Osaisiko joku auttaa? Meillä on uskomattoman huono matematiikan opettaja enkä ymmärrä kunnolla. Osaisiko joku täydentää ja opettaa?
Vastaluku= Luku joka on luvun vastakkaisella puolella sillä janalla. esim. 1 ja -1. Miten merkitsen jos ilmoitan esim. luvun 1 vastaluvun?
Käänteisluvut= Luku jolla luku täytyy kertoa jotta siitä tulee 1. Enenpää en ymmärrä, miten merkitään?
Irrationaaliluku= Luku jota ei voida käsittää, päättymätön desimaaliluku, kuten pii.
Onko esim. luku 1,111111... Irrationaaliluku?
tehtävä: Onko kahden irrationaaliluvun a)summa b)
tulo aina irrationaalinen?
Kokeilin laskimella ja päättelin a:n vastaukseksi kyllä, mutta b:n ei. Olenko oikeassa?
Yritän ratkaista tehtäviä
1.Merkitse lukujen -12, 3/4 ja -x y(x ei ole yhtäsuuri kuin y)
a) vastaluvut
b) käänteisluvut
c) käänteilukujen vastaluvut
yritys:
a) 12, -3/4 , x-y
b) -1, 4/3, ?????
c) 1, -4/3, ?????
Vastaluku ja Käänteisluku, apua kaivataan.
18
15273
Vastaukset
- CloacaMaxima
Yksinkertaisen taskulaskimen näytössä on tilaa etumerkille ja kahdeksalle numerolle, ja desimaalipilkku voi olla minkä tahansa numeroiden välissä. Kuinka monta
a)luonnollista lukua
b)kokonaislukua
c)irrationaalilukua
voidaan esittää edellä mainitun laskimen avulla?
yritys:
a)99 999 999
b)199 999 998
c) ?????- Erdös
a) 100 000 000 (myös nolla on luonnollinen luku)
b) 99 999 999 * 2 1 (neg. ja pos. luvut ja nolla)
c) Ei yhtään, jos irrationaaliluku pitää esittää desimaalilukuna näytöllä. Jos halutaan venkoilla, niin voitaisiin sopia, että kukin 100 000 000 näytön luvusta tarkoittaa symbolisesti jotain irrationaalilukua, mutta tällöin laskimen luvuilla ei tietenkään yleisesti voi laskea. Toisaalta voitaisiin sopia, että 1 näytöllä tarkoittaa 1*pi ja 2 näytöllä 2*pi jne. Tällöin voisimme laskea piin monikerroilla, kuten tavallisesti kokonaisluvuilla. Esimerkiksi 3*pi - 1*pi = 2*pi. Tätä optiota opettaja tuskin haki.
- siiss
eikö noita oo matikan kirjassa ? Siis x:n vatsaluku on -x ja x:n käänteisluku on 1/x edellyttäen, ettei x ole 0. Joten x-y:n käänteisluku on 1/(x-y) ja 12 käänteisluku 1/12. Rationaaliluku=murtoluku esim. 1.1111... =10/9 on murtoluku ja pii todella ei ole.
- örrörörör
Murtoluku 1.1111... ei ole rationaaliluku vaan irrationaaliluku.
- 4+12=412
örrörörör kirjoitti:
Murtoluku 1.1111... ei ole rationaaliluku vaan irrationaaliluku.
Murtoluvut ovat rationaalilukuja...
- calculus_keen
Murtoluvut ovat rationaalilukuja, koska niiden desimaalikehitelmä on jaksollinen ja sopivassa lukujärjestelmässä ne ovat päättyviä esim. luku 1,1111111... (=1 (1÷9) eli yksi ja yksi yhdeksäsosa) muunnettuna kymmenjärjestelmästä yhdeksänjärjestelmään on 1,1 ja kymmenjärjestelmän luku 0,142857142857142857... (=1÷7 eli yksi seitsemäsosa) toistaa desimaaleissa sarjaa 142857 (0,142857|142857|142857|142857... ( |-merkki vain havainnollistamaan) ). Desimaaliluku 1÷7 on seitsemänjärjestelmässä 0,1. Irrationaalisia lukuja ovat ne luvut joita ei ole mitenkään mahdollista esittää (pelkkänä) murtolukuna (esim. pii, kolmas juuri seitsemästä ja eulerin luku). Niiden lukujen desimaalikehitelmä on myös päättymätön ja JAKSOTON. Jaksottomuus tarkoittaa sitä, että desimaalit eivät toista samaa jaksoa (, joka voi olla pitkäkin) , vaan ne ovat kuin epäsäännöllisten lukujen joukko (vaikkakin ne eivät todellakaan ole mielivaltaisia). Esimerkki jaksottomuudesta: π=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679...
(... tarkoittaa päättymättömiä desimaaleja mainittujen jälkeen: niitä löytyy niin paljon, kuin vain jaksaa laskea).
- Erdös
Oikein tunnut ymmärtäneen vastaluvun ja käänteisluvun ideat. Reaaliluvun x vastaluku merkitään yksinkertaisesti -x riippumatta siitä onko x positiivinen vai ei. Jos esimerkiksi
x = -2, niin x:n vastaluku on -(-2) = 2 merkkisääntöjen nojalla.
Vastaavasti nollasta eriävän luvun y käänteisluku merkitään 1/y (nollalla jakaminen ei ole sallittua).
Vielä vähän vasta-alkiosta ja käänteisalkiosta.
Näiden alkioiden roolit ovat eräällä tavalla toisiaan vastaavat.
Siinä missä yhteenlaskussa x (-x) = 0
on kertolaskussa y*(1/y) = 1, kunhan y ei ole nolla. Jotta voisit paremmin ymmärtää miksi juuri 0 on yhteenlaskussa ja 1 kertolaskussa kiinnostava, pitäisi sinun tuntea algebrallisen ryhmän käsite. Nimittäin 0 on eräällä tavalla reaalilukujen yhteenlaskuissa samassa roolissa kuin 1 reaalilukujen kertolaskussa. Esimerkiksi
x 0 = x ja x*1 = x kaikilla reaaliluvuilla x.
Jos haluat hiukan katsoa algebrallisesta ryhmästä, niin katso
http://fi.wikipedia.org/wiki/Ryhmä_(algebra)
ja ajattele siellä *-operaatiota tavallisena reaalilukujen kertolaskuna tai yhteenlaskuna.
Luku 1,1111... on rationaaliluku, kuten kaikki sellaiset reaaliluvut, joiden desimaaliesitys sisältää "äärettömästi" toistuvan lukusarjan, kuten
x = 0.123412341234...
Tämä nähdään helposti näin:
1000x = 1234,12341234...
ja tästä saadaan vähentämällä "häntäosa" x
1000x - x = 999x = 1234 eli
x = 1234/999, joten x on rationaaliluku.
Oleellista on siis se, että jossakin vaiheessa alkaa tuollainen mainitunlainen toistuvuus. Esimerkiksi x = 111,789123412341234... on rationaaliluku, koska x on rationaalilukujen 111,789:n ja 0,0001234... summa.
Tehtävästä. Olkoon x irrationaalinen. Ilmeisesti myös -x on irrationaalinen, mutta x-x = 0, joka on rationaalinen. Siispä vastaus kohtaan a) ei ole. Vastaavasti b) ei ole; perusteluna x*(1/x)=1.
Laskimella kaikki mahdolliset käsiteltävät luvut ovat tarkkuudeltaan äärellisiä ja siten rationaalisia.- Erdös
Siis 10000x = 1234,12341234...
ja x = 1234/9999
- nkorppi
Tässä lisäkysymys kiinnostuneille: Onko olemassa irrationaalilukuja a ja b, joille a^b on rationaaliluku?
Vastaus edelliseen on todella kaunis... kerron sen, kunhan yritätte ratkaista asian ensin itse. :)
***
Alkuperäiskysyjälle:
Olkoon x reaaliluku.
Vastaluku = -x
Käänteisluku = 1/x, paitsi jos x=0. Jos x=0, käänteislukua ei ole.
Rationaaliluku on luku, joka voidaan esittää muodossa p/q, missä p ja q ovat kokonaislukuja, ja q ei ole 0.
Irrationaaliluku on reaaliluku, joka EI ole rationaaliluku.
Teoreema: x on rationaaliluku jos ja vain jos x:n desimaaliesitys toistaa itseään (tai päättyy).
Todistus: Olkoon x:n desimaaliesitys toistuva, ja muotoa '0.x_1 x_2 ... x_k x_1 ... x_k ...' . Huomaa, että jos todistamme teoreeman tätä muotoa oleville luvuille, se seuraa muillekin.
x = SUM(x_i*10^i) * SUM(10^(-ik))
Mutta jälkimmäinen summa on arvoltaan 1/(1-10^(-k)), käyttäen geometrisen summan kaavaa. Siispä x on rationaaliluku.
Oletetaan vuorostaan, että x on rationaaliluku p/q. Etsi yksi kerrallaan desimaaleja, koulussa opetetulla tavalla (Euklideen algoritmi). Huomaa, että mahdollisia jakojäännöksiä on korkeintaan q, joten ellei desimaaliesitys pääty, jokin jakojäännös toistuu. Mutta tästä jakojäännöksestä alkaa algoritmin itsensä toisto. QED
njuuri(2) on irrationaaliluku,(ks. todistus alla) ja njuuri(2) * njuuri(2)= 2, joten kahden irrationaaliluvun tulon ei tarvitse olla irrationaalinen.
njuuri(2) (-njuuri(2)) = 0, joten myöskään kahden irrationaaliluvun summan ei tarvitse olla irrationaalinen.
Teoreema: njuuri(2) on irrationaaliluku.
Todistus: Oletetaan että njuuri(2)=p/q. Voimme myös olettaa, ettei luvuilla p ja q ole yhteisiä tekijöitä, supistamalla ne pois.
Korotetaan tämä toiseen potenssiin, eli 2q^2=p^2 . p^2 on parillinen vain jos p on parillinen. Mutta tällöin p^2 on neljällä jaollinen, joten q on parillinen. Mutta tällöin 2 on yhteinen tekijä. Tämän ristiriidan vuoksi oletus oli väärä, ja njuuri(2) on irrationaalinen. QED- jens
On siis osoitettava, että on olemassa irrationaaliluvut a ja b siten, että a^b on rationaaliluku.
Edellä osoitettiin, että sqrt(2) on irrationaalinen.
Luku sqrt(2)^sqrt(2) on joko rationaalinen tai irrationaalinen.
(1) se on rationaalinen, ok
(2) se on irrationaalinen, jolloin luku
(sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2) on muotoa irrationaaliluku potenssiin irrationaaliluku. Sievennettynä se on 2.
Huono puoli tässä todistuksessa oli se, ettei tiedetä onko sqrt(2)^sqrt(2) rationaalinen vai irrationaalinen, mutta muita vaihtoehtoja ei ole... Joka tapauksessa vaaditut luvut ovat löydetty. - nkorppi
jens kirjoitti:
On siis osoitettava, että on olemassa irrationaaliluvut a ja b siten, että a^b on rationaaliluku.
Edellä osoitettiin, että sqrt(2) on irrationaalinen.
Luku sqrt(2)^sqrt(2) on joko rationaalinen tai irrationaalinen.
(1) se on rationaalinen, ok
(2) se on irrationaalinen, jolloin luku
(sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2) on muotoa irrationaaliluku potenssiin irrationaaliluku. Sievennettynä se on 2.
Huono puoli tässä todistuksessa oli se, ettei tiedetä onko sqrt(2)^sqrt(2) rationaalinen vai irrationaalinen, mutta muita vaihtoehtoja ei ole... Joka tapauksessa vaaditut luvut ovat löydetty.Tiesitkö todistuksen etukäteen, vai keksitkö sen suoralta kädeltä? Jos keksit sen nyt, saavutus mielestäni hyvä!
Se, että emme tiedä onko njuuri(2)^njuuri(2) irrationaalinen on juuri todistuksen kauneus. Mitä vähemmällä pystymme todistamaan teoreeman, sitä elegantimpi todistus.
Löytämättä yhtä varmaa esimerkkiä rationaaliluvusta a^b, voimme kuitenkin todeta sellaisen olemassaolon. Siinä on pähkinänkuoressa useimpien existence-todistusten kauneus.
Toki jos meille olisi tärkeää löytää esimerkki, voisimme luultavasti todistaa, että njuuri(2)^njuuri(2) on irrationaaliluku (mitä se luultavasti on!) - a-s-h
nkorppi kirjoitti:
Tiesitkö todistuksen etukäteen, vai keksitkö sen suoralta kädeltä? Jos keksit sen nyt, saavutus mielestäni hyvä!
Se, että emme tiedä onko njuuri(2)^njuuri(2) irrationaalinen on juuri todistuksen kauneus. Mitä vähemmällä pystymme todistamaan teoreeman, sitä elegantimpi todistus.
Löytämättä yhtä varmaa esimerkkiä rationaaliluvusta a^b, voimme kuitenkin todeta sellaisen olemassaolon. Siinä on pähkinänkuoressa useimpien existence-todistusten kauneus.
Toki jos meille olisi tärkeää löytää esimerkki, voisimme luultavasti todistaa, että njuuri(2)^njuuri(2) on irrationaaliluku (mitä se luultavasti on!)Kakkosen neliöjuuri potenssiin kakkosen neliöjuuri on transsendenttinen Gelfondin lauseen nojalla, joten se on siten myös irrationaalinen. Mutta tuleeko kellekään mieleen mitään hienovaraisempaa keinoa todistaa tuota?
- =)
a-s-h kirjoitti:
Kakkosen neliöjuuri potenssiin kakkosen neliöjuuri on transsendenttinen Gelfondin lauseen nojalla, joten se on siten myös irrationaalinen. Mutta tuleeko kellekään mieleen mitään hienovaraisempaa keinoa todistaa tuota?
Itse törmäsin samaan tehtävään ja jäi tuo luvun (sqrt2)^(sqrt2) irrationaalisuus mietityttämään, törmäsin myös gelfondin lauseeseen mutta luulisin myös helpomman todistustavan olevan olemassa. Itse asiassa koetin itse saada jotain tulosta aikaan mutta se meni hulluksi kahdenkantaisten logaritmien pyörittelyksi enkä saanut mitään aikaan. Olisi mielenkiintoista kuulla jokin menetelmä tähän
- h
jens kirjoitti:
On siis osoitettava, että on olemassa irrationaaliluvut a ja b siten, että a^b on rationaaliluku.
Edellä osoitettiin, että sqrt(2) on irrationaalinen.
Luku sqrt(2)^sqrt(2) on joko rationaalinen tai irrationaalinen.
(1) se on rationaalinen, ok
(2) se on irrationaalinen, jolloin luku
(sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2) on muotoa irrationaaliluku potenssiin irrationaaliluku. Sievennettynä se on 2.
Huono puoli tässä todistuksessa oli se, ettei tiedetä onko sqrt(2)^sqrt(2) rationaalinen vai irrationaalinen, mutta muita vaihtoehtoja ei ole... Joka tapauksessa vaaditut luvut ovat löydetty.Miten tuo (sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2) sievenee kakkoseksi?
Minulla ei nyt leikkaa.
H - mkonjibhu
h kirjoitti:
Miten tuo (sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2) sievenee kakkoseksi?
Minulla ei nyt leikkaa.
HOtat lausekkeesta 2-kantaisen logaritmin. Pienellä sieventämisellä saat logaritmin arvoksi 1, eli lausekkeen arvo on 2.
- j
h kirjoitti:
Miten tuo (sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2) sievenee kakkoseksi?
Minulla ei nyt leikkaa.
HPotenssien laskusäännöt: (sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2)=sqrt(2)^(sqrt(2)*sqrt(2))=sqrt(2)^2=2.
jens kirjoitti:
On siis osoitettava, että on olemassa irrationaaliluvut a ja b siten, että a^b on rationaaliluku.
Edellä osoitettiin, että sqrt(2) on irrationaalinen.
Luku sqrt(2)^sqrt(2) on joko rationaalinen tai irrationaalinen.
(1) se on rationaalinen, ok
(2) se on irrationaalinen, jolloin luku
(sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2) on muotoa irrationaaliluku potenssiin irrationaaliluku. Sievennettynä se on 2.
Huono puoli tässä todistuksessa oli se, ettei tiedetä onko sqrt(2)^sqrt(2) rationaalinen vai irrationaalinen, mutta muita vaihtoehtoja ei ole... Joka tapauksessa vaaditut luvut ovat löydetty.Tämä on hieno todistus, ja vastaa juuri esitettyyn kysymykseen, kertomatta tarkastelluista luvuista yhtään enempää kuin on tarpeellista.
Se muodostaa myös suoranaisen jatkon sille päättelylle, jolla antiikin filosofit (pythagoralaisten vastustuksesta huolimatta) kykenivät osoittamaan irrationaalilukujen olemassaolon.
Tietääkö kukaan tämän palstan arvoisista lukijoista, mistä tällainen todistus on peräisin? Kuka sen on ensimmäisenä esittänyt ja milloin?
- Bosslife
Onko kahden irrationaaliluvun a)summa b)
tulo aina irrationaalinen?
Vastaus:
a) Kahden irrationaaliluvun summa ei ole aina irrationaaliluku,
sillä esimerkiksi π (−π ) = 0 . Yhteenlaskun tuloksena saatu luku on rationaaliluku.
b) Lause on epätosi, sillä kahden irrationaaliluvun tulo ei ole aina irrationaaliluku,
esimerkiksi neliöjuuri(5) ⋅ neliöjuuri(5) = 5 .
Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Martinan uusi poikakaveri
Sielläpä se sitten on. Instastoorissa pienissä speedoissa retkottaa uusin kulta Martinan kanssa. Oikein sydämiä laitettu2063230Suomessa helteet ylittää vasta +30 astetta.
Etelä-Euroopassa on mitattu yli +40 asteen lämpötiloja. Lähi-Idässä +50 on ylitetty useasti Lämpöennätykset rikkoutuva2391620Laita mulle viesti!!
Laita viesti mesen (Facebook) kautta. Haluan keskustella mutta sinun ehdoilla en halua häiriköidä tms. Yhä välitän sinus951472- 921389
Vanhemmalle naiselle
alkuperäiseltä kirjoittajalta. On olemassa myös se toinen joka tarkoituksella käyttää samaa otsikkoa. Ihan sama kunhan e461344Fazer perustaa 400 miljoonan suklaatehtaan Lahteen
No eipä ihme miksi ovat kolminkertaistaneen suklaalevyjensä hinnan. Nehän on alkaneet keräämään rahaa tehdasta varten.1581259Ajattelen sinua tänäkin iltana
Olet huippuihana❤️ Ajattelen sinua jatkuvasti. Toivottavasti tapaamme pian. En malttaisi odottaa, mutta odotan kuitenkin121188Ökyrikkaat Fazerit saivat 20 MILJOONAA veronmaksajien varallisuutta!
"Yle uutisoi viime viikolla, että Business Finland on myöntänyt Fazerille noin 20 miljoonaa euroa investointitukea. Faze1231019Miehelle...
Oliko kaikki mökötus sen arvoista? Ei mukavalta tuntunut, kun aloit hiljaisesti osoittaa mieltä ja kohtelit välinpitämät89932Tuntuu liian hankalalta
Lähettää sulle viesti. Tarvitsen apuasi ottaa koppi tilanteesta. Miehelle meni.47829