Miten voin laskea arkusfunktioiden tarkkoja arvoja ilman laskinta tai tietokoneohjelmia?
Eli esim. arctan(1) = Pi / 4
Miten tuohon tulokseen päästään?
Kiitos avusta.
Eli esim. arctan(1) = Pi / 4
Miten tuohon tulokseen päästään?
Kiitos avusta.
Arkusfunktiot
MC Erkki
51012
0Äänestä
Muut lukivat myös
Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastainen viesti.
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 5
Vanhimmat
... yksikköympyrää. Eli piirrä kordinaatistoon origon ympärille 1-säteinen ympyrä.
Mietimme nyt kulmia vastapäivään, alkaen positiivisesta x-akselista.
Kulma a leikkaa ympyrän pisteessä (cos a, sin a). Sen sijaan tan a = cos a / sin a, eli kulman synnyttämän viivan kulmakerroin.
Jos kulmakerroin on yksi, piirrät viivan y=x -- mutta symmetrian vuoksi tämä puolittaa ympyrän ekan neljänneksen.
Huomaa, että kokonainen ympyrä on radiaaneissa (ja kaaren pituudeltaan) 2PI. Eli arctan(1) = 1/2 * PI/2 = PI/4.
Itse asiassa arctan ei olisi (yksiarvoinen) funktio, ellemme sopisi valitsevamme kulman arvoa nimenomaan väliltä [0,PI) . Selkeästi mikä tahansa origon läpi kulkeva viiva synnyttää yhden kulman tuolta väliltä, ja valitsemme aina sen.
Näin on oikein: tan a = sin a / cos a .
Mulla meni sin ja cos väärinpäin. ;)
Tuossa tapauksessa tosiaan ensimmäinen neljännes puolittuu, mutta entäs jos pitää laskea vaikkapa
arcsin(-3/sqrt(3)) tarkka arvo?
Voisitko vääntää rautalangasta? Kiitoksia paljon.
... huomaa, että -3/sqrt(3) = -sqrt(3) = -1.732 .
Mutta sin saa arvoja ainoastaan välillä [-1,1] (selvää yksikköympyrästä), joten arcsin ei ole määritelty tuolle arvolle.
Toki arcsin voidaan yleistää kompleksimuuttujiinkiin.
Mutta mitä alkuperäinen kysyjä tahtoo kysyä on mistä nuo tietyt kulmat saadaan, ja vastaus on
Lähde liikkeelle tasasivuisesta kolmiosta (kaikki kulmat Pii/3). Tästä saat pythagoraan lauseen avulla ja kolmiota sopivasti pilkkomalla sin, cos, tan kulmille Pii/3, Pii/6. Näitä ja trigonometristen funkitoiden summa kaavoja käyttämällä saadaan joitakin arkusfunktioiden tarkkoja arvoja.