Tiimalasi muodostuu kahdesta yhtenevästä kartion muotoisesta kappaleesta, jotka on asetettu kärjet vastakkain. Tiimalasissa oleva hiekka on valunut puoleen väliin, kun aikaa on kulunut yksi tunti. Kuinka kauan aikaa kuluu loppuhiekan valumiseen?
Mä sain 8min 34s, joka mukamassa on väärin.
Miten laskea ja mitä te saatte?
Mä sain 8min 34s, joka mukamassa on väärin.
Miten laskea ja mitä te saatte?
Vastaukset 17
Vanhimmat
7min30sek.
Kartiot ovat yhdenmuotoisia. Laskin tilavuudet ja niiden suhteet, tuli 1/8 ja siitä kahdeksasosan tuntia.
7,5 min on kirjanmukainen vastaus kanssa.
Mutta en ymmärrä periaatetta... :(
Suhteet menevät helposti sekaisin, rupesin epäilemään omaakin laskuani tuon toisen vastauksen perusteella.. sitten tajusinkin olevani oikeassa..sitten väärässä :)
Jos koko tiimalasin tyhjenemiseen menisi tunti, niin ehdottamani vastaus olisi oikea. Eli jos sanamuoto olisi "tiimalasi tyhjenee tunnissa, kauanko sen tyhjentyminen kestää kun se täyteen puoleen väliin", niin vastaus olisi 7,5min.
Kuitenkin tässä tapauksessa täytyy laskea toisin. Jos koko lasin tilavuus on V = (1/3)*pi*r^2*h, puoleen väliin täytetyn V_1 ja tyhjenneen osan (joka ei ole kartion vaan katkaistun kartion muotoinen) V_0 on laskettava V_1:n suhde V_0:aan. Jos lasin korkeus on h ja pohjan säde r, niin V_1 = (1/3)*pi*(r/2)^2*(h/2) ja V_0 = V - V_1 = (1/3)*pi*r^2*h - V_1. Tuosta kun sieventää pitäisi tulla 1/7 ja loppuosan tyhjenemiseen menisi siis 1/7 osa tuntia.
Jos V_0 olisi (1/3)*pi*r^2*h, eli _koko lasin_ tyhjeneminen kestäisi tunnin, tulisi sievennyksestä 1/8, eli minun ehdottamani virheellinen vastaus.
Tarkista kirjasta vielä tehtävän täsmällinen kirjoitusasu ja kopsi tänne jos epäilyttää. Hyvin usein väärinkäsitykset syntyvät hieman huolimattomasti luetusta tehtävästä, ei tarvi olla kuin hitusen pieleen ja tulee juuri tällaisia ongelmia. (minä lupaan vetää pipoa syvemmälle ja lukea huolellisemmin :)
Kirjan vastauksessa on virhe, jos kysymys on se, minkä kysyjä alussa kertoi. Jos kysymys olisi kuulunut: "Kahdesta yhteneväisestä kartiosta muodostuvan tiimalasin hiekka valuu tyhjäksi yhdessä tunnissa. Kauanko kestää hiekan valuminen loppuun tilanteessa, jossa hiekan pinta on puolivälissä kartiota?", olisi 1/8 tuntia oikea vastaus.
Olipas omaperäistä ja antoisaa toistaa omassa vastauksessaan juuri sama asia mitä juuri edellä sanottiin.
Tässäkin viestissä on enemmän kontribuutiota kuin kaikuviesteissä.
Kerropa sitten, mitä tämä "tiimalasi tyhjenee tunnissa, kauanko sen tyhjentyminen kestää kun se täyteen puoleen väliin" -teksti aivan tarkasti tarkoittaa? Minusta se on sekä ilmaisullisesti että kielenkäytöllisesti melkoisen sekava. Matematiikan tehtävissä ei pitäisi tarvita Katekismuksessa käytettyä "Mitä se on?" -osiota.
Lisäksi on aivan turhaa, jopa asiaa sekoittavaa, pyöritellä noita kartion tilavuuden kaavoja, kun lasku menee mittakaavan ja tilavuuden välisen yhteyden perusteella.
Hyvä tietää mitä muut saivat ja ajattelevat. Tämä saa todella uskomaan, että kirjassa on virhe. Ne virheet on ärsyttäviä, sillä menee aikaa kun yrittää selvittää mitä teki väärin... Lopuksi se olikin oikein.
Kiitos kaikille osallistumisesta!
Tarkasti?
"tiimalasi tyhjenee tunnissa, kauanko sen tyhjentyminen kestää kun se täyteen puoleen väliin"
Se voi tarkoittaa, että koko tiimalasi tyhjenee hiekasta reiän kautta. Tai että joku rikkoo lasin. Tai että lasi on puoleen väliin korkeutta täysi, tai puolet tilavuudesta, tai vain toinen kartio on täynnä hiekkaa.. Mutta tiedätkö mitä on maalaisjärki? Ai et :)
Matematiikka yleensä on ja syystä.
Jos oletetaan, että hiekka valuu vakiotilavuusvirralla, joka on riippumaton hiekan korkeudesta tiimalasissa, niin hiekan tilavuus alussa ja tietyllä hetkellä on verrannollinen hiekan korkeuden kuutioon (samanmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde).
Näin ollen hiekan ollessa puolivälissä on sen tilavuus 1/8 alkuperäisestä. Tunnissa on täten valunut 7/8 hiekasta, ja kaiken hiekan valumiseen menee 8/7⋅1 h = 1 h 8 min 34 s, mikä on sama kuin sinun vastauksesi.
Tietysti, jos oletetaan hiekan tilavuusvirran riippuvan esimerkiksi hiekan hydrostaattisesta paineesta, saadaan eri tulos.
vaikken tiedä onko oikein?
v=SQRT(2gh) , ja dV=s*v*dt, s= reiän ala
Myös dV=-pii/3*(R^2 Rr r^2)dh, yhdistetään nämä, tulee
dt=-pii/3*(R^2 Rr r^2)/(s*sqrt(2gh))dh, integroidaan
t=(-2pii*(R2 Rr r^2)/(3s*sqrt(2g))*sqrt(h)) C
Kun t=0, h=H, joten C=2pii(R^2 Rr r^2)*sqrt(H)/(3s*sqrt(2g))
t=2*pii*(r^2 Rr r^2)/(3*s*sqrt(2g))*(sqrt(H)-sqrt(h))
Kun koko satsi on valunut alas, niin h=0 ja r=0, joten koko valumisaika:
T=2*pii*R^2*sqrt(H)/(3*s*sqrt(2g))
Lisäksi tiedettiin, että kun t=1 tunti, niin r=R/2 ja h=H/2.
Sijoittamalla ne t:n lausekkeeseen saadaan:
2*pii*R^2*sqrt(H)/3*s*sqrt(2g))=4*sqrt(2)/(7*(sqrt(2)-1))=T
Kokonaisaika T on noin 1,95 tuntia ja lopun valumisaika 0,95 tuntia.
Melkein sama aika?
v=SQRT(2gh) , ja dV=s*v*dt, s= reiän ala
Myös dV=-pii/3*(R^2 Rr r^2)dh, yhdistetään nämä, tulee
dt=-pii/3*(R^2 Rr r^2)/(s*sqrt(2gh))dh, integroidaan
t=(-2pii*(R^2 Rr r^2))/(3s*sqrt(2g))*sqrt(h)) C
Kun t=0, h=H, joten C=2pii(R^2 Rr r^2)*sqrt(H)/(3s*sqrt(2g))
t=2*pii*(R^2 Rr r^2)/(3*s*sqrt(2g))*(sqrt(H)-sqrt(h))
Kun koko satsi on valunut alas, niin h=0 ja r=0, joten koko valumisaika:
T=2*pii*R^2*sqrt(H)/(3*s*sqrt(2g))
Lisäksi tiedettiin, että kun t=1 tunti, niin r=R/2 ja h=H/2.
Sijoittamalla ne t:n lausekkeeseen saadaan:
2*pii*R^2*sqrt(H)/3*s*sqrt(2g))=4*sqrt(2)/(7*(sqrt(2)-1))=T
Kokonaisaika T on noin 1,95 tuntia ja lopun valumisaika 0,95 tuntia.
ja loppuosa hyvin paljon kauemmin, epäilen käänteislukua tuosta vastauksestasi...
Mietihän nyt miten se hiekka sieltä valuukaan.
Jos ei aukea, käy ostamassa tiimalasi ja katso.
Kirjassa on ilmeinen virhe.
Mutta kerropas, mistä kirjasta on kysymys?
Onko kysymyksessä jokin yleisesti Suomessa käytössä oleva oppikirja?
Laudatur - Geometria
On siin' ollut aikamoisen paljon virheitä vastauksissa.
Harjoituksen kohteenahan tässä on jonkin vastinjanan ja tilavuuden/pinta-alan yhteys yhdenmuotoisuuden perusteella (loogisesti samaa kuin vähän aiemmin Johannan pitsa -esimerkissä).
Kysymys: osoitetaanko tuo laki oikeaksi (jossain lukiotason kurssissa) riippumatta alan/tilavuuden muodosta vai onko se koululaiselle vain ns.tarjottimella annettu totuus kuten ympyrän pinta-ala. Eli lyhytkin pätevä todentaminen vaatisi vähintään jotain pi-itkä matikka/yliopiston analyysikurssin tasoista integraalilaskentaa.