Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu

On tietysti makuasia, kummin päin sen porrasmuodon rakentaa. Itse olen tottunut rakentamaan sen toisinpäin, eli

###=#
0##=#
00#=#

, kuten muuten kysyjäkin oli lähtenyt tilannetta ratkaisemaan. Taitaa vähän kivempia lukujakin tulla muuttujien kertoimiksi

singulaarinen = ei kääntyvä. Tarkoititko sitä?

Sattui olemaan kone auki, ja laitoin sen ratkaisemaan determinantin. Determinantti on nolla, joten matriisi ei ole kääntyvä. (=singulaarinen)

Sen näkee suoraan siitäkin, että ratkasuja on ääretön määrä, mutta en jaksanut tarkistaa mahdollisten laskuvirheiden varalta...

Vai onkin singulaarisuudella jokin muukin merkitys matemaatikkojen slangissa?

jukepuke kirjoitti:

singulaarinen = ei kääntyvä. Tarkoititko sitä?

Tarkoitin singulaarista siis niin juuri ;) Tuo tuli epähuomiossa, mutta muutenkin tahtoo aina mennä nuo termit suomeksi sekaisin... Onko muuten "pivot column" suomeksi tukisarake tai jotain? Entä nullspace=ydin, kutsutaanko sitä oikeasti ytimeksi?

lineaari.4545 kirjoitti:

Tarkoitin singulaarista siis niin juuri ;) Tuo tuli epähuomiossa, mutta muutenkin tahtoo aina mennä nuo termit suomeksi sekaisin... Onko muuten "pivot column" suomeksi tukisarake tai jotain? Entä nullspace=ydin, kutsutaanko sitä oikeasti ytimeksi?

Lue lisää

Olen itse kuullut käytettävän Nullspacesta ihan suomennosta nolla-avaruus. Tosin nolla-avaruuden ratkaisut tietenkin ovat matriisin ydin. (Null(A)=Ker(A))

lineaari.4545 kirjoitti:

Tarkoitin singulaarista siis niin juuri ;) Tuo tuli epähuomiossa, mutta muutenkin tahtoo aina mennä nuo termit suomeksi sekaisin... Onko muuten "pivot column" suomeksi tukisarake tai jotain? Entä nullspace=ydin, kutsutaanko sitä oikeasti ytimeksi?

Lue lisää

'pivot column' ei terminä minulle hirveästi sano, joten en ota siihen kantaa mitä se voisi olla :)

Ydin, eli nolla-avaruus. Kutsutaan molemmilla nimillä.

rantanplan1 kirjoitti:

Sattui olemaan kone auki, ja laitoin sen ratkaisemaan determinantin. Determinantti on nolla, joten matriisi ei ole kääntyvä. (=singulaarinen)

Sen näkee suoraan siitäkin, että ratkasuja on ääretön määrä, mutta en jaksanut tarkistaa mahdollisten laskuvirheiden varalta...

Vai onkin singulaarisuudella jokin muukin merkitys matemaatikkojen slangissa?

Lue lisää

Singulaarisuus todella tarkoittaa, että neliömatriilla ei ole käänteismatriisia.

Eli ei ole

inv(A)*A = I = A*inv(A)

Mikä on yhtäpitävä sen kanssa, että yhtälöryhmällä

Ax = b

ei ole yksikäsitteistä ratkaisua x = inv(A)*b kaikilla vektoreilla b. Tai että yhtälöllä

Ax = 0

on yksikin nollavektorista poikkeava ratkaisu x

tai että

det(A) = 0

napa.

Metodi taita olla ns. "Gauss-Jordanin eliminoimismenetelmä", jossa aina valitaan napa jne...

Matriisin A kaksi ekaa pystyriviä on samat eli taatusti lineaarisesti riippuvat, joten se on singulaarinen eli ei-kääntyvä.

Singular ::= tavaton,merkillinen, erikoinen.

Yleensä singulariteetti on erikoispiste. Esim. x:n arvo a lausekkeessa 1/(x-a).

Tai vaikkapa musta aukko!

1) Käänteismatriisin laskeminen vaikkapa niinkin pienelle kuin 5*5 matriisille vaatii paljon työtä, kun taas rivioperaatiot eivät.

Myös algoritmin kompleksisuudessa käänteismatriisin perinteisellä tyylillä laskeminen on selvästi hitaampi toimenpide.

(Toinen tapa ajatella asiaa on todeta, että rivioperaatiot ovat itse asiassa vaihtoehtoalgoritmi käänteismatriisin laskemiseen ja varsin hyvällä kompleksisuudella, O(n^3). )

2) Jos determinantti on nolla, niin kuin melkein kaikissa kiinnostavissa tapauksissa on, voimme silti sanoa jotakin vastauksista, kunhan olemme ensin päässeet riittävän pitkälle rivioperaatioilla.

3) Determinantin laskeminen isolla matriisille vaatii sekin rivioperaatiotaitoja, ellei halua käyttää koko yötä tehtävään. Joten et tällöin välty rivioperaatioilta edes perinteisessä käänteismatriisitehtävässä.

4) Lisäkysymykset lineaarialgebrassa helpottuvat useasti rivioperaatioilla -- mm. kantavektoreiden vaihtamisessa tai ulottuvuuksien määrän todistamisessa yms.

... varsinkin näitä kahta ajatusta selkokielellä:

- 'käänteisoperaatio' ei ole mikään helppo operaatio, ellet käytä valmista ohjelmaa. Mutta tällöin ohjelma saattaa hyvinkin käyttää rivioperaatioita sen nopeaan laskemiseen.

- se, että determinantti on nolla tarkoittaa, ettei ole ainutlaatuista ratkaisua -- mutta ei suinkaan tarkoita ettäkö ratkaisuja olisi pakosti nolla!

nkorppi kirjoitti:

... varsinkin näitä kahta ajatusta selkokielellä:

- 'käänteisoperaatio' ei ole mikään helppo operaatio, ellet käytä valmista ohjelmaa. Mutta tällöin ohjelma saattaa hyvinkin käyttää rivioperaatioita sen nopeaan laskemiseen.

- se, että determinantti on nolla tarkoittaa, ettei ole ainutlaatuista ratkaisua -- mutta ei suinkaan tarkoita ettäkö ratkaisuja olisi pakosti nolla!

Lue lisää

Viiden lineaarisen yhtälön yhtälöryhmän ratkaisemisen käsin on jo nykyaikana eläinrääkkäystä. Ei siitä mitään enempää opi kuin kysyjän kolmen yhtälön tapauksestakaan. Käsittääkseni pääasia on, että ymmärtää periaatteen.

Lienet samaa mieltä, että hyödyllistä olisi käsittää rivi- ja käänteismatriisiratkaisun välinen yhteys?

Enpä tiedä muista, mutta minusta tuo esimerkkitehtävä on nopeampi käänteismatriisin avulla. (Ihan kokeilinkin). Ongelmat ovat juuri aloittajan mainitsemia: mistä alkaa? Eihän se häiritse, jos on ns. silmää.

Mihinkähän riviratkaisu päätyy, jos determinantti ei matriseilla laskettaessa ole nolla?

Mitä muuten tarkoitat "ainutlaatuisella ratkaisulla"? Et kai "yksikäsitteistä", engl. "unique"? Mitä tahansa, niin determinantin nolla-arvo tekee lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisun mahdottomaksi ainakin reaalilukukertoimilla. En nyt osaa kuvitella, olisiko mikään muu mahdollista edes lukukäsitettä laajentamalla. Joku triaaliesimekki tietysti voi tietysti löytyä. Valaisepa!

Statistician kirjoitti:

Viiden lineaarisen yhtälön yhtälöryhmän ratkaisemisen käsin on jo nykyaikana eläinrääkkäystä. Ei siitä mitään enempää opi kuin kysyjän kolmen yhtälön tapauksestakaan. Käsittääkseni pääasia on, että ymmärtää periaatteen.

Lienet samaa mieltä, että hyödyllistä olisi käsittää rivi- ja käänteismatriisiratkaisun välinen yhteys?

Enpä tiedä muista, mutta minusta tuo esimerkkitehtävä on nopeampi käänteismatriisin avulla. (Ihan kokeilinkin). Ongelmat ovat juuri aloittajan mainitsemia: mistä alkaa? Eihän se häiritse, jos on ns. silmää.

Mihinkähän riviratkaisu päätyy, jos determinantti ei matriseilla laskettaessa ole nolla?

Mitä muuten tarkoitat "ainutlaatuisella ratkaisulla"? Et kai "yksikäsitteistä", engl. "unique"? Mitä tahansa, niin determinantin nolla-arvo tekee lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisun mahdottomaksi ainakin reaalilukukertoimilla. En nyt osaa kuvitella, olisiko mikään muu mahdollista edes lukukäsitettä laajentamalla. Joku triaaliesimekki tietysti voi tietysti löytyä. Valaisepa!

Lue lisää

Mielestäni on tosiaan tärkeintä, että lukiolainen oppisi ymmärtämään ratkaisumetodeja n:lle lineaariselle yhtälölle niin hyvin, että hän voisi 'periaatteessa' tehdä sen mille tahansa n.

Esimerkkitehtävä on ehkä tosiaan nopeampi ihan perinteisen käänteismatriisin avulla. MUTTA on vaarallista räätälöidä yleisiä metodejaan yhden onnistuneen esimerkin varaan:

Suurin virheesi on sen olettaminen, että tarina päättyy heti jos determinantti on 0. Jos determinantti EI ole 0, silloin ratkaisuja on tasan yksi. Tämä lienee selvää? Joten sinä väität ratkaisuja olevan aina joko 0 tai 1.

Valaisen sinua tuon oletuksen vääryydestä, miettimällä asiaa kanssasi visuaalisesti:

2*2 matriiseille:

Yhtälöt edustavat viivoja, ratkaisut pisteitä, joissa viivat kohtaavat.

Meillä on vain kolme vaihtoehtoa:

1) Viivat ovat samoja, jolloin determinantti on nolla, mutta vastaukseksi käyvät kaikki viivan pisteet.

2) Viivat ovat erilliset, mutta yhdensuuntaiset, jolloin vastauksia ei ole.

3) Muussa tapauksessa vastauksena on yksi piste.

Nyt sama 3*3-matriiseille.

Yhtälöt edustavat tasoja, ja ratkaisut ovat ne pisteet, joissa kaikki kolme tasoa kohtaavat.

Mahdollisuuksia on nyt paljon enemmän:

1) Kuvittele tilanne, jossa kaksi tasoa kohtaavat luonnolliseen tapaansa yhdellä viivalla, mutta kolmas taso on täysin erillinen tuosta viivasta -- (eli kolmas taso sisältää erillisen ja yhdensuuntaisen viivan).

Nyt tasot rajaavat avaruuteen äärettömän pitkän kolmio-kantaisen särmiön. Tällöin on selvää, ettei ratkaisuja ole. Sama on totta, jos mitkä tahansa kaksi tasoa ovat erillisiä, mutta yhdensuuntaisia.

2) Nyt kuvitellaan tilanne, jossa em. kolmio-kantaista särmiötä kutistetaan, kunnes siitä tulee pelkkä viiva. Tällöin ratkaisuja on äärettömän monta! Mutta determinantin on silti oltava nolla, koska muuten saisimme vastaukseksi yhden pisteen! Rivioperaatioilla voimme päätellä ratkaisuviivan.

Jos kaikki kolme tasoa ovat samoja, tason kaikki pisteet kelpaavat ratkaisuiksi.

3) Muussa tapauksessa ratkaisuja on yksi. Oikeastaan tämä pitäisi todistaa matemaattisesti, mutta se on intuitiivisesti oikein.

(Yliopistossa nähdään, että ratkaisuavaruus generoituu lineaarisesti, joten asia on selvä.)

Oleta, että determinantti on 0. Ilman rivioperaatioita emme tiedä onko ratkaisuja nolla vai ääretön määrä, joten on todella tärkeää osata rivioperaatioita determinantin ollessa nolla! Juuri tällaiset esimerkit ovat niitä kokeisiin tulevia.

Jos n>3, on huojentavaa tietää, että rivioperaatiot antavat oikean vastauksen, ilman että tarvitsisi miettiä mm. neliulotteisten tasojen kohtaamispisteitä!

En tiedä onko lukiossa erityisen hyödyllistä käsittää tarkkaa yhteyttä rivi- ja käänteisoperaatioiden välillä, mutta yhteyden olemassaolon tiedostaminen on erittäin valaisevaa.

Sen sijaan yliopiston ekana vuonna kaikkien pitää oppia, että jos A = Q^(-1)*B*Q, silloin A ja B ovat toisiinsa vaihdettavissa rivioperaatioilla. Lisäksi Q = R_1 * R_2 * ... * R_k , missä nämä R_i matriisit edustavat rivioperaatioita.

Jos matriisi on tietyn vektoriavaruuden yli, ja Q:n kolumnit antavat uudet kantavektorit, silloin A antaa B:n rivit uuden kannan suhteen.

Yliopistossa käydään näiden todistukset läpi, eli valaistaan miksi kaikki toimii, (monestakin syystä!), mutta todistuksia ei tässä tapauksessa juurikaan tarvita sen jälkeen.

Statistician kirjoitti:

Viiden lineaarisen yhtälön yhtälöryhmän ratkaisemisen käsin on jo nykyaikana eläinrääkkäystä. Ei siitä mitään enempää opi kuin kysyjän kolmen yhtälön tapauksestakaan. Käsittääkseni pääasia on, että ymmärtää periaatteen.

Lienet samaa mieltä, että hyödyllistä olisi käsittää rivi- ja käänteismatriisiratkaisun välinen yhteys?

Enpä tiedä muista, mutta minusta tuo esimerkkitehtävä on nopeampi käänteismatriisin avulla. (Ihan kokeilinkin). Ongelmat ovat juuri aloittajan mainitsemia: mistä alkaa? Eihän se häiritse, jos on ns. silmää.

Mihinkähän riviratkaisu päätyy, jos determinantti ei matriseilla laskettaessa ole nolla?

Mitä muuten tarkoitat "ainutlaatuisella ratkaisulla"? Et kai "yksikäsitteistä", engl. "unique"? Mitä tahansa, niin determinantin nolla-arvo tekee lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisun mahdottomaksi ainakin reaalilukukertoimilla. En nyt osaa kuvitella, olisiko mikään muu mahdollista edes lukukäsitettä laajentamalla. Joku triaaliesimekki tietysti voi tietysti löytyä. Valaisepa!

Lue lisää

... voin antaa saman tien, kun kerran pyysit:

1) Ax = y, missä det(A) ei ole 0. Tällöin tosiaan x = A^(-1)*y, eli ratkaisuja on tasan yksi.

2) Ax = y, missä kaikki A:n rivit ovat samoja. Determinantti on 0. Ratkaisuja on äärettömästi, jos kaikki y:n kordinaatit ovat samoja, mutta muuten ratkaisuja ei ole yhtään.

3) Ax = 0. Jos det(A) ei ole nolla, ainoa ratkaisu on nollavektori. Joten ainoat kiinnostavat ratkaisut saadaan nimenomaan silloin kun det(A)=0.

Miten tiedämme, onko ratkaisuja 0 vai ääretön määrä? Tehdään rivioperaatioita, kunnes olemme muokanneet yhtälöryhmästä sellaisen, että jotkut rivit eliminoituvat kokonaan pois, eli saamme nollarivejä. Ratkaisuavaruuden dimensiot riippuvat ainoastaan eliminoitujen rivien määrästä. Itse ratkaisun saa kun valitsee muuttujia vapaiksi parametreiksi eliminoitujen rivien verran.

Jos sen sijaan saadaan jotakin triviaalisti epätotta, vaikkapa x y z = 0 ja x y z = 1, tällöin ratkaisuja ei ole.

Statistician kirjoitti:

Viiden lineaarisen yhtälön yhtälöryhmän ratkaisemisen käsin on jo nykyaikana eläinrääkkäystä. Ei siitä mitään enempää opi kuin kysyjän kolmen yhtälön tapauksestakaan. Käsittääkseni pääasia on, että ymmärtää periaatteen.

Lienet samaa mieltä, että hyödyllistä olisi käsittää rivi- ja käänteismatriisiratkaisun välinen yhteys?

Enpä tiedä muista, mutta minusta tuo esimerkkitehtävä on nopeampi käänteismatriisin avulla. (Ihan kokeilinkin). Ongelmat ovat juuri aloittajan mainitsemia: mistä alkaa? Eihän se häiritse, jos on ns. silmää.

Mihinkähän riviratkaisu päätyy, jos determinantti ei matriseilla laskettaessa ole nolla?

Mitä muuten tarkoitat "ainutlaatuisella ratkaisulla"? Et kai "yksikäsitteistä", engl. "unique"? Mitä tahansa, niin determinantin nolla-arvo tekee lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisun mahdottomaksi ainakin reaalilukukertoimilla. En nyt osaa kuvitella, olisiko mikään muu mahdollista edes lukukäsitettä laajentamalla. Joku triaaliesimekki tietysti voi tietysti löytyä. Valaisepa!

Lue lisää

... yhteen kysymykseesi. Jos determinantti ei ole 0, mihin johtavat rivioperaatiot?

Otetaan augmentoitu matriisi (A|y). Jos det(A) ei ole 0, saamme tämän rivioperaatioilla muotoon (I|z), missä I on identiteettimatriisi, ja z on ratkaisu.

nkorppi kirjoitti:

... yhteen kysymykseesi. Jos determinantti ei ole 0, mihin johtavat rivioperaatiot?

Otetaan augmentoitu matriisi (A|y). Jos det(A) ei ole 0, saamme tämän rivioperaatioilla muotoon (I|z), missä I on identiteettimatriisi, ja z on ratkaisu.

Lue lisää

Nimenomaan det(A) =/ 0. Enhän muuta mutissutkaan, veit vain ilmaisun vähän "korkeammalle" tasolle. z on kyllä ratkaisu, jos sen tuolla tasolla haluaa esittää, ja siis deternimantin nolla-oletuksella!
Jos determinantti on nolla, niin päästään kyllä aika mielivaltaisiin pohdintoihin ratkaisun (?) tulkinnasta, mutta yhtälöryhmä ei ratkea (unique), eikä voikaan. Ainakaan minun osaamissani algebroissa.

Eikö nyt ole sama, millä tavoin determinantin mahdollisen nolla-arvon toteaa? Minusta se on helpompaa matriisin muodostamisen kautta, kuin äheltää rivien kautta, ja päätyä sitten siihen, että eipä onnistu. Laskentatekniikkaahan kumpikin on, eikä mitään sen syvempää.

Herättelin vain vähän kysymystä siitä, onko tuolla rivitekniikalla oikeastaan edes opetuksellista arvoa. Mielestäsi on, ja mitäpä minä enempää jäkättämään, minusta ei. Rivitekniikan ja matriisin kääntämisen yhteyden ymmärtämisestä olemme samaa mieltä.

Statiscian kirjoitti:

Nimenomaan det(A) =/ 0. Enhän muuta mutissutkaan, veit vain ilmaisun vähän "korkeammalle" tasolle. z on kyllä ratkaisu, jos sen tuolla tasolla haluaa esittää, ja siis deternimantin nolla-oletuksella!
Jos determinantti on nolla, niin päästään kyllä aika mielivaltaisiin pohdintoihin ratkaisun (?) tulkinnasta, mutta yhtälöryhmä ei ratkea (unique), eikä voikaan. Ainakaan minun osaamissani algebroissa.

Eikö nyt ole sama, millä tavoin determinantin mahdollisen nolla-arvon toteaa? Minusta se on helpompaa matriisin muodostamisen kautta, kuin äheltää rivien kautta, ja päätyä sitten siihen, että eipä onnistu. Laskentatekniikkaahan kumpikin on, eikä mitään sen syvempää.

Herättelin vain vähän kysymystä siitä, onko tuolla rivitekniikalla oikeastaan edes opetuksellista arvoa. Mielestäsi on, ja mitäpä minä enempää jäkättämään, minusta ei. Rivitekniikan ja matriisin kääntämisen yhteyden ymmärtämisestä olemme samaa mieltä.

Lue lisää

... mitä sanoin.

Jos det(A) =/ 0, ratkaisuja on yksi.

Jos det(A) = 0, VOIMME SILTI ratkaista yhtälöryhmän. Ratkaisuja on joko 0 tai enemmän kuin yksi. Lukiossa opetetaan kuinka tämä tehdään -- nimenomaan rivioperaatioilla.

Oletuksesi siitä, että "det(A) = 0 tekee tehtävästä mahdottoman" on VÄÄRÄ. Tajuatko?

Se ei liity mihinkään 'korkeampaan algebraan', vaan kysymys on vain puutteista lukiomatikan tietämyksessäsi -- lue aiemmat viestini tarkemmin.

Opetuksellinen arvo tulee siitä, että ilman rivioperaatioita et pysty ratkaisemaan sellaisia yhtälöryhmiä det(A) = 0. Kokeessa on turha selittää, että luulit rivioperaatioiden olevan turhia!!! :)

Statiscian kirjoitti:

Nimenomaan det(A) =/ 0. Enhän muuta mutissutkaan, veit vain ilmaisun vähän "korkeammalle" tasolle. z on kyllä ratkaisu, jos sen tuolla tasolla haluaa esittää, ja siis deternimantin nolla-oletuksella!
Jos determinantti on nolla, niin päästään kyllä aika mielivaltaisiin pohdintoihin ratkaisun (?) tulkinnasta, mutta yhtälöryhmä ei ratkea (unique), eikä voikaan. Ainakaan minun osaamissani algebroissa.

Eikö nyt ole sama, millä tavoin determinantin mahdollisen nolla-arvon toteaa? Minusta se on helpompaa matriisin muodostamisen kautta, kuin äheltää rivien kautta, ja päätyä sitten siihen, että eipä onnistu. Laskentatekniikkaahan kumpikin on, eikä mitään sen syvempää.

Herättelin vain vähän kysymystä siitä, onko tuolla rivitekniikalla oikeastaan edes opetuksellista arvoa. Mielestäsi on, ja mitäpä minä enempää jäkättämään, minusta ei. Rivitekniikan ja matriisin kääntämisen yhteyden ymmärtämisestä olemme samaa mieltä.

Lue lisää

... ratkaisuista ei tarvitse sanoa mitään, ellei ratkaiusuja ole tasan yksi? Uskoisin opettajasi olevan eri mieltä. :)

Esim. x^2 = 2.

Ratkaisu on x = sqrt(2) TAI -sqrt(2) .

Koulumatikassa on tapana ratkaista sellaisetkin yhtälöt, joilla ei ole tasan yksi ratkaisu.

Statiscian kirjoitti:

Nimenomaan det(A) =/ 0. Enhän muuta mutissutkaan, veit vain ilmaisun vähän "korkeammalle" tasolle. z on kyllä ratkaisu, jos sen tuolla tasolla haluaa esittää, ja siis deternimantin nolla-oletuksella!
Jos determinantti on nolla, niin päästään kyllä aika mielivaltaisiin pohdintoihin ratkaisun (?) tulkinnasta, mutta yhtälöryhmä ei ratkea (unique), eikä voikaan. Ainakaan minun osaamissani algebroissa.

Eikö nyt ole sama, millä tavoin determinantin mahdollisen nolla-arvon toteaa? Minusta se on helpompaa matriisin muodostamisen kautta, kuin äheltää rivien kautta, ja päätyä sitten siihen, että eipä onnistu. Laskentatekniikkaahan kumpikin on, eikä mitään sen syvempää.

Herättelin vain vähän kysymystä siitä, onko tuolla rivitekniikalla oikeastaan edes opetuksellista arvoa. Mielestäsi on, ja mitäpä minä enempää jäkättämään, minusta ei. Rivitekniikan ja matriisin kääntämisen yhteyden ymmärtämisestä olemme samaa mieltä.

Lue lisää

... tehdä erityisen selväksi, että det(A) = 0 ei todellakaan johda 'mielivaltaisiin pohdintoihin', vaan voimme antaa yhtälöryhmän ratkaisut aivan täsmällisesti.

nkorppi kirjoitti:

... tehdä erityisen selväksi, että det(A) = 0 ei todellakaan johda 'mielivaltaisiin pohdintoihin', vaan voimme antaa yhtälöryhmän ratkaisut aivan täsmällisesti.

Panes nyt laittaen malliksi vaikka joku mielivaltainen kahden muuttujan lineaarinen yhtälöryhmä, jossa determinantti on nolla, ja ratkaise se.
Kertoimet siis "korkeintaan" reaalilukuja. Tai keksi mieluummin kokonaisluvut - ei kai sen siitä pitäisi olla kiinni - niin tyhmempikin ymmärtää. Ja esitä ratkaisut "aivan täsmallisesti". Kiinnostaisi ratkaisu todella!
Ja hyvä esimerkkihän olisi myös pedagogisesti vakuuttava meille matematiikan amatööreille!

Statiscian kirjoitti:

Panes nyt laittaen malliksi vaikka joku mielivaltainen kahden muuttujan lineaarinen yhtälöryhmä, jossa determinantti on nolla, ja ratkaise se.
Kertoimet siis "korkeintaan" reaalilukuja. Tai keksi mieluummin kokonaisluvut - ei kai sen siitä pitäisi olla kiinni - niin tyhmempikin ymmärtää. Ja esitä ratkaisut "aivan täsmallisesti". Kiinnostaisi ratkaisu todella!
Ja hyvä esimerkkihän olisi myös pedagogisesti vakuuttava meille matematiikan amatööreille!

Lue lisää

x y = a
x y = b

Tuossa a ja b ovat reaalilukuja.

Matriisissa on pelkkiä ykkösiä ja determinantti on 1-1 = 0.

Jos a=b, ratkaisuna on viiva y = -x a kokonaisuudessaan.

Jos a=/b, ratkaisuja ei ole.

Statiscian kirjoitti:

Panes nyt laittaen malliksi vaikka joku mielivaltainen kahden muuttujan lineaarinen yhtälöryhmä, jossa determinantti on nolla, ja ratkaise se.
Kertoimet siis "korkeintaan" reaalilukuja. Tai keksi mieluummin kokonaisluvut - ei kai sen siitä pitäisi olla kiinni - niin tyhmempikin ymmärtää. Ja esitä ratkaisut "aivan täsmallisesti". Kiinnostaisi ratkaisu todella!
Ja hyvä esimerkkihän olisi myös pedagogisesti vakuuttava meille matematiikan amatööreille!

Lue lisää

Monimutkaisempi esimerkki:

x 2y z = 5
3x y 2z = 7
2x-y z = 2

Determinantti: 1-(-2) - 2(3-4) (-3-2) = 3 2-5 = 0.

Vähennetään kolmas rivi tokasta:

x 2y z = 5
x 2y z = 5
2x-y z = 2

Kaksi ekaa riviä ovat nyt samat. Meillä on siis kaksi yhtälöä kolmella muuttujalla, joten voimme valita vaikka muuttujan z vapaaksi parametriksemme c .

Kun vähennäme tokan rivin kolmannesta:

x-3y = -3

Siispä x = 3(y-1)

Sijoittamalla tämän ekaan yhtälöön:

x 2y z = 3(y-1) 2y c = 5

Siispä 5y = 8-c, eli y = (8-c)/5
Näin ollen x = 3(y-1) = (9-3c)/5
Ja z=c .

Eli ratkaisu on viiva

(x,y,z) = 1/5[(9,8,0) c(3,1,-1)] ,

eli kaikki tuota muotoa olevat pisteet, missä c on mikä tahansa reaaliluku.

Statiscian kirjoitti:

Panes nyt laittaen malliksi vaikka joku mielivaltainen kahden muuttujan lineaarinen yhtälöryhmä, jossa determinantti on nolla, ja ratkaise se.
Kertoimet siis "korkeintaan" reaalilukuja. Tai keksi mieluummin kokonaisluvut - ei kai sen siitä pitäisi olla kiinni - niin tyhmempikin ymmärtää. Ja esitä ratkaisut "aivan täsmallisesti". Kiinnostaisi ratkaisu todella!
Ja hyvä esimerkkihän olisi myös pedagogisesti vakuuttava meille matematiikan amatööreille!

Lue lisää

Tämän keskustelun aloituksesta löytyy myös esimerkki matriisiyhtälöön, jolle löytyy useampi ratkaisu. Vastaukseen vaan jää vapaita parametreja. Käänteismatriisia tietenkään ei löydy.

Toisenlainen esimerkki matriisiyhtälön ratkaisemisesta on sellaisen yhtälön ratkaiseminen, missä yhtälöryhmässä on vaikka 6 yhtälöä, mutta vain 3 muuttujaa. Kuten tiedätkin, niin mitään yksikäsitteistä ratkaisua tuolle ei välttämättä löydy, eikä edes täsmällistä ratkaisua, mihin jää vapaita parametreja. (ellei yhtälöryhmässä ole useampi identtinen yhtälö) On kuitenkin mahdollista aina löytää ns. pienimmän neliösumman ratkasu. Ratkaisu ei välttämättä toteuta yhtään niistä yhtälöistä, mutta virheiden neliöt on minimoitu. (tälle löytyy käyttöä esim. mittausdatan analysoinnissa, missä alkuperäisissä yhtälöissä on mittausdatan kohinasta johtuvaa heittoa, mutta silti voidaan hakea mahdollisimman hyvin mittausdataa vastaava keskimääin toimiva ratkaisu.

Vähän kauas meni tämän keskustelun aiheesta, mutta olkoon.

Olen itsekin vähän sitä mieltä, että oppimisen kannalta ei ole välttämättä mielekästä käsin vääntää kovin isoja matriiseja. Kuitenkin periaate on mielestäni hyvä olla tuttu, vaikka käyttäisikin konetta numeeristen matriisien ratkaisuun. Joskus myös yhtälöitä voidaan hakea matriisiyhtälöinä, jolloin numeerisia arvoja ei edes ole.

On myös sivistävää tietää, miten kone ratkaisee käänteismatriiseja. Ainakin niissä ohjelmissä, joihin olen tutustunut, perustuvat rivilaskutoimituksiin. (tunnetaan nimellä Gauss-Jordan menetelmä) Käänteismatriisien ratkaisu käsin on kuitenkin lähes aina vähiten työlästä rivioperaatioilla, ja jos yhtälöstä on kyse, niin käätesmatriisin ratkaisun väliin jättäminen säästää lähes puolet laskutoimituksista.

eräs vaihtoehtoinen tapa ratkoa matriisiyhtälöitä perustuu determinantteihin. (cramerin sääntö), mutta se toimii vain yhtälöihin, joille löytyy se yksikäsitteinen ratkaisu. (nimittäjänä on matriisin determinantti)