Arkusfunktiot

MC Erkki

Miten voin laskea arkusfunktioiden tarkkoja arvoja ilman laskinta tai tietokoneohjelmia?

Eli esim. arctan(1) = Pi / 4

Miten tuohon tulokseen päästään?

Kiitos avusta.

5

1006

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • nkorppi

      ... yksikköympyrää. Eli piirrä kordinaatistoon origon ympärille 1-säteinen ympyrä.

      Mietimme nyt kulmia vastapäivään, alkaen positiivisesta x-akselista.

      Kulma a leikkaa ympyrän pisteessä (cos a, sin a). Sen sijaan tan a = cos a / sin a, eli kulman synnyttämän viivan kulmakerroin.

      Jos kulmakerroin on yksi, piirrät viivan y=x -- mutta symmetrian vuoksi tämä puolittaa ympyrän ekan neljänneksen.

      Huomaa, että kokonainen ympyrä on radiaaneissa (ja kaaren pituudeltaan) 2PI. Eli arctan(1) = 1/2 * PI/2 = PI/4.

      Itse asiassa arctan ei olisi (yksiarvoinen) funktio, ellemme sopisi valitsevamme kulman arvoa nimenomaan väliltä [0,PI) . Selkeästi mikä tahansa origon läpi kulkeva viiva synnyttää yhden kulman tuolta väliltä, ja valitsemme aina sen.

      • nkorppi

        Näin on oikein: tan a = sin a / cos a .

        Mulla meni sin ja cos väärinpäin. ;)

      • MC Erkki
        nkorppi kirjoitti:

        Näin on oikein: tan a = sin a / cos a .

        Mulla meni sin ja cos väärinpäin. ;)

        Tuossa tapauksessa tosiaan ensimmäinen neljännes puolittuu, mutta entäs jos pitää laskea vaikkapa

        arcsin(-3/sqrt(3)) tarkka arvo?

        Voisitko vääntää rautalangasta? Kiitoksia paljon.

      • nkorppi
        MC Erkki kirjoitti:

        Tuossa tapauksessa tosiaan ensimmäinen neljännes puolittuu, mutta entäs jos pitää laskea vaikkapa

        arcsin(-3/sqrt(3)) tarkka arvo?

        Voisitko vääntää rautalangasta? Kiitoksia paljon.

        ... huomaa, että -3/sqrt(3) = -sqrt(3) = -1.732 .

        Mutta sin saa arvoja ainoastaan välillä [-1,1] (selvää yksikköympyrästä), joten arcsin ei ole määritelty tuolle arvolle.

      • ffffs
        nkorppi kirjoitti:

        ... huomaa, että -3/sqrt(3) = -sqrt(3) = -1.732 .

        Mutta sin saa arvoja ainoastaan välillä [-1,1] (selvää yksikköympyrästä), joten arcsin ei ole määritelty tuolle arvolle.

        Toki arcsin voidaan yleistää kompleksimuuttujiinkiin.

        Mutta mitä alkuperäinen kysyjä tahtoo kysyä on mistä nuo tietyt kulmat saadaan, ja vastaus on

        Lähde liikkeelle tasasivuisesta kolmiosta (kaikki kulmat Pii/3). Tästä saat pythagoraan lauseen avulla ja kolmiota sopivasti pilkkomalla sin, cos, tan kulmille Pii/3, Pii/6. Näitä ja trigonometristen funkitoiden summa kaavoja käyttämällä saadaan joitakin arkusfunktioiden tarkkoja arvoja.

    Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Anteeksi

      että tein pahaa sulle. En ole täysijärkinen.
      Ikävä
      128
      1315

    2. Ketä naista se poju tällä hetkellä vetää höplästä

      Sillä kun pitää aina olla joku höplästä vedettävä kierroksessa
      Ikävä
      289
      956

    3. Milloin olet viimeksi ollut hänen..

      Lähettyvillä??
      Ikävä
      43
      855

    4. Milloin näit kaivattusi viimeksi?

      Mitä olisit halunnut tehdä tai sanoa hänelle?
      Ikävä
      33
      631

    5. Tappio Rydmanille

      Ei pystynyt Wille saamaan tahtonsa läpi. https://www.hs.fi/politiikka/art-2000012093775.html
      Perussuomalaiset
      145
      623

    6. Missä tapasit kaivattusi

      ensimmäisen kerran?
      Ikävä
      38
      587

    7. Mitä mietit jos näet hänet jossain?

      🤗
      Ikävä
      52
      551

    8. Sometähti villisika-Seppo on kuollut

      Suomussalmella lemmikki­eläimeksi virallisesti hyväksytty villisika Seppo on kuollut. https://yle.fi/a/74-20232445
      Suomussalmi
      28
      518

    9. Tiesitkös rakas

      Mun taivas on pilvinen ja synkkä. Päivät värittömiä ja harmaita. Missä olet, aurinkoni? 💔
      Ikävä
      44
      501

    10. Aattelin nainen

      Jos oppisin puhumaan. Rehellisesti, rennosti ja hetkessä.
      Ikävä
      107
      488
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt