkaa tarvitaan olen hakemassa opiskelemaan. Ja nyt en pysty keskusteluun heti vastaamaan,kun perehdyn noihin nkorpin antamiin asioihin.

ylioppilas 02 kirjoitti:

Ylioppilas kirjoituksissa olen suorittanut lyhyen matematiikan oppimäärän,opiskellut pitkää matematiikkaa 4 kurssia ja lyhyttä vaaditavan määrän. Nyt olisi siis tarkoitus kerrata nuo neljä kurssia ja opiskella loputkin laajaan matematiikkaan kuuluvat. Ei ole kysymys siitä,että inhoasin matematiikkaa vaikka varmasti nkorppi siitä enemmän pitää. Vaan siitä,että nkorppi on matemaattisesti todella lahjakas ja minä en ole. Nkorpille nuo laskut ovatkin varmasti lapselisen helppoja,mutta minulta niihin menee vähän aikaa. Ja matemaatikkoa minusta ei tule,joskin alalle missä matematiikkaa tarvitaan olen hakemassa opiskelemaan. Ja nyt en pysty keskusteluun heti vastaamaan,kun perehdyn noihin nkorpin antamiin asioihin.

Lue lisää

... olla matemaattisesti lahjakas oppiakseen perusasioita, tai edes nauttiakseen matikasta.

Pitkä matikka on Suomessa varsin alkeellisella ja mekaanisella tasolla. Mekaanisuus tosin vie hauskuutta pois.

Ei kannata myöskään antaa liian suurta arvoa hienolta kuulostaville nimille, kuten Erasthoteneen seula. Se ei ole merkki 'hienosta' tai edes vaikeasta matikasta.

Olen varma, että opit vaikkapa ekan asteen yhtälöt, eli älä anna periksi helpolla!

nkorppi kirjoitti:

... olla matemaattisesti lahjakas oppiakseen perusasioita, tai edes nauttiakseen matikasta.

Pitkä matikka on Suomessa varsin alkeellisella ja mekaanisella tasolla. Mekaanisuus tosin vie hauskuutta pois.

Ei kannata myöskään antaa liian suurta arvoa hienolta kuulostaville nimille, kuten Erasthoteneen seula. Se ei ole merkki 'hienosta' tai edes vaikeasta matikasta.

Olen varma, että opit vaikkapa ekan asteen yhtälöt, eli älä anna periksi helpolla!

Lue lisää

Kiitos nyt tuo ensimmäisen asteen yhtälö taisi selvitä. lasken nyt vielä paljon siihen liittyviä laskuja jotta varmasti osaan sen kunnolla. Mutta nuo alkuluvut ovat edelleen aivan ihmeellisiä ja en ymmärtänyt Eratostheneen seulasta, Lucas-Lehnerin testistä,noista huutomerkeistä,tähdistä,suluista yhtään mitään. Jotain toki noista alkuluvuista selvisi.Mutta noihin alkulukuihin olen jo käyttänyt monta päivää.kannattaisi varmaan keskityä tärkeämpiin. Mutta nyt ryhdyn laskemaan niitä ensimmäisen asteen yhtälö tehtäviä.

nkorppi kirjoitti:

Ei tarvitse osata numeroteoriaa, mutta yleissivistys on oltava. On tiedettävä perusteet siitä, mikä alkuluku on ja miksi niillä on erikoisasema muihin kokonaislukuihin verrattuna.

Mitään hienoja alkulukutestejä ei tarvitse tuntea.

Matikasta ei tarvitse pitää, mutta silloin ei kannattane kirjoittaa pitkää matikkaa lukiossa. Tosin lyhyenkin matematiikan käynyt tietää mikä on alkuluku.

Minäkin pärjäisin elämässä ok tietämättä mitään historiasta, biologiasta tai kosmoksesta. Mutta haluan yleissivistyksen, jotta voin puhua muustakin kuin oluenjuonnista ystävieni kanssa.

Yleissivistyksestä on sekin hyöty, että sen omaavaa henkilöä on vaikeampi huijata elämässä.

Lue lisää

En minä inhoa matematiikkaa. Mutta varmasti matemaatikot siitä enemmän pitävät. Pidän toisista osa-aluieista matematiikassa toisista en.

ylioppilas 02 kirjoitti:

Kiitos nyt tuo ensimmäisen asteen yhtälö taisi selvitä. lasken nyt vielä paljon siihen liittyviä laskuja jotta varmasti osaan sen kunnolla. Mutta nuo alkuluvut ovat edelleen aivan ihmeellisiä ja en ymmärtänyt Eratostheneen seulasta, Lucas-Lehnerin testistä,noista huutomerkeistä,tähdistä,suluista yhtään mitään. Jotain toki noista alkuluvuista selvisi.Mutta noihin alkulukuihin olen jo käyttänyt monta päivää.kannattaisi varmaan keskityä tärkeämpiin. Mutta nyt ryhdyn laskemaan niitä ensimmäisen asteen yhtälö tehtäviä.

Lue lisää

... käytin vain ilmaisukeinona, en matemaattisessa merkityksessä.

* - merkkiä käytän kertolaskuihin.

Matikkaa (etenkään uusia asioita) ei voi lukea siten, että pelästyy sen ulkonäköä ja luovuttaa heti kättelyssä.

Itsekin lukiessani uutta matikkaa, joudun usein lukemaan sen 10 kertaa rivi riviltä, ennen kuin käsitän kaiken. Opiskelen matikkaa pian neljättä vuotta yliopistossa.

Jos luovuttaa ja ajattelee, että 'tuo näyttää liian vaikealta', ei opi mitään. Se ei liity lahjakkuuteen millään tavalla, vaan kärsivällisyyteen. Pitää uskoa itseensä ja siihen että asian tajuaa ennen pitkää -- jos on epäselvä notaatio, siitä voi kysyä selvennystä.

Missään nimessä ei kannata hypätä asioiden yli sen perusteella, miltä se näyttää.

Alkuluvuissa ei ole mitään ihmeellistä -- perusasioihin riittää, että tietää alkuluvun olevan jaoton luku, ja että kaikki kokonaisluvut voi esittää niiden tulona.

nkorppi kirjoitti:

... käytin vain ilmaisukeinona, en matemaattisessa merkityksessä.

* - merkkiä käytän kertolaskuihin.

Matikkaa (etenkään uusia asioita) ei voi lukea siten, että pelästyy sen ulkonäköä ja luovuttaa heti kättelyssä.

Itsekin lukiessani uutta matikkaa, joudun usein lukemaan sen 10 kertaa rivi riviltä, ennen kuin käsitän kaiken. Opiskelen matikkaa pian neljättä vuotta yliopistossa.

Jos luovuttaa ja ajattelee, että 'tuo näyttää liian vaikealta', ei opi mitään. Se ei liity lahjakkuuteen millään tavalla, vaan kärsivällisyyteen. Pitää uskoa itseensä ja siihen että asian tajuaa ennen pitkää -- jos on epäselvä notaatio, siitä voi kysyä selvennystä.

Missään nimessä ei kannata hypätä asioiden yli sen perusteella, miltä se näyttää.

Alkuluvuissa ei ole mitään ihmeellistä -- perusasioihin riittää, että tietää alkuluvun olevan jaoton luku, ja että kaikki kokonaisluvut voi esittää niiden tulona.

Lue lisää

No nyt alkaa olla nuo alkulukujen laskutavat selvillä,mutta noista todistuksista ja jostain sellaisista en ota tolkkua. En ole todellakaan luovuttamassa kättelyssä,mutta näiden alkulukujen ja todistusten kahlaaminen pohjamutia myöten ei tunnu kauhean järkevältä,kun muutakin pitäisi laskea. Kynä sauhuten niitä kirjoitin kyllä tuossa äskenkin vielä,mutta nuo mistä tulee ja todistukset eivät selvinneet,kun en ymmärrä yhtään mitä nuo viivat ja hankalat sanat tarkoittavat.

ylioppilas 02 kirjoitti:

No nyt alkaa olla nuo alkulukujen laskutavat selvillä,mutta noista todistuksista ja jostain sellaisista en ota tolkkua. En ole todellakaan luovuttamassa kättelyssä,mutta näiden alkulukujen ja todistusten kahlaaminen pohjamutia myöten ei tunnu kauhean järkevältä,kun muutakin pitäisi laskea. Kynä sauhuten niitä kirjoitin kyllä tuossa äskenkin vielä,mutta nuo mistä tulee ja todistukset eivät selvinneet,kun en ymmärrä yhtään mitä nuo viivat ja hankalat sanat tarkoittavat.

Lue lisää

... ja listaa jokaikinen sana ja merkintä, mitä et tajua. Sitten voin selittää ne. Se on ainoa tapa oppia.

Todistus oli seuraavanlainen: oletetaan, että väite on epätosi, ja saadaan ristiriita, jolloin oletus oli väärä ja väite tosi. Tätä kutsutaan kontradiktioksi.

Olemme käsittelemässä aivan perusasioita alkuluvuista, emme mitään pohjamutia.

nkorppi kirjoitti:

... ja listaa jokaikinen sana ja merkintä, mitä et tajua. Sitten voin selittää ne. Se on ainoa tapa oppia.

Todistus oli seuraavanlainen: oletetaan, että väite on epätosi, ja saadaan ristiriita, jolloin oletus oli väärä ja väite tosi. Tätä kutsutaan kontradiktioksi.

Olemme käsittelemässä aivan perusasioita alkuluvuista, emme mitään pohjamutia.

Lue lisää

No nyt alkoi selvitä vähän täytyy lukea tuo oikein monta kertaa,jos sitten valkenisi.Nyt tuntuu TODELLA paljon selkeämmältä. Matematiikka voi oppia. Miksi opettajat eivät tykkää,kun heiltä kysyy? Kaikki opettajani ovat olettaneet,että vähintään toisesta selityksestä pitäisi tajuta ja mielellään jo heti,kun asia selitetään. Kiitos paljon. Matematiika aukeaa ihan uudella tavalla. Ei tarvitse ola nero oppiakseen matematiikkaa.

nkorppi kirjoitti:

Tuollaista tuskin kysytään kokeessa, mutta jos haluaisit löytää 1987 seuraavan alkuluvun, käy lukuja läpi näin:

Parilliset luvut voi ohittaa.

1989-luvun numeroiden summa on jaollinen 3:lla, joten 1989 on jaollinen 3:lla.

1991-luvun numeroiden alternoiva summa (1-9 9-1) on jaollinen 11:sta, joten 1991 on jaollinen 11:sta.

1993:n neliöjuuri on 44.643, joten jos jakaja löytyy, yksi niistä on 43 tai pienempi pariton luku.

Kokeillaan: 3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43 eivät ole jakajia (ja ohitamme myös kaikki näiden monikerrat). Siispä 1993 on alkuluku.

Lue lisää

Laskit tuossa edellä luvun 1991 numeroiden alternoivan summan (1-9 9-1). Se on kylläkin nolla, joten mitä tuo kertoo?

Mitä tuolla saavutetaan että lasketaan luvun numeroiden summa?

Esimerkiksi luvulle 37 tuo ei toimi. Luvun 37 numeroiden summa on 10 (alternoiva summa 3-7=-4), jotka molemmat ovat jaollisia kahdella. Ja kuitenkin 37 on alkuluku.

Mä vaan kirjoitti:

Laskit tuossa edellä luvun 1991 numeroiden alternoivan summan (1-9 9-1). Se on kylläkin nolla, joten mitä tuo kertoo?

Mitä tuolla saavutetaan että lasketaan luvun numeroiden summa?

Esimerkiksi luvulle 37 tuo ei toimi. Luvun 37 numeroiden summa on 10 (alternoiva summa 3-7=-4), jotka molemmat ovat jaollisia kahdella. Ja kuitenkin 37 on alkuluku.

Lue lisää

Kyse on jaollisuussäännöistä, jotka helpottavat jaollisuuden selvittämistä eri luvuilla. Niitä on muutamia:

Luvuilla 2,4,5 ja 10 jaollisuus on helppo nähdä suoraan.

Lisäksi meillä on seuraavat säännöt 3, 9 ja 11 jaollisuuteen.

Lemma 1: n on 9:llä jaollinen täsmälleen silloin kun sen numeroiden summa on 9:llä jaollinen.

Todistus: Olkoon n = summa_{i=1,...,k} (a_i*10^i)

Huomaa, että 10 = 1 mod 9, joten saamme jokaiselle i:lle kongruenssin 10^i = 1 mod 9.

Kerro kukin kongruenssi luvulla a_i, ja laske ne allekkain yhteen. Tämä antaa haluamamme tuloksen. QED

Remark: Voimme korvata luvun 9 luvulla 3 edellisessä Lemmassa ja sen todistuksessa. Näin saamme 3:lla jaollisuuden säännön.

Lemma 2: n on luvulla 11 jaollinen täsmälleen silloin kun sen numeroiden vuorotteleva summa (vuorottelee plussan ja miinuksen välillä) on jaollinen 11:sta.

Todistus: Olkoon n = summa_{i=1,...,k} (a_i*10^i)

Huomaa, että 10 = -1 mod 11. Siispä jokaiselle i:lle, meillä on kongruenssi 10^i=(-1)^i mod 11.

Kerromme kullekin i:lle vastaavan kongruenssin a_i:llä ja laskemme kongruenssit allekkain yhteen. Näin saamme haluamamme tuloksen. QED

Remark: Syy miksi jaollisuussäännöt koskevat lukuja 11 ja 9 on se, että käytämme 10-järjestelmää.

Jos käyttäisimme vaikkapa 5-järjestelmää, saisimme samoin todistuksin vastaavat säännöt luvuille 4 ja 6. Yleisesti ottaen voimme samoin keinoin testata k-1 ja k 1 luvuilla jaollisuuden kirjoittamalla luku k-järjestelmässä.

Mä vaan kirjoitti:

Laskit tuossa edellä luvun 1991 numeroiden alternoivan summan (1-9 9-1). Se on kylläkin nolla, joten mitä tuo kertoo?

Mitä tuolla saavutetaan että lasketaan luvun numeroiden summa?

Esimerkiksi luvulle 37 tuo ei toimi. Luvun 37 numeroiden summa on 10 (alternoiva summa 3-7=-4), jotka molemmat ovat jaollisia kahdella. Ja kuitenkin 37 on alkuluku.

Lue lisää

... kysymykseesi, että mitä saavutetaan on se, että näemme hyvin nopeasti, että 1989 ja 1991 eivät ole alkulukuja.

Elleivät nämä olisi 3:lla tai 11:sta jaollisia, se ei toimisi, mutta kokeilu kannattaa aina.

... threadin ensimmäiset neuvojat keskittyivät epäolennaiseen puhuessaan ulkoa opettelusta tai Lucas-Lehmeristä.

Sen sijaan itse tiedät varmasti muutamia helppoja alkulukutestejä -- ennen kaikkea tunnet lähes varmasti Fermat'n Pienen Teoreeman (ja kenties muita samantyyppisiä pseudoalkulukutestejä), joilla voi sulkea pois monia lukuja mahdollisten alkulukujen listasta. :)

Tunnet ehkä myös Wilsonin teoreeman -- joka ei kylläkään ole käyttökelpoinen testi.