Topologiaa.
Avoimen joukon määritelmä:
"X:n joukko U on avoin avaruudessa X, jos jokaisella U:n pisteellä x on kuulaympäristö B(x,r), joka sisältyy U:hun".
Erakkopisteen määritelmä:
"Joukon A piste a on erakkopiste, jos a:lla on sellainen ympäristö V, että V:n ja A:n leikkaus on {a}".
Tällöin siis näyttäisi, että erakkopisteen joukko {a} metrisessä avaruudessa X ei voi olla avoin, sillä jokainen kuulaympäristö B(a,r) (r>0) sisältää pisteitä sekä joukosta {a} että sen komplementista X\{a}. Kuitenkin eräässä tehtävässä vaaditaan, että erakkopisteen joukko olisi avoin! Kuitenkin B(a,r) = {a} joss r = 0, eikä se ole ymmärtääkseni sallittua.
Avoimen joukon määritelmä:
"X:n joukko U on avoin avaruudessa X, jos jokaisella U:n pisteellä x on kuulaympäristö B(x,r), joka sisältyy U:hun".
Erakkopisteen määritelmä:
"Joukon A piste a on erakkopiste, jos a:lla on sellainen ympäristö V, että V:n ja A:n leikkaus on {a}".
Tällöin siis näyttäisi, että erakkopisteen joukko {a} metrisessä avaruudessa X ei voi olla avoin, sillä jokainen kuulaympäristö B(a,r) (r>0) sisältää pisteitä sekä joukosta {a} että sen komplementista X\{a}. Kuitenkin eräässä tehtävässä vaaditaan, että erakkopisteen joukko olisi avoin! Kuitenkin B(a,r) = {a} joss r = 0, eikä se ole ymmärtääkseni sallittua.
Vastaukset 9
Vanhimmat
Miksi et valitse avaruudeksi ja metriikaksi jotain muuta kuin perusmetriikan ja avaruuden.
Esim. X on xy-koordinaatioston kokonaislukupisteiden joukko. Metriikkana taksisuharin metriikka eli eli pisteiden välinen etäisyys mitataan kuinka monta askelta menee vaakasuoraan ja pystysuoraan edetessä.
Nyt jokainen yksittäinen piste on avoin. Kaikki pisteet olisivat erakkopisteitä.
Otahan metriikaksi notta d(x,y) = 0 kun x=y ja 1 kun x!=y. Tällön jokanen joukon piste ja jokainen osajoukko on avoimia.
Tarttet vaan riittävän pieniä ympäristöjä niin johan onnistuu.
Entäs sitten tavallisella metriikalla euklidisessa avaruudessa?
Kirjan tehtävä kuului seuraavasti:
"Osoita, että metrisen avaruuden erakkopisteiden joukko on avoin"
Ratkaisu perustui siihen, että ensin todetaan yhden erakkopisteen joukon olevan avoin ja sitten kaikkien kaikkien erakkopisteiden joukon olevan avointen joukkojen yhdisteenä avoin. Kuitenkin tehtävässä puhutaan yleisesti metrisestä avaruudesta, eikä erikoistapauksista.
Niin, ja täytyypä vielä lisätä, että euklidinen avaruus tavallisine metriikkoineen on tietysti myös erikoistapaus. Tietysti euklidinen avaruus on kaikista mukavin esimerkiksi, etenkin R^2.
Metrisen avaruuden piste a on erakko piste jos on r>0 se B(a,r)={a}. Okei no jos on erakko pisteen muodostama joukko {a} niin nythän joukon {a} jokainen piste on sisäpiste.(Joukossa {a} on näet vain piste a ja koska a on erakko piste niin on r>0 se B(a,r) kuuluu joukkoon {a}. Siispä {a} on avoin. Ja sit avointen joukkojen yhdisteet on avoimia joten erokkopisteiden joukko on avoin.
Jos erakkopisteitä ei ole eli erakkopisteiden joukko on tyhjä, niin tehtävä on triviaali. Oletetaan että erakkopisteitä on. Olkoon a nyt mielivaltainen erakkopiste avaruudessa X. Olkoon V sellainen a ympäristö että X ja V leikkaus on {a}. Jos joukko {a} ei olisi avoin, niin jokaista reaalilúku r>0 kohti B(a,r) kuuluisi alkioita jotka eivät ole =a, ts. ei voisi olla ympäristöä jonka leikkaus on vain {a}. Siis {a} on avoin.
Nyt kysymys voiko jokaisessa metrisessä avaruudessa olla erakkopisteitä on toinen. Esim. avaruus R^2 ja euklideen etäisyys. Tuskin löytyy erakkopisteitä, mutta toki taas löytyy joukkoja joissa on erakkopisteitä.
Tuossa on kuitenkin jotain mitä en ymmärrä.
Tuossa pitää paikkansa, että a kuuluu X:ään. V ilmeisesti on a:n ympäristö, johon a ei kuulu (omassa kirjassani muuten pisteen ympäristö sisältää kyseisen pisteen). Kuitenkin V:n pisteet kuuluvat X:ään, kuten a:kin eikö? Tällöin X:n ja V:n leikkaus on V itse.
Joukko on suljettu, jos sen komplementti on avoin. Millä tahansa X:n pisteellä x on kuulaympäristö B(x,r) siten, ettei a kuulu tuohon ympäristöön. Joukon {a} komplementti siis vaikuttaisi olevan avoin, mikä tukee puolestaan sitä väitettä, että {a} on suljettu.
Tuo todistus on mielenkiintoinen, mutta itse en valitettavasti oikein tajunnut pointtia. Syy tosin voi yksinkertaisesti olla siinä, etten ole opiskellut tätä aluetta tarpeeksi syvällisesti...
Miten B(a,r) voi sisältyä joukkoon {a} millään r>0? B(a,r):han tarkoittaa pistettä a sekä kaikkia pisteitä a:n "ympärillä" säteellä r. Valitsitpa kuinka pienen säteen r tahansa, sisältää B(a,r) aina muitakin pisteitä kuin a, eli muitakin pisteitä kuin mitä joukkoon {a} kuuluu.
Maanläheinen esimerkki mukavasta euklidisesta avaruudesta R^2, eli tasosta, jossa on käytössä tavallinen metriikka: Jos piirrät paperille pisteen ja piirrät harpilla sen ympärille kuinka pienen ympyrän tahansa, jää tuon ympyrän sisälle väkisinkin muitakin pisteitä. Siis ympyrän kehän sisään jää aina tilaa (muutenhan se ei olisi ympyrä, kai), mikä tarkoittaa, että ympyrän sisällä on useampi piste. Tehtävä kuitenkin vaatii, että todistus on mahdollinen missä tahansa metrisessä avaruudessa.
Joukko voi toki olla sekä avoin että suljettu.